2023年各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2023各省数学竞赛汇合

书目

1.2023中学数学联赛江苏赛区初赛试卷——第3页

2.2023年中学数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）--第7页

3.2023年中学教学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）--第10页

4.2023年中学数学联赛陕西省预赛试卷一一第16页

5.2023年中学数学联赛上海市预赛试卷——第21页

6.2023年中学数学联赛四川省预赛试卷——第28页

7.2023年中学数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）--第35页

8.2023年中学教学联赛山东省预赛试卷一第45页

9.2023年中学数学联赛甘肃省预赛试卷一第50页

10.2023年中学数学联赛河北省预赛试卷一第55页

11.2023年中学教学联赛浙江省预赛试卷一第62页

12.2023年中学教学联赛辽宁省预赛试卷一第72页

13.2023年中学教学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）一第77页

14.2023年中学教学联赛河南省预赛试卷（高二年级）一第81页

15.2023年中学数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）―第83页

2023中学数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题（70分）

1、当工三［—3,3］时,函数f（x）="一3四的最大值为一18—.

2、在A4BC中，已知AC8C=12,AC8A=-45ijAC=_4.

3、从集合｛3,4,5,6,7,8｝中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为

3

4、已知4是实数，方程x2+（4+i）x+4+ai=0的一个实根是6（，是虚部单位），则|a+勿」的值

为2夜.

X2y2

5、在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:——二一=1的右焦点为尸，一条过原点。且倾斜角

124

为锐角的直线/与双曲线。交于两点.若AE45的面积为86,则直线的斜率为

2,

6、已知。是正实数，左=。恒"的取值范围是—［1,+00）.

7、在四面体ABCD中，AB=AC=AD=£>3=5,8C=3,8=4该四面体的体积为

___5A/3.

8、已知等差数列｛4｝和等比数列也｝满意：

-1

at+bx=3,a2+b2=7,a3+b3=15,a4+b4=35,则an+bn=_3"+2n」.

（〃eN*）

9、将27,37,47,48,55,71,75这7个数排成一列，使随意连续4个数的和为3的倍数，则这样

的排列有—144种.

10、三角形的周长为31,三边a,b,c均为整数，且则满意条件的三元数组（a,。,c）的

个数为_24—.

二、解答题（本题80分，每题20分）

11、在AABC中，角A,民C对应的边分别为证明:

(1)bcosC+ccosB-a

9.2C

cosA+cosBsin万

a+bc

证明：(1)在A45C中，由正弦定理七=屏=备=2灭(其中R是△14BC外接圆的半径),

siiLz^siiixzsmL

得bcosC+ccosj?=27?sinBcosC+2/?sinCcos5

=2/?sin(5+Q

=27?sin/l

=a.

故命题得证................................10分

(2)由(1)知bcosC+c8sB=a,同理有acosC+c8S/4=b,

所以bcosC+ccosB+acosC+ccos4=a+b9

即c(cosB+cos^)=(a+Z>)(l-cosC)=(a+6)•

,cos^+cos5

所以a+620分

12、已知a,h为实数，a>2,函数/(x)=|Inx--|+b(x>0).若

x

/(l)=e+l,/(2)=j-ln2+l.

(1)求实数。,分；

(2)求函数f(X)的单调区间；

(3)若实数c,d满意c〉d,cd=l,求证：/(c)</(d)

解：(1)由题设y(l)=e+l,12)=1—ln2+l得|a|+b=e+l,|ln2—与+b=，一ln2+l,

因为a>2,所以a>21n2,从而a+b=e+l,且，+6=^+1,

解得a=e,b=\.5分

(2)由(1)得危)=|lnx—1+1.

因为Inx,一三在(0,十8)上均单调递增，Ine—^^0.

XV

令g(x)=lnx—，，所以有

当x>e时，虱x)>g(e)=0,从而危)=lirr—?+1单调递增；

当OVxVe时，g(x)<g(e)=O,从而危)=；—lnx+1单调递减.

•A,

故黄X)的单调递减区间为(0,e)；单调递增区间为(e,+8).

15分

(3)因为c>d,cd=\,所以d=9,c>l,

e1

于是九0=是一lnc|+1,加/)=yq)=|ec+lnc|+1=ec+lnc+1.

又因为当c>l时，ec+lnc>lnc+£>|lnc—*

cc

t

所以1C)V<0-

命题得证.20分

13、如图，半径为1的圆。上有肯定点M为圆O上的动点.在射线(AK

OM上有一动点5,AB=1,OB〉1.线段AB交圆。于另一点//

C,。为线段的。3中点.求线段。。长的取值范围.1°―6

解：设乙4。8=0

因为04=48,所以NO氏4=aZBAO=nO0-23.

又OA=OC,得NOC4=180°-2仇于是/30。=180°—3"

因为04=48,。为线段05的中点，所以从而OD=O4•cosOnco的.

在△OCD中，由余弦定理得

CD1=OCi+Ob1-2OC-OD-cos/BOC

=1+cos?。-2cosdcos(180°—30)

=1+cos%+2cos/cos36

=8cos4^—5COS20+1

57

=8(COS2^—T7)2+T；.

1032

.......................................10分

又NBOC=18O0-36»VZAOB=6,

ZOG4=18O°-20>NOBA=a

得180°-36V8,1800-26>6.

所以45。<8<60。....

1

-

42

于是《得孚，等号在cos3=小时成立.

所以线段CD长的取值范围是印，乎)..............................20分

14、设是。力,c,d正整数，见匕是方程％2一«/一(7)％+＜：4=0的两个根.证明：存在边长是整

数且面积为QZ7的直角三角形.

证明：由题设可知a+b=d—c,ab=cd....................................5分

由于mb,c,d是正整数，所以a+6,a+c,b+c中任意两个数之和大于第三个数，

从而知存在以〃+b,a+c,b+c为边的三角形.

因为(a+cy+S+cAuJ+y+^z+Zcg+b)

=J+房+2c2+2c(d—c)

=a2+fe2+2crf

=a2+fe2+2aZ>

=3+6)2....................................15分

所以，这样的三角形是直角三角形，其直角边长为a+c,b+c,斜边长为Q+瓦且该三

角形的面积为

S=；(a+c)(b+c)=^[Qb+c(a+6+c)]

=^ab+cd)

=ab.

故边长为a+b,a+c,b+c的三角形符合题设要求.

...................................20分

2023年全国中学数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

(高一年级)

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思

路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一'填空题(本题满分64分，每小题8分。干脆将答案写在横线上。)

I.已知集合4=｛》|》4。｝,8=｛》|》>6｝,〃,6€1>1,且AnBp|N=｛l｝,则。+匕=1.

2.已知正项等比数列｛%｝的公比4*1,且“2,4，生成等差数列，则

〃3+〃6+。92

3函数g)=J令的值域为[0,

4.已知Bsin?ar+2sin2/3=\,3(sina+cosa)2-2(siny5+cos^)2=1,贝！Jcos2(a+/7)=

5.已知数列｛明｝满意：勺为正整数，

*』:册为偶数'

3afl+1,〃”为奇数,

假如q+w+生=29,贝I」aA=5

6.在△回(7中，角A8,C的对边长a,4c满意a+c=»,且C=2A,贝iJsinA=」.

7.在△A8C中，AB=BC=2,AC=3.设。是△ABC的内心，若加=pQ+q元，则?■的

q

3

值为二.

2

8.设工|,》2户3是方程x'-x+1=0的三个根，则X：+x?+x?的值为一5

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9.已知正项数列（«„｝满意8%+4限=4也“%+1+确1+38%且q=1,%=8,

求｛〃“｝的通项公式.

解在已知等式两边同时除以战二，得+3,

■4分

即数列他,｝是以々=4为首项,4为公比的等比数列,

h„=仇-4"T=4"

-1K-12分

2n22

an=[(4"-'-1)-1]«„.|=[(4-'-l)_1卜[(4"-2-I)-1]«„,2

=...=0(41-1)2_啊="(4"'-1)2-1],

k=\k=l

L〃=1,

分

因此%=n>2--------------------------16

d=l

22

10.已知正实数人满意a+b=1,且/+//+1=；72m+少+1产,求相的最小值.

TT

解令。=cos，,〃=sin夕，0<。,贝ij

2

cos3。+sin3。+1(cos0+sin^)(cos20-cos6sin6+sin2^)+1

m=--------------r=----------------------------・-------------------

(cos9+sin8+1)3(cos+sin6+1产

•5分

令x=cos®+sin。，则x=V^sin(6+马6(1,五],且

x2-1

cossin0=10分

2・

于是

“12-)+12+3X-X342+x-x22-x31

m=------------=--------=-------=------=----------------------------

(x+l)32(x+l)32(x+l)22(x+l)2(x+l)2

-15分

因为函数/(%)=—―-•!•在。,啦］上单调递减，所以/(后)。?＜加).

2(x+l)2

因止匕，，〃的最小值为

/(扬=▲巧士--------------------------------------------20分

11.设/(xXlogKx-ZG+log/x-Sa),其中a>0且4Hl.若在区间［a+3,a+4］上/(x)41恒

成立，求。的取值范围.

22

解/(%)=log(,(x-5ax+6a)=logn［(x

>3°,由题意知a+3>“，故”<3,(fl+3)--=-(«-2)>0,故

［x-3a>0,222

2

函数g(x)=(x--)--在区间［a+3,a+4］上单调递增.

24

--------------------------------------------5分

(1)若0<"1,则/(%)在区间［a+3,a+4］上单调递减,所以/*)在区间［a+3,a+4］上的最

大值为J(a+3)=logQ2-9a+9).

在区间［a+3,a+4］上不等式/恒成立，等价于不等式bg“(2/-9“+9)41成立，从而

2a2-9a+9>a,解得az""或04^~.

22

结合。<”1得0<。<1.--------------------------------------------10

分

3

(2)若则/(x)在区间［a+3,a+4］上单调递增，所以,f(x)在区间伍+3,a+4］上的最

大值为/3+4)=log“(2M72+16).

在区间［a+3,a+4］上不等式恒成立,等价于不等式10g.(2.？-1%+16)W1成立，从而

2/-⑵+16V”，即2a2_1%+1640,解得生叵4。4生叵.

44

易知生叵>3,所以不符合.-----------------------------15

42

分

综上可知：。的取值范围为(0,1)-------------------------------20

分

2023年全国中学数学联合竞赛湖北省预赛试题

(高二年级)

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思

路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题(本题满分64分，每小题8分。干脆将答案写在横线上。)

1.函数fM=J产1的值域为________________.

VX+4x+7

2已知3sin2a+2sin2/5=1,3(sina+cosa)?-2(sin尸+cos尸产=1,则

cos2(a+4)=•

3.已知数列｛%｝满意：为为正整数，〃相=卷'""为偶数，假如卬+。2+%=29,则

3an+1,。〃为奇数，

a\---------------------------

4.设集合S=｛1,2,3,…,12｝,—=｛%,02，。3｝是S的子集,且满意。3-。245,那么

满意条件的子集A的个数为.

22

5.过原点。的直线/与椭圆C：=+==l(a>b>0)交于M,N两点，P是椭圆C上异于M,N

ab

的任一点.若直线PM,PN的斜率之积为-1,则椭圆C的离心率为.

3

6.在△/WC中，AB=BC=2,AC=3.设。是△回(7的内心，若入3=pQ+q就，则公■的

q

值为.

7.在长方体AB8-45GR中，已知AC=1,BQ=五,Aa=p,则长方体的体积最大时，p

为.

201290194-

8.设区表示不超过x的最大整数，则Z[华4]=-

A-02

二、解答题(本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分)

9.已知正项数列｛%｝满意“4+1+44+2=4击“4+1+%]+3M%且％=1,a2=S,

求｛%｝的通项公式.

10.已知正实数满意/=1,且/+/+i="?（a+/>+i）3,求机的取值范围.

11.已知点E（，%”）为抛物线V=2pHp>0）内肯定点，过E作斜率分别为6,七的两条直线交

抛物线于A,3,C,。，且M,N分别是线段4?,8的中点.

（1）当〃=0且&-&=-1时，求△胡加的面积的最小值；

（2）若kH（2x0,2为常数），证明：直线MN过定点.

2023年全国中学数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

(高二年级)

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思

路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题(本题满分64分，每小题8分。干脆将答案写在横线上。)

1・函数/u)=-的值域为.

Vx-+4x+76

2.已知3sin2a+2sir)2/7=1,3(sin+cosa)2-2(sin/9+cos/7)2=1,则cos2(a+0=一；.

3.已知数列{a,,}满意：生为正整数，

忤，明为偶数，

M+1Z

3。〃+1,。〃为奇数，

假如a}+a2+a3=29,贝ljax=5.

4.设集合S={1,2,3,…,12},人=伍］,々，2}是S的子集，且满意。3一。2«设那么

满意条件的子集4的个数为185.

22

5.过原点。的直线/与椭圆C：j+4=l(a>b>0)交于M,N两点，P是椭圆C上异于

a~b~

的任一点.若直线PM,PN的斜率之积为-1,则椭圆C的离心率为好.

3_3_

6.在△ABC中，AB=BC=2,AC=3.设。是的内心，若元，则e的

3

值为二.

2

7.在长方体中，已知AC=1,与C=VlAB|=p,则长方体的体积最大时，p

2012701?4-?^

8.设［x］表示不超过x的最大整数，则±11=2023.

k=02

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9.已知正项数列｛*｝满意Ja“a“+i+6M+2=4&“*+a；］+3*“/用且q=1,a2=S,

求｛〃“｝的通项公式.

-----------------------------8分

所以J"乎+1=4"，即〃,用=［（4"T）2-1M0.--------------------------------12分

于是，当”>1时，

2n222

a„=[(4"-'-l)-l]a„.l=[(4-'-l)-l]-[(4"--I)-l]a„,2

=...=门[(4"---1肛=n1(4i-1)2-1],

£=lk=l

1,〃=1,

因此％二曲―M“22.-----------------------------16分

、A=1

10.已知正实数满意a2+/?2=1,且+）3+1=相（。+〃+1）3,求相的取值范围.

7T

解令。=cosa〃=sine,o<e<—,贝u

2

322

fY!—_c_o_s__e__+_s_i_n_3_。__+_1—_(_c_o_s_0__+_s_i_n_^_)_(i_c_o_s__0_-__c_o_s_6__s_in_。__+_s_i_n___0)__+_1.___________________________________

一(cos6+sin6+l)3-(cosO+sin。+1产

■5分

令x=cos8+sin8,则x=V2sin(^+—)e(1,V2]且

4

r2_[

cosOsin8=-----•----------------------10分

2

于是

_x(l2)+]_2+3]-彳3_2+1--_2-x_31

(x+l)3―2(x+l)3-2(x+l)2-2(%+1)-2(冗+1)2*

■--15分

因为函数/(x)=——--在(1.V2J上单调递减，所以“/)<m</(I).

2(x+1)2

/(1)=1,/(V2)=^|^

又所

r372-41

四二一20分

11.已知点£■(,%”)为抛物线V=2p*p>0)内肯定点，过E作斜率分别为占，3的两条直线交

抛物线于A,B,C,。，且M,N分别是线段A8,8的中点.

(1)当“=0且&-&=-1时，求△EMN的面积的最小值；

(2)若《+&=义(2x0,尤为常数)，证明：直线MN过定点.

解48所在直线的方程为x=4(y-〃)+"?,其中乙=上，代入y?=2p戈中，得

h

2

y-2ptiy+2pt]n-2pm=0,

设4(为，%),8(工2，必)，则有必+力=2。/1，从而

%+"2=4(X+%-2〃)+2m=tx(2pt「2n)+2m.

则M(pt；-nt}+m,ptj.

CD所在直线的方程为x=r,(y-〃)+,〃，其中r,=’，同理可得N(p片一叫+m,pu).

k2

------------------------------5

分

(1)当〃=0时，E(m,0),M(ptf+m,pt1),N(pg+m,ptD,lEMRp%|Jl+t：,

\EN\=\pt2\^\+t^.

又匕&=-l,故/「4=T，于是△£?新的面积

S=g|EMHENI=；|p2他I而而弋・7^不忑

>--A/4=p2,

2

当且仅当|f||=|，2=1时等号成立•

所以，△£）的的面积的最小值为p2..............................10分

⑵%v=2M「）___=!，

-f2）一叫-/2）G+心），

~P

2

MN所在直线的方程为y-ptx=---------------[x-（pt1-nt{+m],

z、n

（。+，2）-----

P

即y（。+G-%）-ptj?=x—m.--------------------------------------------15分

p

=—+—=2,即f[2=1+1，代入上式，得y«]+q--四）一=、一/%,

t\t2“2pA

即（。+j）（y一与）=1+"一机.

XP

当y_‘=0时，有》+&_机=0,即.几为方程的一组解，

2P一"

所以直线MN恒过定点（〃?-],-----------------------------20分

年全国高中数学联赛

中2012

出

泗陕西赛区预赛试卷

於

(（5月20日上午8：30-11；00）

S懒二试

题号一试总成绩

—二三四五

如

得分

蒯评卷人

复核人

K

考生注意：

81.本试卷分两试.第一试共10小题，满分80分;第二试共5大题，满分120分.

裁£

2.用蓝色(或黑色)钢笔、签字笔或圆珠笔作答.

3.解题书写不要超过装订线.

事

4.不能使用计算器.

第一试

X

定!

科得分评卷入填空题(每小题8分，共80分)

——

1摒本题共有10小题，要求直接相答案填在题中的横线上.

/1.已知集合M={1,3,5,7,9|，若非空集合A满足：4中各元素都加4后构成M

的一个子集,4中各元素都减4后也构成M的一个子集，则4=.

2.已知两条直线匕：y=24：,=4,设函数y=3*的图象与/,4分别交于点4、B,

幽

函数y=5*的图象与Z,4分别交于点C、D,则直线AB与CD的交点坐标是_____.

)3.对于正整数n,若n=p^g(pmg,p、geM),当p-q最小时,我们称p^q为力的

一

一“最佳分解”，并规定/⑺=/例如,12的分解有12X1,6x2,4x3,其中4x3为12

的最佳分解，则/(12)=*关于/In)，有下列四个判断：

®(4)=0；额一7)=为1⑨'(24)二看a；©(2012)=看4

(

凶

)其中，所有正确判断的序号是_____.

照4.已知△加C为等腰直角三角形，乙4=90。,且花=。+九斤=。-从若“=

(cos8,sind)(6wR),则△仞，的面积等于.

2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第1页(共6页)

(

凶

)

生

5.在正四面体ABCD中,40，平面BCD,垂足为。.设M是线段4。上一点，且满

足乙创优=90。,则瑞=.

6.如图1,用的三个顶点都在给定的抛物线

x2=2py（p>0）上，且斜边AB//x轴,则斜边上的高|CD\

7.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖（参与游戏

活动的都有奖），且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比

的等比数列,相应获得的奖金是以700元为首项、-140为公

差的等差数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是图】

______%.

8.设p、g是两个不同的质数，则pi+/“被p•g除的余数是.

9.定义在R上的函数/⑷满足且对任意的"R,都有/«）<•!".则

不等式/（勿g24）a""的解集为.

10.从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m以外的公路

边埋栽，在500m处栽一根，然后每间隔50m在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多

只能运3根，要完成运栽20根电线杆的任务，并返回材料工地,则运输车总的行程最

小为m.

得分评卷人

一、（本题满分20分）

在△ABC中，已知4B=2,4C=1,且cos2A+Isin24产=1.

（1）求角4的大小和BC边的长；

（2）若点P在△ABC内运动（含边界），且点P到三边距离之和为d.设点P到边

BC、CA的距离分别为4、y,试用…表示d,并求d的取值范围.

2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第2页（共6页）

得分评卷入

二、（本题满分20分）

在平面直角坐标系中，以点CQ,：）为圆心的圆经过坐标原点。，且分别与％轴、

y轴交于点A1（不同于原点0）.

（1）求证:ZUOB的面积S为定值；

（2）设直线Z：y=-2%+4与圆C相交于不同的两点M、N,且|0破|=|ON|,

求圆C的标准方程.

2012年全国高中数学联赛陕西赛友预赛试卷第3页（共6页）

得分评卷人

三、（本题满分20分）

如图2,锐角△ABC内接于圆。，过圆心0且垂直于半径OA

的直线分别交边四、4C于点E、F.设圆。在B、C两点处的切线

相交于点P,求证:直线AP平分线段EF.

图2

2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第4页（共6页）

得分评卷入

四、(本题满分30分)

已知数列｛4｝满足/=4-,4'=2<13*+[+3a„+1(ne7V*).

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列也[满足鼠=1+：(neW)，且对任意正整数MziN2)，不等式

芝[晨>茂恒成立，求整数W的最大值.

^=1n+log3bk24

2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第5页(共6页)

得分评卷入

五、（本题满分30分）

对于任意的正整数/证明：

7

1]1+…+1

3^2+32+2i+33-213"+(-2)*6*

图

摩

那

娜3-

阖

2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第6页（共6页）

2023年上海市中学数学竞赛

一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）

1.如图，正六边形的边长为1,它的6条对角线又

围成一个正六边形如此接着下去，则全部这些

六边形的面积和是

a.4

2.已知正整数q,a,,,%o满意:上>—,l《i<J410,则为）

42

的最小可能值是

174

3.H若tana+tan，+tany=-，cotcr+cot+cot/=——,cotacot夕

65

17

+cotyffcot/+cot/cotcr=--,则tan(a+尸+y)=.

4.已知关于x的方程1g(h)=21g(x+l)仅有一个实数解，则实数攵的

取值范围是.

5.如图，AA£F是边长为x的正方形A3CO的内接三角形，已知

ZAEF=90°,AE=a,EF=b,a>b,则》=

6.方程2匕3"-3向+2"'=13的非负整数解（%〃）=，

7.一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑

色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是.

（用数字作答）

8.数列｛4｝定义如下：q=l,a,=2,a“+2="驾％一一^-a„,n=l,2,•若

a>2+—,则正整数加的最小值为

m2012

二、解答题

9.（本题满分14分）如图，在平行四边形A8CD中，AB^x,BC=1,对角线AC与

BD的夹角400=45。，记直线AB与CD的距离为〃（x）.

求/z（x）的表达式，并写出x的取值范围.

A

10.（本题满分14分）给定实数。＞1,求函数/（x）=（a+sin"）（4+sinx）的最小值.

l+sinx

11.(本题满分16分)正实数x,y,z满意9A>Z+孙+yz+zx=4,求证:

4

(1)xy+yz+zx>—；

(2)x+y+z22.

12.(本题满分16分)给定整数〃修3),记/(“)为集合｛1,2,,2"-1｝的满意如下两个

条件的子集A的元素个数的最小值：

(a)isA2n-IGA；

(b)A中的元素(除1外)均为A中的另两个(可以相同)元素的和.

(1)求/⑶的值;

(2)求证：/(100)<108.

2023年上海市中学数学竞赛答案

9G

1、2、92

~4~

3、114、(f0)U{4}

5、6、(3,0),(2,2)

yjcr+(a-6)一

7、-8、4025

5

9.解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得

OB1+OC2=-(AB2+BC2)=-(x2+1).①

22

（2分）

在△08C中，由余弦定理

BC2=OB2+OC2-2OBOCcosNBOC,

所以OB2+OC2-y/2OBOC=\,②

r2_1

由①，②得OBOC=—尸.③

2V2

（5分）

所以SABCD=4SAOBC=4--OBOCsinZBOC

2_]

=yf2OBOC=^——

29

尤2_]

故AB•h(x)----,

2-l

所以/l(x)=土x」...........（10分）

2x

由③可得，x2-l>0,故x>l.

因为O82+OC22203。。，结合②，③可得

-(x2+l)>2-^i,

22V2

解得（结合x>l）1<X<V2+1.

Y2_11—

综上所述，h(x)=-----，l<x<V2+l.（14分）

2x

AHj、(a+sinx)(4+sinx)..3(a-l),

10.解/(x)=-----------------=l+sinx+-