一元二次方程的解法因式分解法九年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】专题22.4一元二次方程的解法：因式分解法姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021秋•兖州区期末〕方程x〔x+3〕＝x的解是〔〕A．x1＝x2＝﹣3B．x1＝1，x2＝3C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0．x2＝﹣2【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x〔x+3〕﹣x＝0，分解因式得：x〔x+3﹣1〕＝0，可得x＝0或x+2＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2．应选：D．2．〔2021秋•玉田县期末〕方程5x2＝4x的解是〔〕A．x＝0B．x=C．x1＝0，x2=45D．x1＝0或x【分析】利用提公因式法将方程化为x〔5x﹣4〕＝0，即可求解．【解答】解：5x2＝4x，5x2﹣4x＝0，x〔5x﹣4〕＝0，∴x1＝0，x2=4应选：C．3．〔2021秋•长垣市期末〕方程x〔x﹣2〕＝2x的解是〔〕A．x＝2B．x＝4C．x1＝0，x2＝2D．x1＝0，x2＝4【分析】先移项，然后提取公因式x，对等式的左边进行因式分解．【解答】解：∵x〔x﹣2〕＝2x，∴x〔x﹣2〕﹣2x＝0，∴x〔x﹣4〕＝0，那么x＝0或x﹣4＝0，解得x1＝0，x2＝4．应选：D．4．〔2021秋•乐至县期末〕一元二次方程3x2﹣x＝0的解是〔〕A．x=13B．x1＝0，x2＝3C．x1＝0，x2=13D【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵3x2﹣x＝0，∴x〔3x﹣1〕＝0，∴x＝0或3x﹣1＝0，∴x1＝0，x2=1应选：C．5．〔2021秋•鄄城县期末〕解方程〔5x﹣3〕2＝2〔5x﹣3〕，选择最适当的方法是〔〕A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法【分析】先移项得到〔5x﹣3〕2﹣2〔5x﹣3〕＝0，然后根据因式分解法解方程．【解答】解：〔5x﹣3〕2﹣2〔5x﹣3〕＝0，〔5x﹣3〕〔5x﹣3﹣2〕＝0，〔5x﹣3〕〔5x﹣3﹣2〕＝0解得：x1=35，x2＝应选：D．6．〔2021•金乡县一模〕一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣3x＝4〔x﹣3〕的两个实数根，那么该直角三角形斜边上的中线长是〔〕A．3B．4C．6D．【分析】先利用因式分解法解方程得到直角三角形两直角边分别为3、4，再利用勾股定理计算出斜边＝5，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．【解答】解：x〔x﹣3〕﹣4〔x﹣3〕＝0，〔x﹣3〕〔x﹣4〕＝0，x﹣3＝0或x﹣4＝0，所以x1＝3，x2＝4，那么直角三角形两直角边分别为3、4，所以斜边=32所以该直角三角形斜边上的中线长=5应选：D．7．〔2021春•丽水期中〕三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，那么该三角形的面积是〔〕A．24或25B．24C．85D．24【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝6，x2＝10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高＝25，那么根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：x2﹣16x+60＝0，〔x﹣6〕〔x﹣10〕＝0，x﹣6＝0或x﹣10＝0，所以x1＝6，x2＝10，当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，那么底边上的高=62-42=25，此时三角形的面积=当第三边长为10时，三角形为直角三角形，此时三角形的面积=12×8×6应选：D．8．〔2021•晋江市一模〕假设x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，那么多项式2x2﹣4px+6q可以分解为〔〕A．〔x+3〕〔x﹣5〕B．〔x﹣3〕〔x+5〕C．2〔x+3〕〔x﹣5〕D．2〔x﹣3〕〔x+5〕【分析】先提取公因式2，再根据分解即可．【解答】解：∵x2﹣2px+3q＝0的两根分别是﹣3与5，∴2x2﹣4px+6q＝2〔x2﹣2px+3p〕＝2〔x+3〕〔x﹣5〕，应选：C．9．〔2021秋•茌平区期末〕一个三角形两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，那么该三角形的周长为〔〕A．9B．11C．13D．9或13【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣8x+12＝0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，那么该三角形的周长可求．【解答】解：∵x2﹣8x+12＝0，∴〔x﹣2〕〔x﹣6〕＝0，∴x1＝2，x2＝6，∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周长为：2+5+6＝13．应选：C．10．〔2021•丰泽区校级模拟〕给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．假设函数y＝x4，那么有y'＝4×x3，函数y＝x3，那么方程y'＝9x的解是〔〕A．x＝3B．x＝﹣3C．x1＝0，x2＝3D．x1＝0，x2＝﹣3【分析】根据得出方程3x2＝9x，求出方程的解即可．【解答】解：∵函数y＝x3，方程y'＝9x，∴3x2＝9x，3x2﹣9x＝0，3x〔x﹣3〕＝0，3x＝0，x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3，应选：C．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021秋•甘井子区校级期末〕x2﹣5x＝0的根为x1＝0，x2＝5．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵x2﹣5x＝0，∴x〔x﹣5〕＝0，那么x＝0或x﹣5＝0，解得x1＝0，x2＝5，故答案为：x1＝0，x2＝5．12．〔2021秋•犍为县期末〕一元二次方程x〔x+1〕﹣2〔x+1〕＝0的根是x＝﹣1或x＝2．【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵x〔x+1〕﹣2〔x+1〕＝0，∴〔x+1〕〔x﹣2〕＝0，那么x+1＝0或x﹣2＝0，解得x＝﹣1或x＝2，故答案为：x＝﹣1或x＝2．13．〔2021秋•曲靖期末〕一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程x2﹣8x+12＝0的两根，那么该等腰三角形的周长是14．【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是2和6，有三角形的三边关系，2为底，6为腰，可以求出三角形的周长．【解答】解：∵x2﹣8x+12＝0，∴〔x﹣2〕〔x﹣6〕＝0，∴x1＝2，x2＝6．∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，∴腰长是6，底边是2，周长为：6+6+2＝14，故答案为：14．14．〔2021•宜城市模拟〕一个菱形的边长是方程x2﹣7x+10＝0的一个根，其中一条对角线长为6，那么该菱形的面积为24．【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．【解答】解：x2﹣7x+10＝0，〔x﹣2〕〔x﹣5〕＝0，x﹣2＝0或x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝5，∵菱形一条对角线长为6，∴菱形的边长为5，∵菱形的另一条对角线长＝252-∴菱形的面积=12×6×815．〔2021秋•峄城区期中〕假设菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，那么该菱形ABCD的周长为24．【分析】解方程得出x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．【解答】解：如下图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：〔x﹣4〕〔x﹣6〕＝0，解得：x＝4或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．故答案为：24．16．〔2021春•西城区校级月考〕对于实数a、b、c、d，我们定义运算abcd=ad﹣bc，例如：2135=2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．假设x【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出x的值．【解答】解：根据题中的新定义得：xx-26x=x2﹣6〔即x2﹣6x+8＝0，分解因式得：〔x﹣4〕〔x﹣2〕＝0，解得：x＝4或2．故答案为：2或4．17．〔2021•呼和浩特一模〕假设a≠0，那么关于x的方程a〔x+1〕＝a的解是x＝0；方程〔x﹣1〕〔x+1〕＝x﹣1的解是x＝0或x＝1．【分析】第一个方程两边都除以a可得；第二个方程利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵a≠0，∴方程两边都除以a，得：x+1＝1，解得x＝0；∵〔x﹣1〕〔x+1〕＝x﹣1，∴〔x﹣1〕〔x+1〕﹣〔x﹣1〕＝0，那么〔x﹣1〕〔x+1﹣1〕＝0，即x〔x﹣1〕＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，解得x＝0或x＝1，故答案为：x＝0，x＝0或x＝1．18．〔2021秋•长沙期末〕等腰△ABC的腰和底边分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个不相等的解，那么此三角形的周长为7或8．【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系列出不等式，确定是否符合题意．【解答】解：解方程x2﹣5x+6＝0，得x1＝2，x2＝3，当2为腰，3为底时，2﹣2＜3＜3+3，能构成等腰三角形，周长为2+2+3＝7；当3为腰，2为底时，3﹣2＜3＜3+2，亦能构成等腰三角形，周长为3+3+2＝8．故周长为7或8，故答案为7或8．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021秋•南京期末〕解方程：〔1〕x2+2x﹣3＝0；〔2〕3x〔x﹣1〕＝2〔1﹣x〕．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：〔1〕∵x2+2x﹣3＝0，∴〔x+3〕〔x﹣1〕＝0，那么x+3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1；〔2〕∵3x〔x﹣1〕＝2〔1﹣x〕，∴3x〔x﹣1〕＝﹣2〔x﹣1〕，∴3x〔x﹣1〕+2〔x﹣1〕＝0，那么〔x﹣1〕〔3x+2〕＝0，∴x﹣1＝0或3x+2＝0，解得x1＝1，x2=-220．〔2021秋•定州市期中〕根据要求解方程〔1〕x2+3x﹣4＝0〔公式法〕；〔2〕x2+4x﹣12＝0〔配方法〕；〔3〕〔x+4〕2＝7〔x+4〕〔适当的方法〕．【分析】〔1〕直接求出△＝b2﹣4ac＝25，进而利用公式法解方程即可；〔2〕直接利用配方法解方程得出答案；〔3〕直接利用提取公因式法解方程得出答案．【解答】解：〔1〕∵△＝b2﹣4ac＝25＞0，∴x=-解得：x1＝﹣4，x2＝1；〔2〕x2+4x﹣12＝0，x2+4x＝12，〔x+2〕2＝16，那么x+2＝±4，解得：x1＝﹣6，x2＝2；〔3〕〔x+4〕2＝7〔x+4〕〔x+4〕[〔x+4〕﹣7]＝0，那么x+4＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣4．21．〔2021春•新昌县期末〕解方程：〔1〕x2﹣4＝0；〔2〕〔x+3〕2＝〔2x﹣1〕〔x+3〕．【分析】〔1〕利用直接开平方法求解可得；〔2〕利用因式分解法求解可得．【解答】解：〔1〕∵x2﹣4＝0，∴x2＝4，那么x1＝2，x2＝﹣2；〔2〕∵〔x+3〕2＝〔2x﹣1〕〔x+3〕，∴〔x+3〕2﹣〔2x﹣1〕〔x+3〕＝0，∴〔x+3〕〔﹣x+4〕＝0，那么x+3＝0或﹣x+4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4．22．〔2021秋•宜宾县校级月考〕按要求解以下方程①x2﹣6x＝1〔公式法〕②14x2+x﹣2＝0③3x2+16x+5＝0④x2﹣4x+5＝0〔因式分解法〕【分析】方程分别利用公式法，配方法，因式分解法求出解即可．【解答】解：①方程整理得：x2﹣6x﹣1＝0，这里a＝1，b＝﹣6，c＝﹣1，∵△＝36+5＝40，∴x=6±2102=②方程整理得：x2+4x＝8，配方得：x2+4x+4＝12，即〔x+2〕2＝12，开方得：x+2＝±23，解得：x1＝﹣2+23，x2＝﹣2﹣23；③分解因式得：〔3x+1〕〔x+5〕＝0，可得3x+1＝0或x+5＝0，解得：x1=-13，x2＝﹣④方程整理得：x2﹣4x＝﹣5，配方得：x2﹣4x+4＝﹣1，即〔x﹣2〕2＝﹣1，那么此方程无解．23．〔2021秋•昭通期中〕等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个解，那么这个等腰三角形的周长是多少？【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再利用三角形三边关系判断是否构成三角形，继而可得答案．【解答】解：解方程x2﹣5x+6＝0，得：x＝2或x＝3，当2为腰时，2+2＞3，可以构成三角形，周长为7；当3为腰时，3+3＞2，可以构成三角形，周长为8．24．〔2021秋•綦江区校级月考〕阅读理解以下材料，然后答复以下问题：解方程：x2﹣3|x|+2＝0．解：〔1〕当x≥