福师大网络教育《复变函数》网络作业答案

.复变函数作业一一、判断（对的用 T表示，错的用F表示）1、假如f(z0)存在，那么f(z)在z0分析。（F ）2、Lnzn nLnz。（F ）3、当且仅当z为实数时，ez为实数。（ F ）4、设f(z) u iv在地区D是分析的，假如u是实常数，那么数；假如v是实常数，那么 f(z)在D也是常数。（ T）二、填空1in1i3n1、Re3=；Im=222、设是1的n次根，1，则12Ln1=03、在映照z2下，扇形地区0argz,z40argzπ2。4、若1n1n。ii，则n=三、计算1、计算以下函数值：1）i；）34i。Lne21）、Lnei解：主值lneilneiiargeii,Lneilnei2kii2ki,k

(z)在整个D是常。。1的像地区为2）、 3 4i解：设3+4i的平方根是x+yi，x、y∈R，则有x2-y2=3，且2xy=4，. . ..求得x=2，y=1，或x=-2y=-1，故3+4i的平方根是2+i，或-2-i，故答案为：2+i，或-2-i2、以下函数在复平面上哪处可导？哪处分析？1）1；2）x2y2xi2xyy2。z1）1；z解：由于f(z)=|z| 当趋于0-时f(z)=|-1 ；当趋于0+时f(z)=|1 ；右极限不等于左极限。所以f(z)=|z| 在z=0处不行导，而在除 0之外的其余地方都可导且分析。2）x2y2xi2xyy2。解：ux2x1vx2y,uy2y,vy2x2yuxvy,uyvxy12仅在直线y 1上可导，在复平面上到处不分析。23、函数f(z) x2 y3 2x2y2i能否为分析函数？求出其导数。解：不是分析函数，由于知足条件的只有两个点，不行地区f(x,y)uxivx2x4xy2f(0,0)0,f3,234i4323. . ..4、已知f(z)3271,C:x2y23，求f1i。Czd解：f(z)2i(3z27z1)f(z)2i(6z7)f(1i)2613i5、计算积分1）3z1z2zzdz；1解：1）3z1dz；z2zz1. . ..sinz42）12dz；z1z1解：sinzsinz44z2在z11只有z1一个极点，所以令fz，所以11zsinz4fz2dz2if1z11z21dziz11z123）z11ezdz；22zz1解:1ezdzz122zz11edz2z(z2z11)4）dz2。z133z2z解：3dz3124z4)z1z(z3dzz1z54z44z3四、证明：若积分路径不经过1dzk,k￠。i，则z2014证明：假如积分路径不经过 i，且不绕过，i则由柯西定理得，. . ..若积分绕z=转k1圈，则积分值为若绕z=-i 转k2圈，则积分值为故在一般状况下，积分值为五、证明：设v是u的共轭调解函数，问以下各对函数中后者能否是前者的共轭调解函数？判断并给出原因：1）AuBv,BuAv（A,B为常数）；2）u2v2,uv。1）证明：2） 不是 的共轭调解函数证明：. . ..由于在某地区的调解函数必定是该地区某分析函数 (可能多值)的实部或虚部，反之，某地区的分析函数其实部与虚部都是该地区的调解函数。 和不知足此条件，应当是 2uv是 的共轭调解函数。综上所述， 不是 的共轭调解函数。复变函数作业二一、判断1、an(z2)n在z=0收敛，在z=3发散。（F）n02、在地区zR分析，且在区间（-R，R）取实数值的函数f(z)睁开成z的幂级数时，睁开式的系数都是实数。（T）3、tan1在圆环地区0zR(0R)不可以睁开成罗朗级数。（F）z14、z=0是f(z)tanez的天性奇点。（T）二、填空21、(1i)nzn的收敛半径为2。n02、ez2sinz2睁开成z的幂级数的收敛半径=。3、z=0是f(z)sinztanz的3级零点。4、f(z),g(z)以z=a为m级和n级极点，则z=a为f(z)g(z)的m+n级极点。三、计算1、求1在z01处的泰勒睁开式。z2解：. . ..111(n1)(z1)n(z11)z2z1(z1)n02、求zn:z1n12解：zndzdzzndz2in1zn13、求f(z) 1 2z 4z2 z3在z=1处的泰勒睁开式。解：当z=1时，此函数的泰勒睁开式为：（ z-1）^3-(z-1)^2-3(z-1)1在以i为中心的圆环域睁开为罗朗级数。4、将f(z)z2(zi)解:zndzdzzndz2in1zn1四、若f(z)为整函数，且limM(r)M(r)maxf(z)，则f(z)是不高于nnr次的多项式。证明：f(z)ckzk,zk0当kn1limM(r)rkr当kn1

,ckM(r)(k0,1,2,L)rk时，令knp(p1)lim1M(r)0(kn1)prnrr时，ck0. . ..复变函数作业三一、判断题（对的用“T”表示，错的用“F”表示）1、若f(z)在地区D单叶分析，则在Df(z)0。（F）2、线性变换将平面上的圆周变成圆周或直线。（T）3、分析函数拥有保形性。（F）4、函数在可去奇点处的留数为0。（F）二、填空题1、方程在单位圆6z62z4z210有6个根。2、i对于zi1的对称点为x2+(y-1)2=1。3、f(z)1,C:z2，则Cargf(z)=－4。(z1)2(z5)(z43i)4、z5在点z1i处的旋转角为，伸缩率为20。三、 计算题dz1、z49(z 1)(z 2)(z 48)(z 50)解：设f1(z)=1/[(z-2)(z-48)(z-50)] ，f2(z)=1/[(z-1)(z-48)(z-50)] ，f3(z)=1/[(z-1)(z-2)(z-50)] ，则答案为2πi[f1(1)+f2(2)+f3(48)]2d2、sin04解：. . ..2d1dz2dz04sinz1z21izz1z28iz142iz22zz1z1i415,ilimzz1(zz1)(zz2)z2i4154i22i1515xsinx3、 x216dxxsinx解：2dxx164、求把z平面的单位圆变成 平面的单位圆，并使 1成为不动点，使1 i变成无量远点的线性变换 L(z)。eiza1解：依题意得，设1az，由于1+i对于单位圆的对称点为1i，无量远点对于单位圆的对称点是0，. . ..1i,10,1111iiz11iz1ii1i,112e11iz1i1zi1125、求把z平面的单位圆z1变成平面的单位圆1的线性变换L(z)，使L10,argL1。33解：设圆周部一点Z=a(a1)变成w=