福建省福州市八县（市）协作校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）VIP

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州市八县（市）协作校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题完卷时间：120分钟：满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数z满足，则z的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，，故，则z的虚部为.故选：D2.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故.又，故.，，故选：A3.若向量，满足，，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，,∴，即，设向量与夹角为，∵，∴，又∵，∴．故选：B．4.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，当时，表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以，所以对应点位于复平面的第三象限.故选：C5.函数在图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，，定义域关于原点对称，，是奇函数，排除A；当时，，排除C；当时，中，故，排除B.故选：D6.平行四边形ABCD中，，点F为线段AE的中点，则=（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗点为线段的中点，，即①，，，即②，由①②得，，故选：A．7.的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（）A.等腰非直角三角形 B.直角非等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗D〖解析〗因为，所以，整理得，又，所以，即，即，又，所以，得，因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形.故选：D8.在中，，，是所在平面内一点，，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，因为，可得，所以，又因为，所以.故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列命题正确的有（）A.若复数在复平面上对应的点在虚轴上，则B.复数z的共轭复数为，则的一个充要条件是C.若，（）是纯虚数，则实数D.关于x的方程在复数范围内的两个根互为共轭复数〖答案〗ABD〖解析〗对于A中，若复数在复平面上对应的点为，要使得在复平面的虚轴上，则满足，所以A正确；对于B中，复数z的共轭复数为，若，则，即充分性成立；设，则，若，可得，即，此时，即必要性成立，所以B正确；对于C中，若是纯虚数，则满足，解得，所以C不正确；对于D中，由方程，可得，所以方程在复数范围内的两个根互为共轭复数，所以D正确.故选：ABD.10.对函数，下列判断正确的是（）A. B.函数只有一个零点C.函数的值域为 D.函数的单调增区间是〖答案〗ABC〖解析〗对A，，故A正确；对B，令可得，解得，故B正确；对C，当时，，当时，当且仅当，即时取等号，此时又由A可得为奇函数，故当时.综上有函数的值域为，故C正确；对D，，，，故D错误.故选：ABC11.已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（）A B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗函数．由于函数值域为,，则，所以，，故，，所以，故的最大值为，当最小时，，，，此时的最小值为，故．故选：ABC．12.若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，，则（）A. B.C.若，则 D.〖答案〗AB〖解析〗由题意可得：，可得，由正弦定理可得：，，，可得；故A正确，又，所以,由于,所以,则，故B正确，对于C，若，则,故C错误，对于D，,故D错误，故选：AB三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，，若，则______．〖答案〗〖解析〗因为，则，即，整理可得，又因为向量，，则，解得.故〖答案〗为：.14.已知，，则的值是______．〖答案〗〖解析〗由可得，由于，所以，故，故，故〖答案〗为：15.已知复数z满足：（i为虚数单位），写出一个满足条件的z为______．〖答案〗（或）〖解析〗设，则，即，故，即，，，解得或，故或.故或.故〖答案〗为：（或）16.在中，已知，P为线段AD上的一点，且满足．若的面积为，，则线段CP长度的最小值为______．〖答案〗〖解析〗∵，且，所以，∵A，P，D三点共线，∴，即．∴，又∵，且．∴，即．∴.∴．故〖答案〗为：．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、．（1）求点对应的复数：（2）在中，求边上的高．解：（1）因为平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、，由复数的几何意义可得、、，由平面向量加法的平行四边形法则可得，故点对应的复数为.（2）因为，，所以，，所以，，因此，的边上的高为.18.如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．（1）在θ仿射坐标系中，若，，，求t．（2）在的仿射坐标系中，，求在上的投影向量仿射坐标．解：（1），，，即；（2），，，，，在上的投影向量为，即在上的投影向量斜坐标为；19.已知函数．（1）求函数的对称中心；（2）先将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，设函数，试讨论函数在区间内的零点个数．解：（1），由得，所以的对称中心为（2）将的图像向右平移个单位长度，得的图像，再将该图像所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到的图像，故，作函数在区间的图像如图：由图可知，当或时，在区间内一个零点；当时，在区间内两个零点；当或时，在区间内没有零点.20.在四边形ABCD中，，．（1）求的长：（2）若，求四边形的面积．解：（1）因为且，可得，在中，，所以.（2）因为，可得，又因为且，可得由正弦定理，可得，所以，由，可得，又因为，所以四边形的面积为.21.我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数（1）设函数（ⅰ）求函数图象对称中心，并求的值；（ⅱ）若函数与函数图象有两个交点A，B，若点C坐标为，求的值．（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论．解：（1）（ⅰ）因为，记，因为，所以为奇函数，即为奇函数，由题知，的图象关于点对称.由上可知，，则，同理可得，，，所以.（ⅱ）因为为奇函数，所以的图象关于点对称,故交点A，B的中点为,所以，因为，所以.（2）其推广结论为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.若函数的图象关于直线成轴对称图形，则将函数图象向左平移个单位长度后的图象关于y轴对称，即为偶函数；反之亦然.22.如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧（含端点）上的动点．记（λ，μ均为实数）．（1）若时，当点C恰好运动到劣弧的中点时，求的值.（2）若时，求的取值范围;（3）若，记向量和向量的夹角为θ，求的最小值．解：（1）若，且点C恰好运动到劣弧的中点，则此时互相垂直且平分，则四边形为菱形，即故.（2）记劣弧的中点为，且，①②①+②得进一步得：，其中，所以故的取值范围为：（3）记，由两边平方，得，又，∴∴，故，又和向量的夹角为，记，显然关于单调递增，所以当时，.福建省福州市八县（市）协作校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题完卷时间：120分钟：满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数z满足，则z的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，，故，则z的虚部为.故选：D2.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故.又，故.，，故选：A3.若向量，满足，，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵，,∴，即，设向量与夹角为，∵，∴，又∵，∴．故选：B．4.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，当时，表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以，所以对应点位于复平面的第三象限.故选：C5.函数在图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，，定义域关于原点对称，，是奇函数，排除A；当时，，排除C；当时，中，故，排除B.故选：D6.平行四边形ABCD中，，点F为线段AE的中点，则=（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗点为线段的中点，，即①，，，即②，由①②得，，故选：A．7.的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（）A.等腰非直角三角形 B.直角非等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗D〖解析〗因为，所以，整理得，又，所以，即，即，又，所以，得，因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形.故选：D8.在中，，，是所在平面内一点，，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，因为，可得，所以，又因为，所以.故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列命题正确的有（）A.若复数在复平面上对应的点在虚轴上，则B.复数z的共轭复数为，则的一个充要条件是C.若，（）是纯虚数，则实数D.关于x的方程在复数范围内的两个根互为共轭复数〖答案〗ABD〖解析〗对于A中，若复数在复平面上对应的点为，要使得在复平面的虚轴上，则满足，所以A正确；对于B中，复数z的共轭复数为，若，则，即充分性成立；设，则，若，可得，即，此时，即必要性成立，所以B正确；对于C中，若是纯虚数，则满足，解得，所以C不正确；对于D中，由方程，可得，所以方程在复数范围内的两个根互为共轭复数，所以D正确.故选：ABD.10.对函数，下列判断正确的是（）A. B.函数只有一个零点C.函数的值域为 D.函数的单调增区间是〖答案〗ABC〖解析〗对A，，故A正确；对B，令可得，解得，故B正确；对C，当时，，当时，当且仅当，即时取等号，此时又由A可得为奇函数，故当时.综上有函数的值域为，故C正确；对D，，，，故D错误.故选：ABC11.已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（）A B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗函数．由于函数值域为,，则，所以，，故，，所以，故的最大值为，当最小时，，，，此时的最小值为，故．故选：ABC．12.若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，，则（）A. B.C.若，则 D.〖答案〗AB〖解析〗由题意可得：，可得，由正弦定理可得：，，，可得；故A正确，又，所以,由于,所以,则，故B正确，对于C，若，则,故C错误，对于D，,故D错误，故选：AB三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，，若，则______．〖答案〗〖解析〗因为，则，即，整理可得，又因为向量，，则，解得.故〖答案〗为：.14.已知，，则的值是______．〖答案〗〖解析〗由可得，由于，所以，故，故，故〖答案〗为：15.已知复数z满足：（i为虚数单位），写出一个满足条件的z为______．〖答案〗（或）〖解析〗设，则，即，故，即，，，解得或，故或.故或.故〖答案〗为：（或）16.在中，已知，P为线段AD上的一点，且满足．若的面积为，，则线段CP长度的最小值为______．〖答案〗〖解析〗∵，且，所以，∵A，P，D三点共线，∴，即．∴，又∵，且．∴，即．∴.∴．故〖答案〗为：．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、．（1）求点对应的复数：（2）在中，求边上的高．解：（1）因为平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、，由复数的几何意义可得、、，由平面向量加法的平行四边形法则可得，故点对应的复数为.（2）因为，，所以，，所以，，因此，的边上的高为.18.如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．（1）在θ仿射坐标系中，若，，，求t．（2）在的仿射坐标系中，，求在上的投影向量仿射坐标．解：（1），，，即；（2），，，，，在上的投影向量为，即在上的投影向量斜坐标为；19.已知函数．（1）求函数的对称中心；（2）先将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，设函数，试讨论函数在区间内的零点个数．解：（1），由得，所以的对称中心为（2）将的图像向右平移个单位长度，得的图像，再将该图像所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到的图像，故，作函数在区间的图像如图：由图可知，当或时，在区间内一个零点；当时，在区间内两个零点；当或时，在区间内没有零点.20.在四边形ABCD中，，．（1）求的长：（2）若，求四边形的面积．解：（1）因为且，可得，在中，，所以