2023年上海市重点中学四校高考数学联考试卷及答案解析

2023年上海市重点中学四校高考数学联考试卷

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知直线，1：x+ay-2=0,l2：（a+l）x-ay+1=0,贝!]a=-2是％〃/2的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知函数丫=忌，则其图象大致是（）

A..B..C.

3.如图所示，正三棱柱ABC-AiBiG的所有棱长均为1,点P、M、N

分别为棱44、AB,4出的中点，点Q为线段MN上的动点.当点Q由点N

出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（）

A.直线GQ与直线CP可能相交

B.直线GQ与直线CP始终异面

C.直线GQ与直线CP可能垂直

D.直线GQ与直线BP不可能垂直

4.下列用递推公式表示的数列中，使得n，*8厮=&成立的是（）

A(即=+2)522)(an=(n>2)

A.Lan-lD.4yan-l+1

91=-1=1

_2-3册-1<>2)(n—2+出1-16/i「>2)

c.-«n-l-3(n-2)D,册一⑺之

%=1(%=1

二、填空题(本大题共U小题，共44.0分)

5.已知集合A={x}x2-4x<0},B={1,2,3,4,5},则4CB=

6.不等式lg（x-1）＜1的解集是.（用区间表示）

7.已知复数z=l+2i,则==

Z---

8.函数y=siM(兀x)的最小正周期为—.

9.平行直线x+V3y+V3=0与巡x+3y-9=0之间的距离为一.

10.若12。=3b=zu,且工-；=2,则m=_.

ab

11.向量元=(%2)为直线方—2丁+2=0中的法向量，则向量(1,1)在元方向上的投影为—

12.长方体/BCD-&B1GD1为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为U的水，已知

力B=3,AAr=2,AD=1,如果将该密封容器任意摆放均不能使水而呈三角形，则V的取值

范围为_.

13.在△4BC中，ZA=150。，。1，。2,…，。2022,依次为边BC上的点，且=DrD2=D2D3=

*,*—。2021。12222=。2022。，设.乙BAD]—CZ]、Z-D-yA[)2~、…、乙。20214。2022=a2022、

^D2022AC=a2023,则当3^的值为.

zu//zuzssina2sina4,Sina2022-----

14.上海电视台五星体育频道有一档四人扑克牌竞技节目“上海三打一”，在打法中有一种

“三带二”的牌型，即点数相同的三张牌外加一对牌，(三张牌的点数必须和对牌的点数不同

).在一副不含大小王的52张扑克牌中不放回的抽取五次，已知前三次抽到两张4一张K,则

接下来两次抽取能抽到“三带二”的牌型(444KK或KKKAA)的概率为一.

15.函数y=f(x)的表达式为f(x)=2x3-5x2-4x,如果/'(a)=f(b)=/(c)且a<b<c,

则abc的取值范围为一.

三、解答题(本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P-4BC。中，等腰△P4B的边长分别为P4=PB=5,AB=6,矩形4BC0所

在的平面与平面P4B垂直.

(1)如果BC=3,求直线PC与平面P4B所成的角的大小：

(2)如果PCJ.BD,求BC的长.

17.（本小题12.0分）

自2015年上海启动（f±海绿道专项规划（2035”至今上海已建成绿道总长度近1600公里.根

据仕海市气态空间专项规划（2021—2035）》，到2035年，上海绿道总长度将超过2000公

里.届时，绿道会像城市的毛细血管一样，延伸到市民生活的各个角落，绿荫卜的绿道（步道、

骑行道）给市民提供了散步休憩、跑步骑行运动的生态空间.某一线品牌自行车制造商在布局

线下自行车体验与销售店时随机调研了1000位市民，调研数据如表1所示.166位有意愿购买

万元级运动自行车的受访者的年龄（单位：岁），在各区间内的频数记录如表2所示.

表1

有意愿购买万元级运动自行没有意愿购买万元级运动自行

总计

车车

距家2千米内有骑行绿

118270

道

距家2千米内无骑行绿

道

总计1661000

表2

年龄分组区间频数

[12,18)16

[18,24)24

[24,30)35

[30,36)30

[36,42)21

[42,48)15

[48,54)11

[54,60)6

[60,66)5

[66,72)3

（1）试估计有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄（结果精确到0.1岁）.

（2）将表1的2x2列联表中的数据补充完整，并判断是否有95%的把握认为“离家附近（2千米

内）有骑行绿道与万元级运动自行车消费有关”？

2

附.2_n(ad-bc),其中n

z―(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=a+b+c+d.

P(x2>k)0.100.050.010.005

k2.7063.8416.6357.879

18.（本小题12。分）

雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方

法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小.为了简化问题小明做出下列假设：

假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、

40cm的矩形“纸片人”：

假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为60。的直线；

假设3：伞柄07长为60cm,可绕矩形“纸片人”上点。旋转；

假设4：伞面为被被柄OT垂直平分的线段AB,AB=120cm.

以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿

（1）如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结

果精确到O.lcm?）；

（2）请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如

果建议超过两条仅对前两条评分）

19.(本小题12.0分)

已知椭圆C：号+4=1(0<b<2)经过点&,尸2为椭圆c的左右焦点，Q(&,yo)为

平面内一个动点，其中yo>0,记直线QFi与椭圆C在x轴上方的交点为做与,丫1),直线QF2与

椭圆C在％轴上方的交点为

(1)求椭圆c的离心率；

111

(2)右4尸2〃80，证明：—+—=—；

⑶若1尹1广4嘉求点Q的轨迹方程.

20.(本小题12.0分)

1

已知函数y=/(x)的表达式为f(久)=-ax2+(a+l)x+lnx(aGR).

(1)若1是/(x)对的极值点，求a的值.

(2)求/(x)的单调区间.

2

(3)若/(x)=1ax+x有两个实数解久1，x式<x2),

⑴直接写出a的取值范围；

(ii)4为正实数，若对于符合题意的任意Xi，x2>当s=Mx1+必)时都有/'(s)<0，求4的取

值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：直线，i：x+ay-2=0,l2.(a+l)x-ay+1=0,

则-a=a2+a,解得a=0或-2,

经检验，当a=0或-2时，均符合题意，

故a=-2是。〃，2的充分不必要条件.

故选：A.

根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解.

本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：因为峭一1力0,所以x十0,即函数的定义域为(-8,0)U(0,+8),

所以选项4和C均错误，

当》->-8时，e*-0,所以f(x)—0,即B正确，。错误.

故选：B.

根据函数的定义域可排除选项A和C,再考虑X--8时，f(x)的取值情况，即可得解.

本题考查函数的图象与性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：在正三棱柱ABC-AiBiG中，

•••点M,N分别为棱ZB,］的中点，•••MN〃44i，

•••MN,平面44AAiu平面AAiCiC,MN//平面441C1C,

•••G，P,C,Q四点不共面，二直线GQ与CP始终异面，故4错误，8正确;

对于C,设NQ=2MN(0W2W1),

则祠=丽+西=2而+3西+晒>=4折+就-g瓯

CP=-AC,

若直线CiQ与直线CP垂直，则帽.不=0,

(4折+AC-^AB)■前)=0，

-AAA1-AC+^AAi-AC-AC-yAA1-AB+^-AB-AC=01

21121412

•''g—l+gxlxlx；=0,解得2-5，

•••0W4W1,••.不存在点Q使得直线GQ与直线CP垂直，故C错误；

对于D,连接GN,如图，

V=C/1，N为4/1的中点，;GN1&B1，

：44I-L平面为GNu平面&BiG，AAAt1CrN,

vAArnA/】=A[，：.C[N_L平面ABBiA,

又BPu平面4BB14,ACrN1BP,

二当点Q在N的位置时，直线QQ与直线BP垂直，故。错误.

故选:B.

证明MN〃平面441GC,从而可证G，P,C,Q四点不共面，即可判断4B；设NQ=AMN{0<A<1),

将祠，汴分别用折，而，荏表示，假设直线GQ与直线CP垂直，则相•方=0,求出;I即可判

断C；证明GNJL平面ABB/i，即可判断D.

本题考查线面平行、线面垂直、四点共面的判定与性质、线线垂直的判定等基础知识，考查运算

求解能力，是中档题.

4.【答案】D

【解析】解：对于4,厮=；(%_]+二-)=事出，

a

2071T^n-l

・•・斯与^!九T同号，又的=—1,Aan<0,

...n，=8即=加不成立，故A错误；

对于B，.•.斯:盘崭，二与与册_1同号，

令/(乃=竟搭，解f(x)=x，得%=平

则n—+<x>an=3：",故B错误；

6+工厂>._2-3a_11113

a=n4

对十C，•n"T，%=1,**•a=T，%=—F%=—77，…

1一J2Z□io

令f(%)=ry，解/(%)=%，得％=±&，

71二％8&=或不成立，故C错误;

2+限1伍味12+xlnx

对于D,：,册>OJ(x)=

旬-1+仇1x+lnx

解/'(x)=尤，得x=鱼，二n-»+8an=&，故。正确.

故选：D.

判断各选项的符号，结合不动点列出等式，由此能求出结果.

本题考查数列的极限、不动点的性质、递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

5.【答案】{1,2,3}

【解析】解：集合4={x\x2—4x<0}={x|0<x<4},

B={1,2,3,4,5},

则4ns={1,2,3).

故答案为：{1,2,3}.

求出集合力，利用交集定义直接求解.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算激解能力，是基础题.

6.【答案】(1,11)

【解析】

【分析】

由不等式可得0<%-1<10,从而求得不等式的解集.

本题主要考查对数函数的单调性，对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题.

【解答】

解：由lg(x-l)<l,可得0<x-1<10,解得1cx<11,

故不等式的解集是(1,11),

故答案为(1,11).

7.【答案】一|+.

【解析】解：复数z=1+2K

则W=1-23

故〃=但=&%)2=_。+々.

zl-2i(l-2i)(l+2t)55

故答案为：+

根据已知条件，结合共规复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查共轨复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.

8.【答案】1

【解析】解：因为y=sin2(?rx)='"节=—；cos2n■%+；,

所以7=f=1.

2n

故答案为：1.

由二倍角化简得y=-lcos2nx+^,再由周期公式计算即可.

本题考查了二倍角的余弦公式的逆用、三角函数的周期公式，属于基础题.

9.【答案】26

【解析】解：直线x+gy+g=O，即遮x+3y+3=0,

|3一(一9)|_oc

直线Hx+3y+3=0与遮x+3y-9=0之间的距离为蕨川之一2V3.

故答案为：2遍.

根据已知条件，结合两条平行直线间的距离公式，即可求解.

本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题.

10.【答案】2

【解析】解：12。=3》=二a=logizm，b=log3w,

•4+丽%-氤=logm12-logrn3=logrn4=2,

.・・m2=4,

又•・,m>0,

•*,Tn—2.

故答案为：2.

先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解.

本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题.

11.【答案】g

【解析】解：因为向量元=(a,2)为直线x—2y+2=0的法向量，

所以向量元=(见2)与直线%—2丫+2=0的方向向量沅=(1,；)垂直，

所以axl+2xg=0,解得a=—1,即元=(—1,2),

v-n(-l)xl+2xlV5

记方=(1,1),则向量己=(1,1)在H方向上的投影为同=看“=T-

故答案为：g.

先通过向量垂直求出参数a,然后通过向量投影公式求解即可.

本题主要考查了直线的法向量及方向向量的应用，属于基础题.

12.【答案】(1,5)

【解析】解：如图,

如果将该密封容器任意摆放均不能使水而呈三角形，

不妨以4在最下端，则水面应高于平面低于平面CAB1，

即以-41BD<V<^ABCD-A1B1C1D1~%-8祖，

而以-41BD=]*2*1*2*3=1,

KIBCD-A1B1C1D1~^C1-CD1B1=3x2x1--x-xlx2x3=5,

U的取值范围为(1,5).

故答案为：(1,5).

如果将该密封容器任意摆放均不能使水而呈三角形,不妨以4在最下端，则水面应高于平面&BD,

低于平面CDiB],再由多面体的体积公式求解.

本题考查长方体截面的性质，考查空间想象能力，属中档题.

13•【答案】嬴

【解析】解：画出图形如下,

+。2+……+^2020=150°,

在△8/Wi中，"=.黑=吗

1sinajs\nz.BDiAsinB

AD2

在4。1也中，9

singsinz/lD2fisin^.AD1C

△-r-sinaisinB

BDi=DO,•1•—=sin-DzB'

同理可得鬻sin/A2/sinas_sin乙4O48S讥。2021_siMAZ)2020B

9

S1I1U4sinZ-AD4Bsina^sinZ-AD^BSina2022-5访44。2022夕

T7D2022C_AC

sin乙4D2022C'

sma2023

.cFc__。2022。§11乙AO2022c

・・stna2023—斤'

Z-AD2Q22^+2022c=180°，•，•SIY\Z-AI)2Q22^~Sin44。2022。，

.5①。逐?1。3…$历仁2023_。20220，m8BCsinBs沆15001

—_____x_____=________—_____

sina2sina4*,,s>na2022AC一2023AC-2023—4046,

故答案为：嬴

先画出图形，再利用正弦定理化简求解即可.

本题主要考查正弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

14.【答案】获

【解析】解：由题意，从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回的抽取三次，抽到两张4,一张K,

还剩49张扑克，其中有两张4三张K,

再不放回的抽取两次，共有49x48（种）抽法，抽到一张4一张K的方法有2x3+3x2=12（种）,

抽到两张K的方法有3X2=6（种），

故接下来两次抽取能抽到“三带二”的牌型的方法有12+6=18（种），

故所求概率为「=信=矗.

故答案为：

从52张扑克牌中不放回的抽取三次之后，还剩49张牌，至此，将所求概率问题转化为一般的古典

概型，求出不放回的抽取两次的方法总数，以及抽到一张A一张K或抽到两张K的方法总数，根据

古典概型概率公式计算概率即可.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

15.【答案】(一6,第

【解析】解：f'(x)=6x2-10x-4=2(3%+l)(x-2),

当x>2或x<-g时，f'(x)>0,当—g<x<2时，f'(x)>0,

所以函数的增区间为(一8,—1),(2,+8),减区间为(V,2),

则函数f(x)的极大值为/(—：)=3极小值为"2)=-12,

作出函数/(》)的大致图象,若/(a)=f(b)=f(c)且a<b<c,

令/(a)=f(b)=/(c)=k,则kG(-12,g),

即/(x)-k=0的三个根为a,b,c,

即2X3—5/—4x—k=2(%—a)(x—&)(%—c),

又2(%—a)(x—b)(x—c)=2x3-2(a+b+c)x2+2(ab+ac+bc)x—2abc,

故答案为：(-嗒).

利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，令/"(a)=f(b)=/(c)=k,可得k的

范围，则/'(x)—k—。的三个根为a,b,c,从而可得2炉—5x2—4x—k=2(x—a)(x—b)(x—c),

右边去括号即可得解.

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了数形结合的数学思想，属于中档题.

16.【答案】解：(1)因为矩形ABC。所在的平面与平面P4B垂直，且平面4BC0C平面P4B=48,

BC1AB,BCu平面4BC0,所以BC_L平面P4B,

所以NCPB为直线PC与平面P4B所成的角，且tanNCPB=需=|，

故"PB=arctan

(2)根据题意，以力为坐标原点，垂直于AB做出x轴，AB,40所在直线为y,z轴，建立如图所示

空间直角坐标系，

P

设BC=a,则P(4,3,0),C(0,6,a),B(0,6,0),D(0,0,a),

则定=(-4,3,a),BD=(0,-6,a).且PC1BD,

则近•丽=0，BP-18+a2=0,所以a=3近，即BC=3近.

【解析】(1)根据题意，由面面垂直的性质定理可得8C_L平面PAB,即可得NCPB为直线PC与平面

P4B所成的角，从而得到结果；

(2)根据题意，建立空间直角坐标系，由PCLB。可得正.前=0,从而求得结果.

本题考查了直线与平面所成的角以及空间中两点间距离的计算，属于基础题.

17.【答案】解：(1)有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄为：

-^-(16x15+24x21+35x27+30x33+21x39+15x45+11x51++6x57+5x

166

63+3x69)«33.7,

.•・有意愿购买万元级运动自行车人群的平均年龄约为33.7岁.

（2）列联表如下：

有意愿购买万元级运动自行没有意愿购买万元级运动自行

总计

车车

距家2千米内有骑行绿

118270388

道

距家2千米内无骑行绿

48564612

道

总计1668341000

由表得:

_1000(118x564-48x270)2

2*87.366>3.841，

__166x834x612x388-

二有95%的把握认为“离家附近（2千米内）有骑行绿道与万元级运动自行车消费有关.

【解析】（1）将年龄分组区间取中间值乘以频数，全部相加后除以总人数可得平均值;

（2）利用公式求出X2,然后利用表中数据比较大小后得出结论.

本题考查平均数、独立检验等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

18.【答案】解：（1）过点4作对边的垂线，垂足为点C,过点。作对边的垂线，垂足为点E,连接04

OB,

因为7为4B的中点，所以47=87=60,

又OT=60,所以。4=OB=60/2,^0AB=%

TT

又乙4"。=?OH=40,

OHOA

由正弦定理OHsinZAHOV6

sin^HAOsinZAHO，所以sinzJM。OA=T，

又4兄4。<今所以cos〃MO=啰，

L6

7rn

cosZ-BAC=cos/(-—4Br>AAHri)\=s•mZ-nBATHT=si•n/(Z-nHAO+.-)x=—瓜x—V2+.—V30xyV2=——V3+-V——15，

所以DE=AC=AB-cos^BAC=20(遮+V15).

所以。尸=MN+MF-DN=^MH+OH-^DE=^-+40-钠(丝g=噜-4075.

3V3V3V3V3

所以阴影部分面积为扣F-2DFXy=yDF2«65.7cm2;

(2)①雨伞不遮挡行人前进的视线；

②伞面为弧线，改进模型将伞设为一段圆弧，扩大伞面的面积；

③考虑伞柄可以伸缩，等等.(只要合理即可)

【解析】(1)过点4作对边的垂线，垂足为点C,过点。作对边的垂线，垂足为点E,连接040B,

先求出OA,0B,在4AOH中，利用正弦定理求得sinN/M。，再根据NBAC=］—NBAH求得cos/BAC,

从而可求得DE,再求出。凡再根据三角形的面积公式即可得解；

(2)可以从行进的视线，并从伞面面积等角度入手，建议只要合理即可.

本题考查了正余弦定理在解决实际问题中的应用，属于中档题.

19.【答案】解：(1)由椭圆过M(l,—|)，所以;+磊=1，解得炉=3,

所以椭圆的方程为：［+1=1；C2=4-3=1,

所以离心率e=-a=2

(2)证明：因为4F2〃B&,所以△AQFzsA&QB,所以僚=制，由和分比定理可知髭=息，

所以资=空=1一和

乃九y\

整理可得要+普=1,

111

即证得了+7=7成立；

%%

(3)设直线QF］的方程为％=若丫-1,设。=若，

联立K24/112'整理可得&+3好灯2_6t】y-9=0,

所以弓一

9.(*2+60(4+3*)=0,yi>0,

解得工=-h+2=一笠+)J(l+xo)2+*=-l-xo+2j(l+xo)2+%=_l_xo+2|QF]|,

一3一3-3yo--3yo

设QF2的方程为：x=Ejy+i,设t2=*，

联立12'整理可得：(4+34)y2+6tzy-9=0,y2>0,

可得9.(")2_6t2q_(4+3t/)=0,

解得工_12+2依+1_°/，。_Xo_1+2j(x()_l)2+%_X0_1+2|Q&I，

33

y2~.3yo-3y0

所以“打马笔山，又因时+户言，

yiy?5yo/i及5yo

所以IQBI+IQFzl=3>|F/|,

所以Q的轨迹为且6,尸2为焦点的椭圆的上半部分，且2a'=3,2c'=2,即优=|,c'=l,b'2=

a'2—c'2=—1=j,

44

所以点Q的轨迹方程为：4+4=1(y>o).

44

【解析】(1)由椭圆过M点，可知炉的值，进而求出c的值，可得椭圆的离心率；

(2)由4E2〃8居，所以2sAFiQB,进而可知对应边成比例，再由合分比定理可得4B,Q的

纵坐标的关系，整理可证得结论；

11

(3)设直线Q&,QF2的方程，与椭圆的方程联立，由题意可知五，区的表达式，由题意可得Q到&,

尸2的距离之和为定值，且大于|6尸2|的值，由椭圆的定义可知Q的轨迹为以&,尸2为焦点的椭圆，

并可知长半轴长及短半轴长，进而求出它的轨迹方程.

本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，点的轨迹方程的求法，属于中档题.

20.【答案】解：⑴/(%)=-ax2+(a+l)x+

Inx^aER),xG(0,+oo),

f(x)=ax+(a+l)+i=—+*),

••・1是f(x)对的极值点，

・•・r(i)=Q+Q+I+I=O,解得Q=-1,

f(x)=-(lJx+1),

可得x=l是函数/(x)的极大值点，满足题意，

:.a=—1.

(2)f(x)=(ax+?G+l),

a20时，f'(x)>0,函数/(无)在(0,+8)上单调递增；

a<0时，/,(X)-a(T)(x+i).

x6(0,-；)时，fC%)>0；刀6(一；,+8)时，/(x)<0.

二函数f。)的单调递增区间为(0,-6，单调递减区间为(一1+8).

综上可得：a20时，函数f(x)单调递增区间为(0,+8)；

a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,—》，单调递减区间为(―：,+8).

(3)/(x)=1ax2+x化为ax+Inx=0,—a=等，

(i)令g(x)=等，xe(0,+co),

g'。)=与"，£(e)=0,

%w(0,e)时,gf(x)>0,函数g(%)单调递增;%W(e,+8)时,gf(x)<0,函数g(x)单调递减.

%=e时，函数g(x)取得极大值，g(e)=：,

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