简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件

第三讲简单的逻辑联结词､全称量词与存在量词

12/6/2023回归课本1.逻辑联结词命题中的或､且､非叫逻辑联结词.12/6/20232.命题p∧q,p∨q,¬p的真假判断pqp∧qp∨q¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真12/6/2023注意:p与q全真时,p∧q为真,否则,p∧q为假.p与q全假时,p∨q为假,否则,p∨q为真.p与¬p必定是一真一假.12/6/20233.全称量词､存在量词(1)全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号∀表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,简记作∀x∈M,p(x).12/6/2023

(2)存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号∃表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题,特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,简记作∃x0∈M,p(x0).(3)两种命题的关系全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.注意:同一个全称命题､特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活地选择.12/6/2023命题全称命题“∀x∈A,p(x)”特称命题“∃x∈A,p(x)”表述方法①对所有的x∈A,p(x)成立①存在x∈A,使p(x)成立②对一切x∈A,p(x)成立②至少有一个x∈A,使p(x)成立③对每一个x∈A,p(x)成立③对有些x∈A,使p(x)成立④任选一个x∈A,p(x)成立④对某个x∈A,使p(x)成立⑤凡x∈A,都有p(x)成立⑤有一个x∈A,使p(x)成立12/6/2023考点陪练1.（2011·安徽）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数12/6/2023解析：本题是一个全称命题，其否定是特称命题，同时将命题的结论进行否定，答案为D.答案：D12/6/20232.(2010·威海模拟题)已知命题p:∀x∈R,cosx≤1,则()A.¬p:∃x0∈R,cosx0≥1B.¬p:∀x∈R,cosx≥1C.¬p:∃x0∈R,cosx0>1D.¬p:∀x∈R,cosx>112/6/2023解析:全称量词的否定应为存在量词,所以命题p:∀x∈R,cosx≤1的否命题是∃x0∈R,cosx0>1.答案:C12/6/20232.(2010·广州联考题)若函数f(x),g(x)的定义域和值域都是R,则“f(x)<g(x),x∈R”成立的充要条件是()A.∃x0∈R,使得f(x0)<g(x0)B.不存在任何实数x,使得f(x)≥g(x)C.∀x∈R,都有f(x)+

<g(x)D.存在无数多个实数x,使得f(x)<g(x)12/6/2023解析:f(x)<g(x),x∈R的含义即对任意的实数,都有f(x)<g(x)成立.因此其等价含义即为不存在任何实数使得f(x)≥g(x).答案:B12/6/20233.(2010·金华模拟题)下列特称命题中,假命题的个数是()①∃x0∈R,使2x20+x0+1=0;②存在两条相交直线垂直于同一个平面;③∃x0∈R,x20≤0.A.0 B.1C.2 D.3解析:命题①､②是假命题,命题③是真命题.答案:C12/6/20234.(2010·湖南)下列命题中的假命题是()A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*,(x-1)2>0C.∃x∈R,lgx<0D.∃x∈R,tanx=2解析:对于选项B,当x=1时,结论不成立,故选B.答案:B12/6/20235.(2010·辽宁)已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是()A.∃x∈R,f(x)≤f(x0)B.∃x∈R,f(x)≥f(x0)C.∀x∈R,f(x)≤f(x0)D.∀x∈R,f(x)≥f(x0)12/6/2023解析:由题知:x0 为函数f(x)图象的对称轴方程,所以f(x0)为函数的最小值,即对所有的实数x,都有f(x)≥f(x0),因此∀x∈R,f(x)≤f(x0)是错误的,选C.答案:C12/6/2023类型一 含有逻辑联结词的命题真假判定解题准备:解决该类问题基本步骤为:1.弄清构成它的命题p､q的真假;2.弄清它的结构形式;3.根据真值表判断构成新命题的真假.12/6/2023【典例1】已知命题p:∃x∈R,使tanx=1,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2},下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧¬q”是假命题;③命题“¬p∨q”是真命题;④命题“¬p∨¬q”是假命题.其中正确的是()A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④12/6/2023

[解]先判断命题p和q的真假,再对各个用逻辑联结词联结的命题进行真假判断.命题p:∃x∈R,使tanx=1正确,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}也正确;∴①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧¬q”是假命题;③命题“¬p∨q”是真命题;④命题“¬p∨¬q”是假命题,故应选D.[答案]D12/6/2023[反思感悟]正确理解逻辑联结词“或”､“且”､“非”的含义是解题的关键,应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断.其步骤为:①确定复合命题的构成形式;②判断其中简单命题的真假;③根据其真值表判断复合命题的真假.12/6/2023类型二 全称命题与特称命题真假的判断解题准备:1.要判定全称命题是真命题,需对集合M中每个元素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题;2.要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.12/6/2023注意:有些题目隐含了全称量词和存在量词,要注意对其进行改写来找到.12/6/2023【典例2】(特例法)试判断以下命题的真假:(1)∀x∈R,x2+2>0;(2)∀x∈N,x4≥1;(3)∃x∈Z,x3<1;(4)∃x∈Q,x2=3.12/6/2023

[解](1)由于∀x∈R,有x2≥0,因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0.所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题.(2)由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立.所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题.(3)由于-1∈Z,当x=-1时,能使x3<1.所以命题“∃x∈Z,x3<1”是真命题.(4)由于使x2=3成立的数只有 而它们都不是有理数.因此,没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“∃x∈Q,x2=3”是假命题.12/6/2023[反思感悟]本例中的(3)是一个典型的特例法,即要说明一个存在性命题正确,只要找到一个元素使命题成立即可.12/6/2023类型三 全(特)称命题的否定解题准备:1.全称命题p:∀x∈M,p(x).它的否定¬p:∃x0∈M,¬p(x0).2.存在性命题p:∃x0∈M,p(x0).它的否定¬p:∀x∈M,¬p(x).3.全称(存在性)命题的否定与命题的否定有着一定的区别,全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词),并把结论否定,而命题的否定则直接否定结论即可.从命题形式上看,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.12/6/2023【典例3】写出下列命题的否定,并判断命题的否定的真假,指出命题的否定属全称命题还是特称命题:(1)所有的有理数是实数;(2)有的三角形是直角三角形;(3)每个二次函数的图象都与y轴相交;(4)∀x∈R,x2-2x>0.12/6/2023[分析]先否定量词:存在 任意.再否定判断词.[解](1)非p:存在一个有理数不是实数.为假命题,属特称命题.(2)非p:所有的三角形都不是直角三角形.为假命题,属全称命题.(3)非p:有些二次函数的图象与y轴不相交.为真命题,属特称命题.(4)非p:∃x∈R,x2-2x≤0.为真命题,属特称命题.

12/6/2023[反思感悟]只否定全称量词和存在量词,或只否定判断词,因否定不全面或否定词不准确而致错.从以上的符号语言和例子可以看出,对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题.对特称命题的否定,在否定判断词时,也要否定存在量词.12/6/2023类型四与逻辑联结词､全称量词､存在量词有关的命题中参数范围的确定解题准备:1.由简单命题的真假可判断复合命题的真假,反之,由复合命题的真假也能判断构成该复合命题的简单命题的真假.利用简单命题的真假分别求出参数满足的条件,再取二者的交集即可.12/6/20232.此类题目经常与函数､不等式等知识相联系,要注意分类讨论思想的应用.【典例4】已知两个命题r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0.如果对∀x∈R,r(x)∧s(x)为假,r(x)∨s(x)为真,求实数m的取值范围.[分析]由题意可知,r(x)与s(x)有且只有一个是真命题,所以可先求出对∀x∈R时,r(x),s(x)都是真命题时m的范围,再由要求分情况讨论出所求m的范围.12/6/202312/6/2023[反思感悟]解决这类问题时,应先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况),然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围,最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.12/6/2023错源一 错误理解命题的否定【典例1】已知命题p:函数f(x)=-(5-2m)x是减函数.若¬p为真命题,求实数m的取值范围.12/6/2023[错解]∵命题p:f(x)=-(5-2m)x是减函数,∴¬p:函数f(x)=-(5-2m)x为增函数,∴0<5-2m<1,∴2<m12/6/2023

[剖析]本题的错误在于由p得到¬p:函数f(x)是增函数.事实上,命题p的否定包括“函数f(x)是增函数”和“f(x)不单调”两种情形.为了避免出错,处理这类问题时,不宜直接得到命题¬p,一般是先由原命题为真得出参数的取值范围,再研究¬p为真或为假时参数的取值范围.12/6/2023

[正解]由f(x)=-(5-2m)x是减函数,知5-2m>1,∴m<2,∴当¬p为真时,m≥2,∴实数m的取值范围是[2,+∞).12/6/2023错源二 对含有量词的命题的否定不当致误【典例2】命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是()A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0B.存在x∈R,x3-x2+1≤0C.存在x∈R,x3-x2+1>0D.对任意的x∈R,x3-x2+1<012/6/2023[剖析]本题是对全称命题的否定,因此否定时既要对全称量词“任意”否定,又要对“≤”进行否定,全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”,“≤”的否定为“>”,可能的错误是“顾此失彼”,忽略了细节.[正解]题目中命题的意思是“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0都成立”,要否定它,只要能找到至少一个x,使得x3-x2+1>0即可,故命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2+1>0”,故选C.[答案]C

12/6/2023[评析]含有量词的命题的否定方法:对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题.特别要注意的是,由于有的命题的全称量词往往可以省略不写,从而在进行命题否定时易将全称命题只否定判断词,而不否定省略了