谭永基教授-建模竞赛与案例分析(2012广西)

2023/12/6数学建模竞赛与案例分析广西大学2012.7.13谭永基复旦大学数学科学学院yjtan@概要

●数学建模的重要作用、两个实例●中美大学生建模竞赛的发展历程●近年竞赛试题综述●赛题案例分析2023/12/62011ICM电动汽车2011CUMCMA重金属污染2010CUMCMC输油管布置

2011CUMCMC，D养老金问题，肠衣包装数学建模的重要作用实例一

凯恩斯模型

2023/12/6令Y表示国民收入，C表示总消费，I表示投资，E表示总支出，那么有其中为最低消费，它是由储蓄等支持的。c称为“边际消费”，反映了消费随收入增加而增加的倾向。另外总支出分为消费和投资两部分之和，即：由总收入等于总支出：解得:2023/12/6由于

c越接近1，国民收入越大。这解释了扩大消费可以促进国民收入的增加，这种效应称为乘数效应。设G为政府的支出（如投资基本建设等）则：此时可解得：其中为国民收入增加数学建模的重要作用实例二

万有引力定律

牛顿1665年发现平方反比定律1686年在哈雷支持下正式发表在自然哲学的数学原理中与胡克关于发明权的争论平方反比律与开普勒天体运动三定律2023/12/6万有引力定律在人类认识宇宙中的作用朴素的宇宙观如天圆地方说亚里斯多德、托勒密完善地心说（天文学大成）哥白尼提出日心说（更早阿里斯塔克）伽利略用观察支持日心说开普勒利用第谷的观察数据1609-1619提出天体运动三定律牛顿平方反比律奠定天体运动理论基础勒维埃和亚当斯发现海皇星2023/12/6根据第一篇已从数学上证明的命题我们可以从天体现象中获得引力的学说,…,同时,从这些力出发,根据数学定理我们再推导出关于行星、彗星、月亮海洋的运动，我希望，自然界的其他现象可以用同样的方法由数学原理推导出来。（牛顿自然哲学的数学原理）牛顿太幸运了，只有一个宇宙而牛顿已经发现了它的数学规律。（拉格朗日）理性支配着万事万物则可以称得上关于世界本质的最有价值的观点（帕拉图菲多篇）2023/12/6亚里斯多德的宇宙模型2023/12/6哥白尼伽利略开普勒的行星模型数学建模的方法与步骤

现实问题清晰化—假设简化—找出关键量—根据支配规律建立关键量间数学关系—求解数学问题—检验与验证—应用于原现实问题数学建模ABC(Gibbons)

A—Assume,

B—Borrow

,C—Criticize.2023/12/62023/12/6TheArtofMathematicalModeling2023/12/6Physical/BiologicalPhenomenaHeuristicPhysical/BiologicalModel“Pure”MathematicsPhysical/BiologicalModelExact,Approximate,NumericalSolutionsQualitativeBehaviorApproximateMathematicalModelMathematicalModelExistenceUniquenessStabilityImplicitAssumptionsExplicitAssumptionsMechanismsPhysicochemicalLawsMathematical-Physical/BiologicalSimplificationsMathematical/NumericalMethodsAlternativeModelingApproachesGeneralized/ExtendedMathematicalModelAnalysisCOMPARISONVALIDATIONPREDICTION中美大学生建模竞赛的发展历程

（美国）Putnam竞赛的缺陷Fusaro1985年发起数学建模竞赛(MCM)90队1989年中国大学生首次参加（4/211）1996年中国大学生首次获Outstanding奖1999年开始ICM（跨学科数学建模竞赛）2006年中国参赛队过半466/748，194/2242010年中国参赛队2186/2610，84%2011年中国参赛队3060/3509，87%2023/12/6中美大学生建模竞赛的发展历程

（中国）1990、1991上海率先组织竞赛张家界会议推向全国1992年开始全国竞赛从314队到1万9千多队1999年开始设立大专组三次举办数学建模夏令营致力于提高质量和国际化（10年港澳新、澳大利亚参加，和美国MCM合作，2011

ICM终评阅卷）二十周年庆典2023/12/6近10年竞赛试题综述

（美国）

01

A自行车车轮选择，B飓风交通疏散问题，C斑马贻贝的扩散与控制02

A风与喷水池控制，B航空公司机票超订问题，C灌木蜥蜴数量问题03

A特技演员保护纸箱问题，B

Gamma刀治疗方案，C机场安检（EDS，ETD）起飞时间安排方案04

A指纹识别问题，B快速通过系统的改进，C计算机系统安全问题05

A洪水灾害估计，B公路收费亭最佳数目设置，C不可再生资源的管理2023/12/6近10年竞赛试题综述

（美国）06

A喷灌系统管理与移动问题，B机场轮椅使用问题，C抗击艾滋病的协调问题07

A

不公正的选区划分，

B飞机就座问题，

C器官移植：肾交换问题08

A题：可能的严重后果（全球温度的上升而导致的北极冰盖的融化对陆地的影响）

B题：创建数独智力游戏（研制构成不同难度的数独智力游戏的算法，C医疗保健服务(医保)系统评价09

A环岛交通管理，B能源和手机，

C题:创建食物系统—重建受到人类影响的生态系统10

A棒球棒甜蜜点(最佳击球点)问题，

B犯罪学(连环谋杀案搜索)问题，

C大太平洋塑料垃圾带2023/12/62011年MCM

ICMA，滑雪滑道设计B，通讯频道问题C，电动汽车前景问题（1）预测前景（2）省多少油（3）各种电站如何配置第二轮阅卷63份选出5份OUTSTADING2012ICM网络科学2023/12/62012赛题树叶问题野营规划犯罪克星2023/12/601

A三维血管重建，B公交调度，C基金使用计划，D公交调度02

A车灯光源优化设计，B彩票中的数学，C同A，D赛程安排03

A

SARS传播，B露天煤矿车辆安排，C同A，D抢渡长江04

A奥运商业网点设计，B输电阻塞管理，C饮酒驾车，D公务员招聘05

A长江水质评价与预测，B

DVD在线租赁，C雨量预报方法评价，D同B近10年竞赛试题综述

（中国）06

A出版社资源配置，B爱滋病疗法评价，C易拉罐设计，D瓦斯煤尘检测控制07

A中国人口增长预测，B乘公交，看奥运，C手机“套餐”优惠几何，D体能测试时间安排08

A数码相机定位，B高等教育学费标准探讨，C地面搜索，DNBA赛程的分析与评价09

A制动器试验台的控制方法分析，B眼科病床的合理安排，C卫星和飞船的跟踪测控，D会议筹备10

A储油罐的变位识别与罐容表标定，B2010年上海世博会影响力的定量评估，C输油管的布置，D对学生宿舍设计方案的评价2011CUMCM重金属污染交巡警服务平台设置养老保险问题肠衣包装2023/12/6命题及阅卷文件产生过程2023/12/6确定命题负责人征题初筛选命题研讨会题目初选题目加工题目终选产生题目最终文本竞赛试阅卷产生阅卷要点正式阅卷命题原则与实际紧密相关的新问题数学建模在解决问题中起关键作用难易适中学生有创新空间可以判别优劣2023/12/6全国阅卷过程

定评分标准阅一等卷3人统计分析标准化大分差调整排序阅二等卷查违规挑候选优秀论文调整确定名次上网、面试定奖评阅印象（优点）

各题均出现有一定创新的答卷建模能力增强：数据建模和机理建模结合摘要有明显改进利用现有文献能力增强出现很多表达清晰的好论文存在问题选题的盲目性缺乏建模创新性：对文献过度依赖计算和编程能力的不足缺乏严肃的科学精神和学术态度赛题案例分析2011ICM电动汽车2011CUMCMA重金属污染2010CUMCMC输油管布置2011CUMCMC养老保险问题2011CUMCMD肠衣包装2023/12/62011ICM电动汽车题目要求建立电动车广泛应用对经济、环境、健康影响的数模，详细刻画政府和制造商决定是否和如何支持发展和应用电动汽车应考虑的关键因素，用什么数据验证模型。用你的模型估计广泛使用电动汽车世界可节省多少石油提供为适应你推荐的各种电动车数量所需各种发电站和各自发电量使环境、社会、商业、个人效益达到最大的数模2023/12/6要求（续）写20页的报告阐明你的模型及你对有关电动车和发电站的关键事项的分析注意要包括政府在保证安全、高效、充分交通中的重要作用。要讨论电动汽车的广泛应用是一种值得的目标和面对石油供应逐渐减少全球能源总政策的一个组成部分2023/12/6估计电动车数量的新技术模型2023/12/6竞争模型2023/12/6层次分析模型2023/12/6层次分析（健康)2023/12/6用高斯模型分析污染2023/12/62023/12/6不同电站配置(0.3044,0.2553,0.2555,0.1848)2023/12/6优化模型2023/12/6评阅过程A题初选：Appalachian州立大学7人；分区评阅军事科学院5人；终评10人B题初选：Carroll学院、国家安全局（NSA）人数不详；分区评阅海军研究生院8人；终评11人C题初选：军事科学院30人其他1人；终评8人2023/12/6评阅过程初评（triage)是否回答解决问题，重点看摘要，综述整篇文章，各节提供综述有帮助甄别（screening)考察模型，清晰模型和坚实分析可得较高分，分析、结果和写作的一致性是重要的。终评（final）目的挑选优秀论文，细节比较，最后若干篇每个评委都要看，讨论后遴选outstanding,finallist2023/12/6yyyy-M-Chris

Arney对中国学生建议利用竞赛机会充分发挥想象力和创造力不要过分简化注意离散和随机模型2023/12/62011CUMCMA

城市表层土壤重金属污染分析

随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。2011CUMCMA

城市表层土壤重金属污染分析另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2)通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3)分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？问题（1）用插值给出8种污染物的2维分布并作图克里金插值、用MATLAB等软件作图定义刻画污染程度的定量指标（单参数和综合污染参数）例内梅罗指数等工业区〉交通区〉生活区〉园林绿化区〉山区问题（2）统计方法分析数据得到污染原因聚类分析、相关分析等得到工业区各种污染都较高、交通区铅、铜、锌污染较高、生活区铬污染较高的合理结论及原因分析问题（3）对流扩散机理模型a)稳定、不考虑对流、点源，可假设指数下降用数据拟合问题（3）缺点：适用于空气中扩散，未考虑高度影响。b)忽略扩散，稳定、点源给定可求出C在各点之值，从而可用最小二乘拟合c)在a)的基础上考虑高度的影响注意到污染随高度增加而减少，可建立污染扩散模型问题（3）或对原始数据进行适当处理后，拟合问题（4）增加不同时间的数据增加不同深度土壤中的数据，考虑污染物在土壤中的弥散2010年C题输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2.设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=20。2010年C题输油管的布置2010年C题输油管的布置若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）212420请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。2010年C题输油管的布置3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。问题分析建立函数模型，寻找最值函数可能是分段的或根据参数不同具有不同形式用微积分多元函数求极值方法求解问题1：共用管道价同几何模型费马点：三角形中到三顶点距离和最小的点斯坦纳结果：最大内角小于120°，费马点为与三顶点连线交角均为120°之点几何模型为求费马点，该点位于B点出发与BD夹角为60°的射线上当时可求得P几何模型函数最值模型设油管交汇点P的坐标为，共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为：直接求解较繁锁。要使费用达到最小，共用管道必然垂直于铁路，可将模型化为一元函数的最值问题函数最值模型函数最值模型a)当b)当c)当问题2模型变更如下：(a)首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。例如用权2:1:1计算得到估计值21.5万元/千米；或用4:3:3计算可得估计值21.6万元/千米；等等。注意：公司一的权值应大于公司二、三的权值。(b)假设管线布置在城乡结合处的点为Q，Q到铁路线的距离为z。模型连接炼油厂A和点Q到铁路线的输油管最优布置应取加上炼油厂B到点Q一段的管道费用t表示城乡建设费用的比值，如数学模型成为求解以本题提供的数据以及计算，此时的

总费用为282.6973万元。如果各评估公司估价以权重4:3:3计算，则可得总费用283.2013万元。对于本题提供的数据，当权重之比取为2:1:1时，P点坐标为(5.4494,1.8538)，Q点坐标为(15.0000,7.3678)。而当权重比取为4:3:3时，P和Q点的坐标分别为(5.4474,1.8549),和(15.0000,7.3701)。问题3：模型-----AP、BQ、PH、BQ段管道的费率PQ模型及求解最优解为模型及求解由题设数据，当工程咨询公司评估权重之比取为2:1:1时，最优方案为P、Q两点坐标分别为(6.7338,0.1389),(15.0000,7.2795),管道铺设总费用251.9685万元。当权重之比取为4:3:3时，最优方案为P、Q两点坐标分别为(6.7321,0.1401),(15.0000,7.2822),管道铺设总费用252.4737万元。2011C题企业退休职工养老金制度的改革

养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。请建立数学模型，解决如下问题：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。养老金的计算办法

职工退休时的养老金由两部分组成：养老金=基础养老金+个人账户养老金个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数（数据见表一）基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）÷2×缴费年限×1%本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资×本人平均缴费指数能够正确反映“本人指数化月平均缴费工资指标的计算公式为：退休前1、2、……、m年本人缴费工资额；退休前1、2、……、m年“职工平均工资”n为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计（可以简单认为等于12m，m为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限）。退休前第i年的缴费指数，i=1,…,m.参保人员i年度的本人缴费工资通过工资指数得到指数化缴费工资，从而使各年度不可比的换算为相当于参保人员退休前1年社会平均工资水平的、可比的各年度指数化缴费工资，各年度指数化缴费工资加总再除以参保人员实际缴费月数和n，进而得到本人指数化月平均缴费工资S。由此，该指标能够反映参保人员在整个缴费年限的缴费工资平均水平。表一：个人账户养老金计发月数表退休年龄计发月数退休年龄计发月数402335616441230571584222658152432235914544220601394521661132462126212547208631174820464109491996510150195669351190678452185687553180696554175705655170问题1：工资预测合理假设是关键一，工资趋于稳定二，工资增长趋于稳定三，工资增长与GDP增长紧密相关工资趋于稳定Logistic模型工资上限K大约为2010年工资水平的3倍多。增速趋于稳定Logistic模型模型更合理。

可用数据差分求得问题2

替代率计算2000年起缴费30(40)→55(60,65)替代率各年平均工资已由问题1得到，需计算不同年龄段职工平均工资年龄段（岁）20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-59个人工资与企业平均工资之比0.6690.8050.9831.0671.1731.2671.2091.115到退休时职工个人账户中的金额的计算模型如下：∑某年缴费额本息=∑当年缴费工资×缴费率×社会统筹基金账户中的储存额不计利息，计算模型为：∑某年缴费额=∑当年缴费工资×缴费率养老金计算退休后第一个月领取的养老金=基础养老金+个人账户养老金基础养老金=（退休前一年社会平均工资+本人指数化月平均缴费工资）/2×缴费年限×1%；个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数本人指数化月平均缴费工资=退休前1、2、……、m年本人缴费工资额；退休前1、2、……、m年职工平均工资替代率计算职工退休时实际替代率=退休后第一个月领取的养老金/退休前一个月该职工的月工资参加工作年龄304055岁退休时的替代率<0.35<0.260岁退休时的替代率>0.4>0.2565岁退休时的替代率>0.7>0.45问题3何时收支平衡2000年30→55（60，65）→75现值方法：转化为刚退休时的现值职工到去世时领取的基础养老金总和职工到去世时个人账户养老金总和在刚退休时的现值结果：在55岁退休，67岁左右出现缺口；60岁退休，75岁左右出现缺口，65岁退休75岁左右出现缺口。问题4措施推迟退休年龄尽早开始缴纳养老保险提高个人账户缴费率；提高社会统筹基金账户缴费率要有计算结果的支持自己的建议2011D题天然肠衣搭配问题

天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。表1成品规格表最短长度最大长度根数总长度36.52089713.588914∞589为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。表2为某批次原料描述。表2原料描述表长度3-3.43.5-3.94-4.44.5-4.95-5.45.5-5.96-6.46.5-6.9根数4359394127283421长度7-7.47.5-7.98-8.48.5-8.99-9.49.5-9.910-10.410.5-10.9根数2424202521232118长度11-11.411.5-11.912-12.412.5-12.913-13.413.5-13.914-14.414.5-14.9根数3123225918253529长度15-15.415.5-15.916-16.416.5-16.917-17.417.5-17.918-18.418.5-18.9根数3042284245495064长度19-19.419.5-19.920-20.420.5-20.921-21.421.5-21.922-22.422.5-22.9根数526349352716122长度23-23.423.5-23.924-24.424.5-24.925-25.425.5-25.9根数060001根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。公司对搭配方案有以下具体要求：(1)对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2)对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3)为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；(4)某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；(5)为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。问题的提出肠衣加工企业希望开发一套计算机软件，只需一线工人将测量所得原料数据输入电脑，就能自动生成经过优化后的满足成品规格要求的搭配方案，这样既可以减少劳动强度、又能提高原料使用率问题的提出原料信息：企业的测量以0.5米为一档，如：3.1-3.5米按3米计算，3.6米-4米按3.5米计算，其余的依此类推；成品描述：一般分成三种规格每种规格用（最短原料长度，最长原料长度，原料根数，总长度）加以描述问题的提出目标对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多，方案越好。对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好。要在30分钟内产生方案。问题的提出条件总长度允许误差范围为[-0.5，0.5]，总根数允许误差范围为[-1，0]。剩余原料可以降级使用。问题的分析目标2是难点最小最大问题解决难度高和目标1可能是相互矛盾的办法把成品规格分成大、中、小三挡，其实质是将“最短长度最长的成品最多”的要求转化为“最短长度在某个值以上的成品最多”将一个从理论上完美但难以实现的最优目标转化为可行的优化目标。问题的分析受目标2的限制，无法依据目标1建立关于全部原料的优化装配模型办法结合条件1按照三种不同规格分步进行优化。结合条件2，扩大每种规格最大长度的上限，提高原料使用率问题的分析总体方案根据大规格要求，求最优解；将第1步优化后多余的原料纳入中规格，求最优解；将第2步优化后多余的原料纳入小规格求最优解。如果多余的原料总长小于88.5米或者接近于理论最优值，则优化成功。模型一落料问题回顾套裁方案。。。。。。。。方案板材圆片1圆片2余料112622443201641012::::::::::k::::::::::m线性规划模型

--第i种圆片需求量，--第j种板材库存量建模两个主要步骤：生成套裁方案；寻求最佳方案组合模型一搭配方式模型记号：

：材料的最短长度

：材料的最大长度

：材料根数

：成品总长度。

种不同长度的材料：各种材料的长度

：材料根数

：某种搭配方式中各档材料的根数模型一搭配方式模型模型上述不等式组的解表示所有可能的搭配方式

模型一最优搭配模型记号：不等式组解的个数为M，第j个解(第j种搭配方式)为搭配方案表示为(x1,x2,…,xM)xj表示第j种搭配方式对应的捆数(j=1,…,M)，模型一最优搭配模型模型：约束条件目标

模型一求解：搭配方式模型自编程序多重循环简单循环层次不变递推方式循环层次可变

复杂模型一求解：最优搭配模型结果分析大规格：捆扎方式=2862种，最多捆数=137，

原料长度捆数1414.51515.51616.51717.51818.51919.52020.52121.52222.52323.52424.52525.5搭配方式110000000001110000000000410001000101000010000000011000011000000200000000002100001000020100000000000710000001011100000000000080100000110110000000000001501000000040000000000000010剩余18米一根模型一求解：最优搭配模型结果分析中规格：M=19635种，最优捆数=37捆

原料长度捆数77.588.599.51010.51111.51212.51313.518捆扎方式00110000300030020011000003030002001030000000130300100040000003010010000120400004000210000022010200011002020002050001020010