安徽省安庆市桐城中学2023-2024学年高一上学期第二次数学试题

安徽省桐城中学20232024学年度上学期高一数学第二次教学质量检测（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.或 B.或C.或 D.【答案】A【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，，解得，或.故选：A．2.已知，若，则下列判断一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，求得的范围，在逐一分析判断各个选项即可得出答案.【详解】解：由，，得，所以，对于A，，当时，，故A不一定正确；对于B，，当时，，故B不一定正确；对于C，，因为，所以，所以，故C一定正确；对于D，，因为，所以，所以，故D不正确.故选：C3.已知，则值等于（）A. B.4 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数直接代入即可求值.【详解】因为，所以，所以，故选：B.4.若函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求出时，函数的值域；再对二次函数的对称轴进行分类讨论；根据题中条件，即可得出结果.【详解】由题意，当时，显然单调递增，则；当时，是开口向下，对称轴为的二次函数，又函数的值域为，当，即时，，即，解得：，当，即时，，，综上，故选：D.【点睛】分段函数的的值域为R，即要求各段函数在定义域内的值域并集为R,本题需要对二次函数的对称轴进行分类讨论.5.若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围.【详解】由，仅当，即时等号成立，要使不等式有解，只需，所以.故选：B6.某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（）A.函数是奇函数 B.函数的值域是C.函数在R上是增函数 D.方程有实根【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性，单调性等对选项逐一判断【详解】对于A，，故是偶函数，，不是奇函数，故A错误，对于B，当时，，由对勾函数性质知，而是偶函数，的值域是，故B错误，对于C，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，而是偶函数，故在上单调递减，故C错误，对于D，当时，，即，解得，故D正确，故选：D7.已知函数的定义域为，可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对任意非零实数恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】特值验证法排除CD：再分离参数将恒成立问题转化为函数最值求解可得选项.【详解】由题意得，是偶函数，是奇函数，且①，则②，由①②解得，函数开口向上，且关于轴对称，在单调递增，当时，不等式，即，则对任意非零实数恒成立，即满足题意.故排除CD.当时，不等式，由关于轴对称，在单调递增，得，即.分离参数得，由作为一个整体参数可知所求的范围关于原点对称（可排除B）.令，，当且仅当，即时等号成立，则，令，在是增函数，则，要使恒成立，则，则.故选：A.8.已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为（）A.2 B.1 C. D.4【答案】A【解析】【分析】化简已知不等式，利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性求得的取值范围，利用基本不等式求得的最小值.【详解】依题意，，即，设，是奇函数且在上递增，所以，即，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：A【点睛】利用函数的单调性和奇偶性求解不等式恒成立问题，关键点是根据题目所给不等式进行化简，转化为“规范”的形式，如本题中，结构一致，从而可利用构造函数法来对问题进行求解.二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（）A.，则B.若，则关于x的不等式的解集为C.若为常数，且，则最小值为D.若的解集M一定不为【答案】AC【解析】【分析】选项A中，由二次函数的性质得到，可判定A错误；选项B中，转化为和是方程的两个实根，求得，把不等式化简得到，求得的解集，可判定B正确；选项C中，结合二次函数的性质，求得，化简得到，令，结合基本不等式，求得的最大值，可判定C错误；当时，由函数表示开口向下的抛物线，可判定D正确.【详解】由题意，关于的不等式的解集为，对于A中，若，即不等式的解集为空集，根据二次函数的性质，则满足，所以A错误；对于B中，若，可得和是方程两个实根，且，可得，解得，则不等式，可化为，即，解得或，即不等式的解集为，所以B正确；对于C中，若为常数，可得是唯一实根，且，则满足，解得，所以，令，因为且，可得，且，则，当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以的最大值为，所以C错误；对于D中，当时，函数表示开口向下的抛物线，所以当的解集一定不为，所以D正确.故选：AC.10.已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（）A.当时，B.函数的最小值为C.函数在上单调递减D.若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或【答案】ABD【解析】【分析】得到函数，作出其图象逐项判断.【详解】由题意得：，其图象如图所示：由图象知：当时，，故A正确；函数的最小值为，故正确；函数在上单调递增，故错误；方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；故选：ABD11.已知函数定义域为，，，且，，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据函数单调性的定义可得单调递减，然后根据函数的单调性逐项分析即得.【详解】设，则，即，令，则，所以在上单调递减，由，得，即，A正确；因为，所以，即，B正确；因为，所以，C错误；因为（当且仅当，即时，等号成立），所以，D正确．故选：ABD.12.的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，下列结论正确的（）A.函数没有对称中心B.函数的对称中心为C.函数的对称中心的横坐标为D.定义在的函数的图象关于点成中心对称.当时，，则的值域为【答案】BD【解析】【分析】由条件的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，结合对称中心的定义判断ABC选项，利用为奇函数求出值域，从而可求得上的值域，判断D选项.【详解】由于的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，对于A，因为，所以，满足，是奇函数，故关于点对称，故A错误；对于B，因为，定义域为，满足，是奇函数，所以点为的对称中心，故B正确；对于C，设的对称中心为，设，则，即，即，所以恒成立，即，所以，故函数的对称中心的横坐标为，故C错误；对于D，因为定义在的函数的图象关于点成中心对称.所以可得为奇函数，设，即是奇函数，当时，，所以，时，，所以，所以时，，故D正确；故选：BD.三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.已知函数，若，则_________.【答案】【解析】【分析】利用奇函数的性质即可.【详解】设，则，则因为，所以，则.故答案为：14.函数的递减区间是______．【答案】和【解析】【分析】分别讨论和时转化为二次函数，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当时，为开口向下的抛物线，对称轴为，此时在期间单调递减，当时，，开口向上的抛物线，对称轴为，此时在单调递减，综上所述：函数的递减区间是，故答案为：和【点睛】关键点点睛：本题的关键点是去绝对值转化为分段函数，两段都是二次函数，利用二次函数的性质即可求解单调区间.15.若函数在定义域D内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”.已知函数在上是“弱增函数”，则实数a的值为______.【答案】4【解析】【分析】由在上的单调性求出a的一个范围，再令，则在上是减函数，分类讨论根据的单调性求参数a的范围，两范围取交集即可得解.【详解】由题意可知函数在上是增函数，，解得，令，则在上是减函数，①当时，在上为增函数，不符合题意；②当时，由对勾函数的性质可知在上单调递减，，解得，又，.故答案为：4【点睛】本题考查函数的单调性、一元二次函数的单调性，属于中档题.16.定义在上的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】求出在上的值域，利用的性质得出在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出的范围．【详解】当时，，由于为对称轴为开口向下的二次函数，在上单调递增，可得在上单调递减，在上单调递增，，在上的值域为，在上的值域为，在上的值域为，，，故当，在上的值域为，当时，为增函数，在上的值域为，，解得，故的范围是；当时，为单调递减函数，在上的值域为，，解得；故的范围是，综上可知故的范围是，故答案为：.【点睛】方法点睛：函数恒成立或者存在类问题球参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.已知.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（3，4]；（2）[0，2]．【解析】【分析】（1）化简集合A，B根据交集的定义计算即可；（2）根据子集的概念，列出不等式组，求出a的取值范围．【详解】（1）A：（x﹣2）（x﹣4）≤0，则A＝[2，4]；B：x＞3或x≤1，则B＝（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）；则A∩B＝（3，4]；（2）C：（x﹣a）[x﹣（a+4）]≤0，则a≤x≤a+4，因为A⊆C，则，所以，解得a∈[0，2]．【点睛】本题考查了集合的定义与应用问题，也考查了不等式组的解法与应用问题，是基础题目．18.已知函数是定义域在上的奇函数，当时，．（1）求在上的解析式；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性即可得解；（2）利用二次函数的性质，作出的图象，结合图象即可得解.【小问1详解】因为函数是定义域在上的奇函数，所以，又当时，，所以当时，则，故，所以，综上，.【小问2详解】当时，，其开口向下，对称轴为；当时，，其开口向上，对称轴为；作出的图象如图，所以要使在上单调递减，必须，即，所以.19.已知函数，，（1）若的解集为，求的值；（2）若对，总，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知，不等式的解集为，可知是方程的根，求出的值，再解原二次不等式，即可的实数的值；（2）分析可知，，求出函数在区间上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：因为，所以，所以，依题得不等式的解集为，所以是方程的根，所以，∴，又因为，∴，∴，所以满足题意，∴，解得，∴.【小问2详解】解：，总，使得，等价于，由于在上单调递增，因此；的对称轴为：.①若，即，函数在上单调递减，在上单调递增，则，∴，∴，即，解得，舍去；②若，即，函数在上单调递增，则，∴，∴，解得，此时，；③若，即，函数在上单调递减，则，所以，，即，该不等式无解.综上所述，的取值范围是.20.定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立.（1）求的值；（2）判断并证明的单调性；（3）当时，解关于x的不等式.【答案】（1）（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）令可得；（2）令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性；任取且，结合已知条件，根据函数的单调性即可确定的单调性；（3）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集.【小问1详解】令，则,可得；【小问2详解】在上单调递减，证明如下：由已知，对于有成立，，令，则，所以，对有，故是奇函数，任取且，则，由已知有，又，得所以在上是减函数；【小问3详解】因为，所以，即，因为在上是减函数，所以，即，又，所以，当时，即时，原不等式的解集为；当时，即时，原不等式的解集为；当时，即时，原不等式的解集为.综上所述：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.【点睛】方法点睛：函数不等式的解法通常是利用函数单调性，脱去抽象符合“”,转化为一般不等式求解，所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质，如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，然后利用函数单调性解决.21.中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）40元；（2）至少应达到万件，每件定价30元.【解析】【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值；（2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.【小问1详解】设每件定价为t元，依题意得，则，解得，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元【小问2详解】依题意，时，不等式有解，等价于时，有解，因为（当且仅当时等号成立），所以，此时该商品的每件定价为30元，当该商品明年的销售量至少应达到万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为3