勾股定理的逆定理八年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题勾股定理的逆定理姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021春•台江区期中〕由以下线段为边组成的三角形是直角三角形的是〔〕A．1，2，3B．2，2，3C．8，24，25D．9，12，15【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，从而可以解答此题．【解析】12+22≠32，应选项A不符合题意；22+〔2〕2≠〔3〕2，应选项B不符合题意；82+242≠252，应选项C不符合题意；92+122＝152，应选项D符合题意；应选：D．2．〔2021春•金州区月考〕以下各组数中能作为直角三角形的三边长的是〔〕A．9，12，15B．5，8，12C．4，6，9D．2，3，4【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而可以解答此题．【解析】92+122＝152，应选项A符合题意；52+82≠122，应选项B不符合题意；42+62≠92，应选项C不符合题意；22+32≠42，应选项D不符合题意；应选：A．3．〔2021秋•姜堰区期末〕以下长度的三条线段能组成直角三角形的是〔〕A．2，3，5B．13，14，15C．32，42，【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条边的长度能否构成直角三角形．【解析】〔2〕2+〔3〕2＝〔5〕2，应选项A符合题意；〔15〕2+〔14〕2≠〔13〕2〔32〕2+〔42〕2≠〔52〕2，应选项C不符合题意；42+52≠62，应选项D不符合题意；应选：A．4．〔2021秋•上海期末〕在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，以下条件中不能说明△ABC是直角三角形的是〔〕A．b2＝a2﹣c2B．∠C＝∠A+∠BC．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝5：12：13【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解析】A、b2＝a2﹣c2，即a2＝b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；B、∠C＝∠A+∠B，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，△ABC不是直角三角形，符合题意；D、132＝52+122，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意．应选：C．5．〔2021秋•项城市期末〕以下各组线段中不能作为直角三角形三边长的是〔〕A．1、2、2B．1、2、3C．3、2、7D．2、3、5【分析】先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可．【解析】A．∵12+〔2〕2≠22，∴以1，2，2为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；B．∵12+〔2〕2＝〔3〕2，∴以1，2，3为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵22+〔3〕2＝〔7〕2，∴以2，3，7为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵〔2〕2+〔3〕2＝〔5〕2，∴以2，3，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；应选：A．6．〔2021秋•乐亭县期末〕a2﹣2a+1+b-2+〔c-5〕2＝0，那么以aA．5B．1C．2D．5【分析】根据非负数的性质可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理判定为直角三角形，然后再求面积即可．【解析】∵a2﹣2a+1+b-2+〔c-5∴〔a﹣1〕2＝0，b-2=0，c∴a＝1，b＝2，c=5∵12+22＝〔5〕2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，∴三角形的面积为：12×1×2＝应选：B．7．〔2021春•海淀区校级期中〕满足以下关系的三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形的是〔〕A．a＜b+cB．a＞b﹣cC．a＝b＝cD．a2＝b2+c2【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．【解析】A．如a＝3，b＝4，c＝6，符合a＜b+c，但是此时三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．如a＝3，b＝6，c＝4，符合a＜b+c，但是此时三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．如a＝b＝c＝2，三角形是等边三角形，但不是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵a2＝b2+c2，∴三角形是直角三角形，故本选项符合题意；应选：D．8．〔2021春•路南区校级月考〕a，b，c分别为△ABC的三边长，那么符合以下条件的△ABC中，直角三角形有〔〕〔1〕a=13，b=14，c=15；〔2〕a2＝〔b+c〕〔b﹣c〕；〔3〕∠A：∠B：∠C＝3：4：5；〔4〕a＝7，b＝24，c＝25；〔5〕a＝2，b＝A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理进行逐项分析解答即可．【解析】〔1〕由a=13，b=14，c=15可得，a2≠b2〔2〕由a2＝〔b+c〕〔b﹣c〕可得，a2+c2＝b2，故△ABC是直角三角形；〔3〕由∠A：∠B：∠C＝3：4：5可得，∠C＝180°×512=75°＜90〔4〕由a＝7，b＝24，c＝25可得，c2＝a2+b2，故△ABC为直角三角形；〔5〕由a＝2，b＝2，c＝4可得，a+b＝c，故不能构成三角形．应选：A．9．〔2021春•庐阳区校级期中〕△ABC的三边为a，b，c且〔a+b〕〔a﹣b〕＝c2，那么该三角形是〔〕A．锐角三角形B．以c为斜边的直角三角形C．以b为斜边的直角三角形D．以a为斜边的直角三角形【分析】由题意可知：c2+b2＝a2，此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理．【解析】由题意，a2﹣b2＝c2，∴b2+c2＝a2，此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理，所以此三角形是以a为斜边的直角三角形．应选：D．10．〔2021春•武昌区期中〕在学习“勾股数〞的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．那么当a＝24时，b+c的值为〔〕a68101214…b815243548…c1017263750…A．250B．288C．300D．574【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出b、c的值，再求出答案即可．【解析】从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，•••，即24＝2×〔10+2〕，b依次为8，15，24，35，48，•••，即当a＝24时，b＝122﹣1＝143，c依次为10，17，26，37，50，•••，即当a＝24时，c＝122+1＝145，所以当a＝24时，b+c＝143+145＝288，应选：B．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021春•开福区期中〕△ABC中，AC＝8，AB＝10，BC＝6，D是AB的中点，那么CD＝5．【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CD=12【解析】∵AC＝8，AB＝10，BC＝6，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵D为AB的中点，∴CD=12AB=故答案为：5．12．〔2021春•娄星区校级期中〕△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，以下条件中能判断出是△ABC直角三角形的有〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕．〔1〕∠A：∠B：∠C＝3：4：5；〔2〕a：b：c＝5：4：3；〔3〕a2+b2＝c2；〔4〕∠A＝90°﹣∠B；〔5〕∠A+∠B＝∠C．【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断〔2〕〔3〕，根据三角形内角和定理即可判断〔1〕〔4〕〔5〕．【解析】〔1〕∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C=53+4+5×180∴△ABC不是直角三角形；〔2〕∵a：b：c＝5：4：3，∴b2+c2＝a2，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形；〔3〕∵a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；〔4〕∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣〔∠A+∠B〕＝90°，∴△ABC是直角三角形；〔5〕∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，所以能判断出是△ABC直角三角形的有〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕，故答案为：〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕．13．〔2021春•广州校级期中〕如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，点D为BC的中点，那么线段AD的长为132【分析】根据勾股定理逆定理可证明△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【解析】∵52+122＝132，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∵D为BC的中点，∴AD=12BC故答案为：13214．〔2021春•海珠区月考〕假设一三角形三边长分别为5、12、13，那么这个三角形长是13的边上的高是6013【分析】首先根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可．【解析】∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，设最长边上的高为hcm，根据三角形的面积公式得，12×5×12=12解得：h=60故答案为：601315．〔2021秋•苏州期末〕如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△PAB，那么∠PAB+∠PBA的度数是45°．【分析】延长AP到C，使AP＝PC，连接BC，根据勾股定理求出AC＝PC＝BC=5，PC2+BC2＝PB2，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理得出△PCB【解析】延长AP到C，使AP＝PC，连接BC，∵AP＝PC=1同理BC=5∵BP=1∴PC＝BC，PC2+BC2＝PB2，∴△PCB是等腰直角三角形，∴∠CPB＝∠CBP＝45°，∴∠PAB+∠PBA＝∠CPB＝45°，故答案为：45°．16．〔2021秋•滦州市期末〕△ABC的三边长分别为6，10，8，那么△ABC的面积为24．【分析】根据三边长度可利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形．再求面积．【解析】∵△ABC的三边分别为6，10，8，且62+82＝102，∴△ABC是直角三角形，两直角边是6，8，∴△ABC的面积为：12×6×8＝故答案为：24．17．〔2021秋•门头沟区期末〕如下图的网格是正方形网格，那么∠CBD+∠ABC＝45°．〔点A，B，C，D是网格线交点〕【分析】连接DC并延长到点E，使CE＝DC，连接EA、EB，根据勾股定理得到BE＝BD=52+12=26，AE=32+22=13，AB=32+2【解析】如图，连接DC并延长到点E，使CE＝DC，连接EA、EB，那么BC是ED的垂直平分线，∴BE＝BD=5∴∠CBD＝∠CBE．∵AE=32+2∴AE2+AB2＝2AB2＝BE2，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°，∴∠CBD+∠ABC＝∠CBE+∠ABC＝∠ABE＝45°．故答案为：45．18．〔2021春•平山县月考〕如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，DE=3，BC＝1，CD=13，那么四边形ABCD【分析】连接BD，根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，进而利用三角形的面积公式解答即可．【解析】连接BD，∵点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，DE=∴EB=12AB＝∴BD=∵(23)2+12=(13)∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，∴四边形ABCD的面积=S故答案为：43三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021春•雨花区期末〕如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求阴影局部的面积．【分析】先利用勾股定理求出AB，然后利用勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影局部的面积．【解析】在RT△ABC中，AB=AC∵AD＝13，BD＝12，∴AB2+BD2＝AD2，即可判断△ABD为直角三角形，阴影局部的面积=12AB×BD-12BC×AC＝30﹣答：阴影局部的面积＝24．20．〔2021秋•福田区校级期末〕如下图，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．〔1〕连接BC，求BC的长；〔2〕判断△BCD的形状，并说明理由．【分析】〔1〕直接利用勾股定理得出BC的长；〔2〕直接利用勾股定理逆定理进而分析得出答案．【解析】〔1〕∵∠A＝90°，∴BC=AB〔2〕△BCD是直角三角形，理由：∵BC2＝152＝225，BD2＝82＝64，CD2＝172＝289，∴BC2+BD2＝CD2＝289，∴△BCD是直角三角形．21．〔2021春•曾都区期末〕如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．〔1〕连接AC，求证：△ACD是直角三角形；〔2〕求△ACD中AD边上的高．【分析】〔1〕连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状；〔2〕利用三角形的面积公式求解即可．【解答】〔1〕证明：连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，∴AC＝5，∵CD＝12，AD＝13，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是直角三角形；〔2〕解：过点C作CH⊥AD于点H，那么S△ACD=12AD×CH=12∴12×13×CH=12∴CH=6022．〔2021•海曙区模拟〕如图，在8×4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找出格点C，且使BC＝5，并且直接写出对应三角形的面积．【分析】利用勾股定理按△ABC的形状要求，分别找出格点C，画出△ABC，根据正方形网格的特点计算出对应三角形的面积即可．【解析】如图：钝角三角形的面积：12×5×4＝直角三角形的面积：12×5×钝角三角形的面积：12×6×4＝故答案为：10，，12．23．〔2021秋•内江期末〕如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．〔1〕求证：∠A＝90°；〔2〕假设AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．【分析】〔1〕利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，