第四章基本平面图形角的认识与计算讲义北师大版数学七年级上册

角的认识与计算核心知识盘点角的定义：定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．角度的表示方法表示方法A图例A记法适用范围用三个大写字母表示BOBOAOB或BOA任何情况都适用.表示端点的字母必须写在中间.用一个大写字母表示AAA以这个点为顶点的角只有一个.用数字表示111任何情况都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.用希腊字母表示角的度量单位：1°=60′，1′=60′′钟面角：钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°．m时n分，时针和分针的夹角为：|30m5.5n|；当|30m5.5n|>180°时，时针与分针的夹角为360°|30m5.5n|方向角：方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．南偏东45°是东南方向；三角板的度数：90°、60°30°、90°、45°、45°角的比较：度量法、叠合法．角平分线：从一个角的内部引出一条射线，把这个角分成相等的两个角，这条射线叫做这个角的平分线．∵OC是∠AOB的角平分线∴∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC（或∠AOC＝∠BOC=12∠AOB考点1※角的基本概念下列说法中，正确的个数有()两条射线组成的图形是角;角的大小与边的长短有关;线段AB就是A,B两点间的距离;角的两边是两条射线;因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看作一个平角;在直线上依次取A,B,C三点，使得AB=5cm,BC=2cm,AC=7cm;下列语句正确的说法是()A.两条直线相交，组成的图形是角B.从同一点引出的两条射线组成的图形也是角C.两条有公共端点的线段组成的图形叫角考点2※角的表示方法、角的计数问题下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（）A．B．C． D．下列图中的也可以用表示的是（）A．B．C． D．如图，从一点O出发，引两条射线可以得到一个角，引三条射线可以得到三个角，引四条射线可以得到六个角，引五条射线可以得到十个角，如果从一点出发引n（n为大于等于2的整数）条射线，则会得到多少个角？考点3※方向角方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)请你在图中表示下列方向角(可以用量角器)(1)射线OA表示西南方向;(2)射线OC表示北偏西40°方向;(3)射线OD表示南偏东60°方向如图，OA是北偏东40°方向上的一条射线，∠AOB＝90°，则OB的方位角是（）A．南偏东50° B．南偏东40° C．东偏南50° D．南偏西50°在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（）A．69° B．111° C．141° D．159°如图，学校A在蕾蕾家B南偏西25°的方向上，点C表示超市所在的位置，，则超市C在蕾蕾家的（）A．北偏东55°的方向上B．南偏东55°的方向上C．北偏东65°的方向上D．南偏东65°的方向上考点4※钟面表亲爱的同学，现在是上午8：25，按正常做题速度，你应该做到此题了，如图，此时钟表上的时针和分针的夹角是°．在10点10分时，钟表上时针和分针的夹角为度早睡早起习惯好，小明养成了晚上21：00左右睡觉的好习惯.某天晚上小明睡觉前看了一下时间21：10，此时时钟上的分针与时针所成的角是度．9时20分时，时钟上的时针和分针的夹角是．时钟9点30分时，分针和时针之间形成的角的大小等于考点5※角度和差的计算如图，已知，，则的度数是（

）A． B． C． D．在同一平面内，∠AOB=70°，∠BOC=40°，则∠AOC的度数为．从点引三条射线、、，已知，，则的度数是多少？（画出图形并解答）．如图，将三个边长都为a的正方形一个顶点重合放置，则∠1＋∠2＋∠3＝．如图，若，且，求的度数为（

）A． B． C． D．考点6※三角板中的角度问题如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD=150°，则∠BOC等于度．将平面内一副三角板按三种方式摆放，分别求出对应的度数．（1）平面内将一副三角板按如图1所示摆放，则∠EBC＝；（2）平面内将一副三角板按如图2所示摆放，若∠EBC＝165°，则∠＝；（3）平面内将一副三角板按如图3所示摆放，若∠EBC＝115°，求∠的度数．如图，一副三角尺中，，，在同一平面内，将点A和点F的顶点重合，边AB和边EF重合，可以得到，则的度数为．考点7※利用角平分线进行计算如图，点O在直线AB上，OC是的平分线.（1）若，则的度数为________.（2）设的大小为，求（用含的代数式表示）.（3）作，直接写出与之间的数量关系.几何计算：如图，已知，，平分，求的度数．解：因为，所以__________°，所以__________＋_________，＝__________°＋__________°，＝__________°，因为平分，所以__________＝__________°．（）如图，已知，，平分．(1)若，则_______°，_______°；(2)若，则________°，________°；(3)若，，请直接写出与之间的数量关系．如图，已知平分，，求的度数如图，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝60°，则∠EOC＝．阅读材料并回答问题：数学课上，老师给出了如下问题：已知，如图1，，平分．若，请你补全图形，并求的度数．同学一的解答如下：解：如图2，作因为，平分，所以______________，因为，所以___________________________，同学二说：“符合题目要求的图形还有一种情况．”请你完成以下问题：(1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整；(2)判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图中画出另一种情况对应的图形，并求的度数．考点8※双角平分线问题根据题意，补全解题过程：如图，∠AOB=90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．求∠EOF的度数.解：因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOC所以∠EOC=∠AOC，∠FOC=________.

所以∠EOF=∠EOC________=(∠AOC_______)=________=_________°.已知，是过点的一条射线，，分别平分，．请回答下列问题：（1）如图①，如果是的平分线，求的度数是多少？（2）如图②，如果是内部的任意一条射线，的度数有变化吗？为什么？（3）如图③，如果是外部的任意一条射线，的度数能求出吗？如果能求出，请写出过程；如果不能求出，请简要说明理由．如图所示，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．(1)如果∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠MON的度数；(2)如果∠AOB=，∠BOC=（，均为锐角，），其他条件不变，求∠MON的度数（用含，的式子表示）；(3)从(1)(2)的结果中，你发现了什么规律?已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（）A．20°或50° B．20°或60° C．30°或50° D．30°或60°如图1，和都是锐角，射线在内部，，．（本题所涉及的角都是小于的角）(1)如图2，平分，平分，当，时，求MON的大小；解：因为平分，BOC=所以，因为，BOC=所以AOC=BOC=因为平分，AOC=所以，所以．(2)如图3，为内任意一点，直线过点，点在外部，类比（1）的做法，完成下列两题：①当平分，平分，的度数为_______；（用含有或的代数式表示）；②当平分，平分，的度数为_________．（用含有或的代数式表示）已知OC为一条射线，OM平分，ON平分．（1）如图1，当，OC为内部任意一条射线时，；（2）如图2，当，OC旋转到的外部时，；（3）如图3，当，OC旋转到（）的外部时，求，请借助图3填空．解：因为OM平分，ON平分所以（依据是）所以．如图①，已知OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）如果∠AOB＝70°，∠BOC＝30°，则∠EOF＝．（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，那么∠EOF是度．（3）拓展：如图②，已知点E是AC的中点，点D是BC的中点，直接写出线段DE与线段AB的数量关系．它们的数量关系是．如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点不与点重合），点分别是的中点．(1)若，则；(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由；(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，，求的度数．考点9：角综合题在数学实践活动课上，“卓越”小组准备研究如下问题：如图，为直尺的一条边，四边形为一正方形纸板（、、、均为直角）(1)【操作发现】如图①小组成员小方把正方形的一条边与重合放置，刘老师在与同学们交流研讨时又做出了的平分线，交正方形的边于点．则此时的度数为______；与的度数之间的关系为______．(2)【问题探究】受小方同学的启发，小组成员小丽将正方形纸板按如图②放置，若此时记的度数为，其他条件不变，请帮小丽同学探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由．(3)【拓展延伸】组内其他同学也都继续探索，将正方形按如图③放置，刘老师同样做出了的平分线，请直接写出与的度数之间的关系．直角三角板的直角顶点C在直线上，平分．(1)如图1，若，则___________；(2)如图1，若，则___________（用含α的式子表示）；(3)将图1中的三角板绕点C旋转至图2的位置，若，求出与的度数．如图，已知，三角形COD是含有角的三角板，，OE平分．(1)如图1，当时，_____________；(2)如图2，当时，_____________；(3)如图3，当（）时，求的度数（用表示）；(4)由前三步的计算，当时，请直接写出与的数量关系为_______________________________________．如图，已知，是等边三角形（三条边都相等、三个角都等于的三角形），平分．（1）如图1，当时，_________；（2）如图2，当时，________；（3）如图3，当时，求的度数，请借助图3填空．解：因为，，所以，因为平分，所以_________________（用表示），因为为等边三角形，所以，所以_______（用表示）．（4）由（1）（2）（3）问可知，当时，直接写出的度数（用来表示，无需说明理由）小东遇到这样一个问题：如图，有两条线段，作线段，求作点，使点在线段的延长线上，且．小东是这样思考的：首先通过分析明确点在的延长线上，画出示意图，如图所示：然后截取，这时发现，进而分析要使，则需．因此，小东找到了解决问题的方法：延长到，并使，利用直尺找到的中点，这样就得到了．根据小东的画法我们可知，线段，点在线段的延长线上，且，点为的中点请你根据以上条件说出的理由（2）类比迁移：①类比小东的画法，由线段迁移到角，完成画图：如图，，请画一个，使与互补，要求：保留画图痕迹，并简单叙述画图步骤．②如图，已知和互补，射线平分，射线平分．若，求的度数．解答下列各题：(1)图①，是一副三角尺（和）在桌面上叠放成的图形，已知平分，则度数是；(2)如图②，点O在直线上．①若，，则的度数是．②如果为任意射线，平分，平分，求的度数．如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，从位置弹回，继续向位置旋转；当转到位置时，再从位置弹回，继续转向位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从（在上）开始旋转至；第2步，从开始继续旋转至；第3步，从开始继续旋转至，…．例如：当时，，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合．解决如下问题：(1)若，在图4中借助量角器画出，，其中的度数是______；(2)若，且所在的射线平分，求出的值；(3)若，是否存在对应的值使？若存在直接写出对应的值，若不存在请说明理由．考点10：旋转问题如图，将两块直角三角尺的直角顶点重合，固定三角尺将三角尺绕点旋转．（1）若，则的度数是___________．（2）在三角尺绕点旋转的过程中，与之间的数量关系会发生变化吗？如果不变先写出数量关系再说明理由；如果变化，说明有怎样的数量关系．如图1，O为直线DE上一点，过点O在直线DE上方作射线OC，∠EOC=130°．将直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．(1)如图2，当t=4时，∠AOC=，∠BOE=，∠BOE﹣∠AOC=；(2)当三角板旋转至边AB与射线OE相交时（如图3），试猜想∠AOC与∠BOE的数量关系，并说明理由；(3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出t的取值，若不存在，请说明理由．如图，O为直线AB上一点，作射线OC，使．将一个直角三角板按如图1所示的方式摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上．将图1中的三角尺绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第t秒时，OQ所在直线恰好平分，则t的值为．如下图，已知，与互余，平分．(1)在图①中，若，则______，_______；(2)在图①中，设，，请探究与之间的数量关系（写出推理的主要过程．）(3)在图①中，当绕着点O顺时针转动到如图②的位置时，（2）中与之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时与之间的数量关系．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．（1）将图1中的三角形板绕点按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时旋转的角度是____°；（2）继续将图2中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图3