6.1-6.3线段射线直线与角（重难点突破）原卷版

突破6.1~6.3线段、射线、直线与角【知识点一、直线】1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．2.表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．图1 图2（2）也可以用表示，如图2所示，可以表示为直线．3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．特别说明：直线的特征：（1）直线没有，向两方无限延伸．（2）直线没有．（3）确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点．4.点与直线的位置关系：（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．图3 图4【知识点二、线段】1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．图53.“作一条线段等于已知线段”的两种方法：法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，最短．如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．图6图65.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．图图7特别说明：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．【知识点三、射线】1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的．如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．图8图82.特征：是直的，有一个端点，不可以，不可以比较长短，无限长．3.表示方法：（1）可以用两个英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l．特别说明：(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA，射线OB是射线．图9图9(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示射线．图10图10【知识点四、直线、射线、线段的区别与联系】1.直线、射线、线段之间的联系（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．2．三者的区别如下表类型名称直线射线线段图形表示方法①两个大写字母；②一个小写字母①两个大写字母（表示端点的字母在前）②一个小写字母①表示两端点的两个大写字母②一个小写字母端点个数无1个2个延伸性向两方无限延伸向一方无限延伸不可延伸性质两点确定一条直线两点之间，线段最短度量不可以不可以可以作图叙述过A、B作直线AB以A为端点作射线AB连接AB特别说明：（1）联系与区别可表示如下：向两方延伸向一方延伸直线（直线的性质公理）线段线段长短的比较，线段的中点射线向两方延伸向一方延伸直线（直线的性质公理）线段线段长短的比较，线段的中点射线反向延伸反向延伸（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．【知识点五、角的概念的理解】角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条组成的图形叫做角，这个公共端点是角的，这两条射线是角的两条．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图2图1图2图1（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．特别说明：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：特别说明：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．【知识点六、余角与补角】1.定义：一般地，如果两个角的和等于°，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于°，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．特别说明：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°－α)，一个角α的补角可以表示为(180°－α)．显然一个锐角的补角比它的余角大90°．【知识点七、邻补角与对顶角】1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为．特别说明：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定，但互补的两个角不一定互为．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为．（2）性质：对顶角相等．特别说明：(1)由定义可知只有两条直线时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(一)直线、射线、线段的区别与联系例1．如图，下列说法不正确的是（

）A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段C．射线与射线是同一条射线 D．射线与射线是同一条射线【变式训练1－1】下列几何图形与相应语言描述相符的有（

）①直线a、b相交于点A；②射线与线段没有公共点；③延长线段；④直线经过点A.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练1－2】如图，点A，B，C在直线l上，下列说法中正确的有（）①只有一条直线；②能用字母表示的射线共有3条；③一共有三条线段；④延长直线；⑤延长线段和延长线段的含义是相同的；⑥点B在线段上．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式训练1－3】如图所示，共有多少条直线、射线、线段？请依次指出．(二)直线、射线、线段的数量和交点问题例2．如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（

）种．A．4 B．6 C．10 D．12【变式训练2－1】两条直线相交，产生一个交点，已知9条直线相交最多产生36个交点，那么10条直线相交最多产生交点个数为（

）A．45 B．46 C．50 D．60【变式训练2－2】如图，观察图形，有下列说法：①直线和直线是同一条直线；②；③射线与射线是同一条射线；④三条直线两两相交时，一定有三个交点．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练2－3】平面内有两两相交的条直线，如果最多有个交点，最少有个交点，那么．(三)线段有关计算问题【例3】如图，点C，D是线段上的两点，若，点P是线段的中点，则．【变式训练3－1】已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则．【变式训练3－2】如图，B、C网点把线段分为三部分，．(1)求的长(2)若点M是的中点，求的长．(3)在（2）的条件下，若点N为线段中点，求线段的长度．【变式训练3－3】七（1）班的数学兴趣小组在活动中，对“线段中点”问题进行以下探究．已知线段，点E，F分别是，的中点．(1)如图1，若点C在线段上，且（写出解题过程），的长度；(2)如图2，若点C是线段上任意一点，则的长度为；(3)若点C在线段的延长线上，其余条件不变，借助图3探究的长度（不写探究过程）．(四)线段的动点最值问题【例4】已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒．（1）当点到达终点时，点在边；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为；（3）点、相遇时，秒．【变式训练4－1】已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．(1)若，，线段在线段上移动．①如图1，当为中点时，求的长；②若点在线段上，且，，求的长；(2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值．【变式训练4－2】在数轴上，表示数的点到原点的距离．如果数轴上两个点、分别对应数、，那么、两点间的距离为：，这是绝对值的几何意义．已知如图，点在数轴上对应的数为－3，点对应的数为2．（1）求线段的长．（2）若点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使？若存在，求出点对应的数；若不存在说明理由．（3）若点是数轴上在点左侧的一点，线段的中点为点，点为线段的三等分点且靠近于点，当点在点左侧的数轴上运动时，请直接判断的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．【变式训练4－3】（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长；（2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长；②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值．【变式训练4－4】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．(1)若点C，D的速度分别是，．①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm；②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________；(2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长【变式训练4－5】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础。我们知道，它在数轴上的意义是表示数的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则，两点间的距离就可记作．回答下列问题：（1）在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离的式子是____．（2）反过来，式子在数轴上的意义是．（3）试用数轴探究：当时的值为．（4）进一步探究：的最小值为，此时的取值范围为．（5）最后发现，当的值最小时，的值为(五)角的概念【例5】下列说法中，正确的是（

）A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为【变式训练5－1】如图，下列说法正确的是（

）A． B．图中只有两个角，即和C．与表示同一个角 D．与表示同一个角【变式训练5－2】计算：；°；当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为度．【变式训练5－3】如图：(1)以点B为顶点的角有几个？分别表示出来．(2)请分别指出以射线为边的角．(3)以D为顶点，为一边的角有几个？分别写出来．【变式训练5－4】如图，在钟面上，点为钟面的圆心，以点为顶点按要求画出符合下列要求的角（角的两边不经过钟面上的数字）：（1）在图1中画一个锐角，使锐角的内部含有2个数字，且数字之差的绝对值最大；（2）在图2中画一个直角，使直角的内部含有3个数字，且数字之积等于数字之和；（3）在图3中画一个钝角，使钝角的内部含有4个数字，且数字之和最小；（4）在图4中画一个平角，使平角的内部与外部的数字之和相等；（5）在图5中画两个直角，使这两个直角的内部含有的3个数字之和相等.(六)方位角及其计算【例6】如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（

）A．南偏东40° B．北偏东50° C．南偏西40° D．北偏西50°【变式训练6－1】如图，甲从处出发沿北偏西方向行走至处，又沿南偏西方向行走至处，此时再沿与出发时一致的方向行走至处，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式训练6－2】如图，我国山东号航空母舰行驶在B处同时测得黄岩岛A、中国海军南昌号驱逐舰C的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是．【变式训练6－3】小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．(1)在图中画出小华家的位置；(2)求的度数；(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．(七)角的单位及简单计算【例7】已知，下面结论正确的是（）A． B． C． D．【变式训练7－1】如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．(1)①探究与的关系：因为，所以，即______．②探究与的关系：因为，，所以______．(2)若将这副三角尺绕点O旋转到如图乙的位置：①直接写出与的关系：______；②探究与的关系，并仿照（1）①中的探究写出推过程．【变式训练7－2】如图1，将两块直角三角板与的直角顶点O重合在一起，其中直角边在内部．(1)如图2，若，求和的度数．(2)若①和有什么关系？请说明理由．②当时，求的度数．【变式训练7－3】把两个三角尺按如图所示那样拼在一起，试确定图中的度数及其大小关系．(八)角的平分线及旋转问题【例8】已知：．(1)如图1，若．①写出图中一组相等的角（除直角外）__________，理由是________________．

②那么_________．(2)如图2，与重合，若，将绕点O以5度/秒的速度作逆时针旋转，运动时间为t（）秒．①当t=______秒时，平分；②试说明：当t为何值时，？【变式训练8－1】已知，平分，平分．(1)如图1，若，，求的度数；(2)如图2，若，求度数；(3)如图3，在（2）的条件下，为内部的一条射线，，若为平面内一条射线，，求的度数．【变式训练8－2】已知，，平分，平分．(1)如图1，当，重合时，求的值；(2)如图2，当从图1所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转．在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若不变化，请求出该定值；若变化，请说明理由；(3)在（2）的条件下，求当旋转多少秒时，．【变式训练8－3】阅读理解，回答问题：定义回顾：从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线也可以通过折纸完成，如图（1），将含有的纸片经过顶点P对折叠，折痕所在的射线就是的平分线．利用角的平分线的定义，可以进行角的度数的计算．问题解决：(1)如图（2），点P，Q分别是长方形纸片的对边，上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，，则的度数是______；(2)如图（3），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．①若，，求的度数；②若，求的度数（用含的式子表示）；拓广探索：(3)将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B，C分别落在点，，处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图（4）．若，请直接写出的度数（用含的式子表示）．(九)求一个角的余角或补角【例9】一个锐角的余角比它的补角（

）A．相等 B．小 C．大 D．不能确定大小【变式训练9－1】下列说法中，错误的是（

）A．互余且相等的两个角