第三章-逻辑代数与逻辑函数课件

3.1基本逻辑运算数字电路研究的是数字电路的输入与输出之间的因果关系，即逻辑关系。逻辑关系一般由逻辑函数来描述。逻辑函数是由逻辑变量A，B，C……和基本逻辑运算符号●(与)、+（或）、—（非）及括号、等号等构成的表达式来表示，如：F=ĀBC+A=F(A,B,C)

式中A、B、C称为原变量，Ā称为对应的反变量，F称为逻辑函数（称为F的逻辑反函数）。基本公式1.变量与常数的计算公式：

A·0=0A·1=AA+1=1A+0=AA⊕1=ĀA⊕0=A2.变量与变量的计算：

A·A=AA+A=A

A·Ā=0

A+Ā=1

A=AA⊕A=0A⊕Ā

=1

二.基本运算定律

1.交换律：A·B=B·AA+B=B+AA⊕B=B⊕A2.结合律：A(B·C)=(A·B)C(A+B)+C=A+(B+C)(A⊕B)⊕C=A⊕

(B⊕C)3.分配律：A(B＋C)=AB＋ACA＋(BC)=(A＋B)(A＋C)3.吸收律：

ĀB+A=A+BAB+ĀC+BC=AB+ĀC

5.反演律(摩根定律)：AB=A+BA+B=AB以上这些定律可以用基本公式或真值表进行证明。例1

利用基本公式证明AB+ĀC+BC=AB+ĀC。证：左边=AB+ĀC+(A+Ā)BC=AB+ĀC+ABC+ĀBC=AB(1+C)+ĀC(1+B)=AB+ĀC=右边如果AB+ĀC+BCEFG=?三.基本运算规则

1．运算顺序在逻辑代数中，运算优先顺序为:先算括号，再是非运算，然后是与运算，最后是或运算。2．代入规则在逻辑等式中，如果将等式两边出现某一变量的位置都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。这就是代入规则。

3.反演规则在逻辑求F函数的反函数，只要将F式中·与+互换，0与1互换，原变量与反变量互换，其余符号和运算顺序不变。例如，已知。若用Z=A·C代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即3.2逻辑函数的变换和化简一.逻辑函数的变换利用基本逻辑运算可以将同一个逻辑函数变换为不同的表达式，一个逻辑函数通常有以下五种类型的表达式:

与或表达式易于从真值表直接写出，而且只需运用一次摩根定律就可以从最简与或表达式变换为与非-与非表达式，从而可以用与非门电路来实现。与或表达式：F=AB+AC(先与再或)或与表达式：G=(A+B)(A+C)(先或再与)与非－与非表达式：F=ABAC(又称为与非表达式)或非－或非表达式：G=A+B+A+C(又称为或非表达式)与或非表达式：L=AB+AC(先与再或最后非)二.逻辑函数代数法化简

1.消去多余项：2.消去合并项：3.消去因子:4.添加项配项：对较简单逻辑函数用代数化简很方便。对较复杂的逻辑函数化简不但要求熟练掌握逻辑代数的基本公式，而且需要一些技巧，特别是较难掌握获得代数化简后的最简逻辑表达式的方法。

例F=AB+ABC(E+F)例F=ABC+ABC例F=AB+AC+BC例F=AB+BC+BC+AB=AB=AB+BC+BC+AB+AC=AB+BC+AC最简与或表达式有两个特点:1．与项(即乘积项)的个数最少;2．每个与项中变量的个数最少。例：根据真值表写出函数T1和T2的与或表达式和与非表达式。

解：输入ABC输出T1输出T20000010100111001011101111110000000000111T1=AB+AC=ABCT2=AC+AB=ACAB3.3逻辑函数的卡诺图化简法与变换一.最小项特点：

1.每个乘积项都有三个变量，原、反变量均可；

2.每个乘积项中，同一原、反变量只能出现1次；

3.n个原变量的最小项最多有2n个。性质：对变量的任一取值，只有一个最小项为1；两个最小项之积为0；全部最小项之和为1。在含有三个输入变量A、B、C的逻辑函数中，A、B、C的所有取值可以构成8种不同状态，用变量表示为8个乘积项：ABCABCABCABCABCABCABCABC，它们统称为逻辑函数的最小项。二.最小项(标准)表达式对于某种逻辑关系，用真值表来表示是唯一的，用前面讨论的逻辑表达式来表示可以有多个表达式。如果用最小项之和组成的表达式来表示，也是唯一的。用最小项表示的逻辑函数称为最小项(标准)表达式，其表达式是唯一的。例：F=ABC+ABC+ABC最小项表达式还可简写为F=∑mi，式中mi表示最小项，下标i是最小项值为1时对应变量的十进制数值。上例可写为F（A,B,C）=m1+m6+m7=∑m(1,6,7)=∑(1,6,7)(1)每方格代表一个最小项，方格内的数字表示相应最小项的下标，最小项的逻辑取值填入相应方格；(2)卡诺图方格外的字母和数字为输入变量及其相应变量取值，变量取值的排序不能改变；(3)相邻的2个方格称为逻辑相邻项（简称相邻项），相邻项中只有1对变量互为反变量，而其余变量完全相同。(4)卡诺图一列中最上和最下2个方格是相邻项；一行中最左和最右2个方格是相邻项。三.卡诺图23

B

A010101

BC

A000111100211306574

CD

AB00011110000111102130657414131512109118二变量三变量四变量由逻辑函数真值表直接画出的卡诺图四.逻辑函数的卡诺图表示真值表输入变量每一行对应一个最小项，即对应卡诺图中的一个方格，将最小项取值（即输出变量取值）填入卡诺图对应方格中，即构成相应的卡诺图。2130657400101110

BC

A0001111001由逻辑函数表达式画出的卡诺图四.逻辑函数的卡诺图表示10011011例：画出F=AB+C+ABC的卡诺图。解：先写标准表达式，再画卡诺图

F=AB(C+C)+C(A+A)(B+B)+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=∑m(7,6,4,2,0)直接画出卡诺图

BC

A0001111001

BC

A0001111001A=1B=1C=0C=0A=0B=110011011

BC

A0001111001如果逻辑函数中含有与非项或或非项，应先利用反演律去掉，再按上述方法画出卡诺图。例五.卡诺图化简化简依据：图中任何2=21个为1的相邻项可以合并为1个与项，并消去一个变量；任何4=22个为1的相邻项可以合并为1个与项，消去2个变量；任何2K个为1的相邻项可以合并为1个与项，消去K个变量。化简步骤:将为1的相邻项（方格）尽可能多的圈出，每个圈内1的个数满足2k；方格1可以重复使用,每个圈要有新1；必须圈完所有的1，独立1对应一个最小项；将所有包围圈内的最小项合并成对应与项，然后相加得到最简与或表达式。例：用卡诺图化简下列函数：F1=ABC+ABC+ABC+ABCF2=ABC+ACD+ABCD+ABC

BC

A00011110011111F1=BF2=BD+BC+ACD1111111

CD

AB0001111000011110练习化简下列逻辑函数为最简与或函数式：

F1=XYZ+XY+XYZF2=BCD+AC+AB+BCDF3=ABC+ABC+ABC+ABC解：1

YZ

X00011110011111F1=∑(7,5,4,6)=XF3=∑(4,5,6,7)1111

BC

A0001111001F2=AC+BC=A

CD

AB0001111000011110111111113.含有无关项的化简约束项(不允许或不会出现的最小项)和任意项(最小项可任意取值)统称为无关项。常用∑d表示。无关项在卡诺图中用×表示，既可看作1，也可看作0，视具体情况而定。例如：F(A,B,C,D)=∑m(4,6,8,9,10,12,13,14)+∑d(0,2,5)

CD

AB0001111000011110205137151164141312109811

1

1

1

111F=D+AC×××00000例：用8421BCD码表示的1位十进制数，当十进制数为奇数时，电路输出为1，当十进制数为偶数时，电路输出为0。试写出上述逻辑关系的最简与或表达式

解：

CD

AB000111100001111011

1

1

1

00000F=D×××十进制数输入变量ABCD输出F012345678900000001001000110100010101100111100010010101010101

无关项101010111100110111101111××××××F(A,B,C,D)

=∑m(1,3,5,7,9)+∑d(11,12,13,14,15)××F

=AD+BCD×000000六.卡诺图变换与或转换为或与转换原理

F=AD+AC+BD+BCF=AB+CDF=AB+CD=（A+B)(C+D)化简步骤:将为0的相邻项（方格）尽可能多的圈出，每个圈内0的个数满足2k；方格0可以重复使用,每个圈要有新0,必须圈完所有的0；将所有包围圈内的最小项合并成对应或项，注意：合并后变量取值为0用原变量，取值为1用反原变量；相与所有或项得到最简或与表达式。

CD

AB00011110000111100000011101110111与或转换为与或非转换原理将F=AC+AD+BC+BD转换为与或非表达式。

F=AB+CDF=AB+CD化简步骤:将为0的相邻项（方格）尽可能多的圈出，每个圈内0的个数满足2k；按圈1化简，得到反函数的与或形式；将反函数两边求反得到最简与或非表达式。六.卡诺图变换

CD

AB00011110000111101011101100001011六.卡诺图变换与或转换为或非化简步骤:先将与或转换为或与形式；再利用摩根定理将或与转换为或非表达式。举例将F=ABD+AD+BD+ABC转换为或非表达式:F=(A+B+D)(B+D)(A+C+D)F=(A+B+D)+(B+D)+(A+C+D)

CD

AB000111100001111001101001100110113.4

逻辑函数门电路的实现逻辑函数经过化简之后，得到了最简逻辑表达式。根据逻辑表达式，就可采用适当的逻辑门来实现逻辑函数。逻辑函数的实现是通过逻辑电路图表现出来的。逻辑电路图是由逻辑符号以及其它电路符号构成的电路连接图。逻辑电路图是除真值表，逻辑表达式和卡诺图之外，表达逻辑函数的另一种方法。逻辑电路图更接近于逻辑电路设计的工程实际。由于采用的逻辑门不同，实现逻辑函数的电路形式也不同。

例如:用逻辑门实现逻辑函数F=AB+AC+BC。

解：可用3个与门和1个或门，连接成先“与”后“或”的逻辑电路。

F=AB+AC+BC=

若用4个与非门实现该逻辑函数在所有基本逻辑门中，与非门是工程实际中大量应用的逻辑门，单独使用与非门可以实现任何组合的逻辑函数。例：已知某电路的输入A、B、C及输出F波形如图所示，试分析该电路的逻辑功能，（1）用与非门画出其等效的逻辑电路，（2）用或非门画出其等效的逻辑电路。解：1)在波形图标出对应的逻辑值

2)写出逻辑表达式并化简

000010101111110100000010010011011000101011110