专题15三元一次方程组及其解法与综合与实践（3个知识点3种题型1个易错点）

专题15三元一次方程组及其解法与综合与实践（3个知识点3种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.三元一次方程组的概念知识点2.三元一次方程组的解法（难点）知识点3.列三元一次方程组解应用题（难点）【方法二】实例探索法题型1.选择合适的消元法解三元一次方程组题型2.三元一次方程组的实际应用【方法三】差异对比法易错点：两次消去的未知数不同，导致解方程无法进行【方法四】成果评定法【学习目标】了解三元一次方程组的概念。会解简单的三元一次方程组。通过探索解三元一次方程组的过程，进一步了解“消元”思想，体会“化未知为已知”的化归思想在数学中的应用。能用三元一次方程组解决实际问题，培养应用数学的能力，体会数学与实际生活的联系。【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.三元一次方程组的概念方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。知识点2.三元一次方程组的解法（难点）【例1】（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）已知方程组，则的值是（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】原方程组左右两边同时相加后再两边同时除以2可以得解．【详解】解：原方程组左右两边同时相加可得：∴故选：A．【点睛】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握等式的基本性质及方程的变形是解题关键．【变式1】已知方程组的解满足方程，则．【答案】【分析】解出已知方程组中x，y的值代入方程即可．【详解】解：∵，解得：，代入方程，得，解得：，故答案为：【点睛】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解．方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，叫三元一次方程组．通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．【变式2】解下列方程组(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，再求解即可；（2）由得：④，由得：⑤，由得：，再分别求解y，z即可．【详解】（1）解：，得，解得，把代入②，得，解得，故方程组的解；（2）由得：④由得：⑤由得：，∴，把代入①得，把代入③得，所以方程组的解为【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，掌握二元一次，三元一次方程组的解法步骤是解本题的关键．知识点3.列三元一次方程组解应用题（难点）【例2】（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考阶段练习）一个三位数，各个数位上的数字互不相同，若百位数字与个位数字的差与十位数字的积等于4，且百位数字的两倍与十位数字的和能被6整除，则满足条件的三位数的最大值为．【答案】【分析】这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z．根据“百位数字与个位数字的差与十位数字的积等于4”建立方程，结合正整数的特点与百位数字的两倍与十位数字的和能被6整除，进行分析，从而可得答案.【详解】解：这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z．∴，且，，，，，都为正整数，，，∴，或，或，，当时，能被6整除，此时不符合题意，舍去，当时，能被6整除，∴或或，解得：（舍去）或或，∵，∴或，此时这个三位数为或，当时，能被6整除，∴或或，解得：（不符合题意舍去）或（不符合题意舍去）或，∵，∴，此时这个三位数为，∴满足条件的三位数的最大值为；故答案为：【点睛】本题考查的是数的整除，三元方程的应用，理解题意，设出未知数，确定相等关系建立方程是解本题的关键.【变式】1.（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）请认真观察，动脑子想一想，图中的“？”表示的数是（

）A．70 B．160 C．240 D．420【答案】A【分析】设一个小熊为，一个球为，一双鞋为．根据题意可得，求解即可得到答案．【详解】设一个小熊为，一个球为，一双鞋为．根据题意，得，得．

组成方程组，得．解得．将代入，得．解得．原方程组的解为．．故选：A．【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用，能根据题意得到三元一次方程组是解题的关键．【方法二】实例探索法题型1.选择合适的消元法解三元一次方程组1.（2023·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）解方程组：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）用加减消元法先算出x的值，然后代入计算y即可；（2）先化简方程组，然后用加减消元法算出x的值，代入计算y值即可；（3）先将后边两个方程相加，得到一个和x，y相关的方程，在和第一个方程联立求解x，y，在代入求z即可．【详解】（1），可得：，解得：，将代入可得：，∴原方程组的解是；（2）化简原方程组可得：，可得：，解得：，将代入可得：∴原方程组的解是；（3），可得：，可得：，解得：，将代入可得：，将，代入可得：，∴原方程组的解是：．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和三元一次方程组，选择合适的消元法解方程是解题的关键．题型2.三元一次方程组的实际应用2.（2023·浙江宁波·七年级统考阶段练习）某汽车从A地驶向B地，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶千米，则11：20时距离B地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶千米，则11点到达，若每分钟行驶a千米，则11：20时已经超过B地30千米．则A、B两地的路程是千米．【答案】【分析】设A、B两地的路程是x千米，改变前的出发时间为m，改变后的出发时间为n，根据题意列出三元一次方程组，解方程组求出x的值即可．【详解】解：设A、B两地的路程是x千米，改变前的出发时间为m，改变后的出发时间为n，由题意得：，由①得：，把代入②得：⑤，由③得：，把代入④得：⑥，⑤＋⑥得：，解得：，把代入⑤得：，解得：，即A、B两地的路程是千米，故答案为：．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找出合适的等量关系，正确列出方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．3.（2023·河南南阳·七年级统考期中）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，图示距离为110cm；再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置，图示距离为60cm．则桌子的高度等于cm．【答案】85【分析】设木块的长为，宽为，桌子的高度为cm，根据题意，列出方程组进行求解即可．【详解】解：设木块的长为，宽为，桌子的高度为cm，由题意，得：，，得：，∴；故答案为：85．【点睛】本题考查三元一次方程组的应用．解题的关键是正确的识图，准确的列出方程组．4.（2023·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）关于x的代数式，当时，其值为；当时，其值为3；当时，其值为35；(1)求a，b，c的值(2)当时，求代数式的值．【答案】(1)，，(2)16【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的三元一次方程组，进行计算即可解答；（2）根据（1）中算出的a，b，c，得到代数式，然后令代入计算即可．【详解】（1）解：由题意得：，得：，得：，得：，得：，解得：，把代入④得：，解得：，把，代入①得：，解得：，∴原方程组的解为：，（2）当时，，∴的值为16．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键．【方法三】差异对比法易错点：两次消去的未知数不同，导致解方程无法进行1.（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）若关于，的方程组的解，互为相反数，求的值【答案】【分析】根据已知条件，互为相反数知，然后将代入原方程组，转变为二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：，互为相反数，，即，将代入原方程组，，整理可得，，得，，即，将代入②得，．【点睛】本题考查了三元一次方程组，加减消元法解二元一次方程组，相反数的应用，解答此题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2021·广东中山·七年级校考期中）若二元一次方程，，有公共解，则k的取值为（

）A．3 B．3 C．4 D．4【答案】D【分析】先利用方程和组成方程组，求出x、y，再代入求出k值.【详解】由题意，得：解得：将代入中，得：，解得：.故选D.【点睛】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单.2．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支，共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】设铅笔的单件为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，根据题意列方程解方程即可解答．【详解】解：设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元，根据题意可得，由②①得，，由②①得，，由⑤④③得，，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了利用三元一次不定方程组解实际问题的运用，熟练三元一次方程组的解法是解题的关键．3．（2023·江西上饶·七年级统考期末）某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，2本日记本，共元；若购买9支铅笔，5块橡皮，3本日记本，共元．则购买4支铅笔，4块橡皮，4本日记本，需要的钱数为（

）A．元 B．元 C．元 D．不能确定【答案】B【分析】设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据题意，得出，解之，得出，进而得出，即可得出答案．【详解】解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据题意，可得：，由，可得：，∴，∴购买4支铅笔，4块橡皮，4本日记本，需要的钱数为元．故选：B．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在理清题意，正确得出方程组．4．（2022·湖南衡阳·七年级衡阳市第十五中学校考期末）三元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用加减消元法解答，即可求解．【详解】解：，得：，即④，得：，得：，得：，则原方程组的解为：．故选：C【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的解法是解题的关键．5．（2022·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）设，则（

）A．12 B． C． D．【答案】C【分析】根据方程②得到，结合方程①可得，由此即可得到答案．【详解】解：由②得，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，正确求出x、y之间的关系式是解题的关键．6．（2022·浙江宁波·七年级统考期末）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经》里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用个钱买只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，公鸡的只数不可能是（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求解．【详解】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得，，整理得：，，，且都是自然数，，，是7的倍数，，7，14，21，，18，11，4；共有4种情况：①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只；④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只．故小鸡的只数不可能是故选：【点睛】本题考查列三元一次不定方程解古代数学问题的运用，不定方程组的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键．7．（2022·七年级单元测试）如果方程组的解使代数式的值为10，那么k的值为（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k．【详解】解：，得：，得：，解得：，把代入①得：，解得：，把代入③得：，解得：，∴原方程组的解为，把代入得：，解得：．故选：A．【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用．8．（2023·福建泉州·七年级泉州五中校考期中）有A、、三把刻度尺，它们的刻度都是从0到30个单位（单位长度各不相同），设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计，现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度．已知用尺量度，得A尺比尺长6个单位；用A尺量度，得尺比尺长10个单位；则用尺量度，A尺比尺（）A．长15个单位 B．短15个单位 C．长5个单位 D．短5个单位【答案】A【分析】设A、、三把刻度尺的单位长度分别为x、y、z，则A、、三把刻度尺的长度分别为、、，根据等量关系列出，得出，即可得出．【详解】解：设A、、三把刻度尺的单位长度分别为x、y、z，则A、、三把刻度尺的长度分别为、、，根据题意得：，整理得：，得：，∴，，∴用尺量度，A尺比尺长15个单位，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组，化简得出．9．（2023·福建福州·七年级统考期末）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图1，有，在图2中，若的值为，则的值为（

）A． B． C．1 D．任意实数【答案】C【分析】根据新定义可得，即可求解．【详解】解：由题意得，整理得：②③得：，将①代入上式得：，解得：，故选：C．【点睛】本题考查了新定义，解三元一次方程组．理解新定义是解题的关键．10．（2023·江苏南通·七年级启东市长江中学校考阶段练习）已知，，都不为零，且，则式子的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把z看作是常数，再解二元一次方程组可得，，再代入代数式求值即可．【详解】解：，得：，∴，把代入②得：，∴，∴；故选A【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，求解代数式的值，把其中一个未知数看作是常数，解方程组是解本题的关键．二、填空题11．（2023上·河南平顶山·八年级统考期末）关于的二元一次方程组，若，则．【答案】1【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出m的值．【详解】解：解方程组①②得，∵，∴解得．故答案为：1．【点睛】本题考查了解含参数的二元一次方程组，运用三元二次方程组的知识，解出m的值是解题的关键．12．（2023·浙江金华·七年级统考期末）若同时满足：，，，则．【答案】【分析】先由得，，再根据得，进而即可解答．【详解】解：，得，，，得，，∵，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查了三元一次方程的特殊解法，已知式子的值求代数式的值，掌握三元一次方程的特殊解法是解题的关键．13．（2023·福建福州·七年级校考期末）若且，则的值是．【答案】【分析】已知两式相减就将系数都化为2，两边除以2即可得出结果．【详解】解：得，故答案为：．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将系数化为相同，便于整体计算．14．（2022·福建泉州·七年级校考期中）若同时满足：，，，则；【答案】【分析】利用加减消元法求出x，y，z的值，再代入计算即可．【详解】解：，，，得：，∴，得：，得：，得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．三、解答题15．（2023·青海西宁·七年级校考期中）解下列方程组：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组，即可求解；（2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解；（3）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解；（4）根据加减消元法解三元一次方程组，即可求解．【详解】（1）解：，①代入②得，，解得：，将代入①得，，∴原方程组的解为：；（2）解：，①②得，，解得：，将代入②得，，解得：，∴原方程组的解为：；（3）解：，，得，解得：，将代入①得，，解得：，∴原方程组的解为：；（4）解：，得，④，得，，解得：，将代入①得，解得：，将代入②得，解得：，∴原方程组的解为：．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组，熟练掌握消元的方法是解题的关键．16．（2022上·上海杨浦·七年级上海同济大学附属存志学校校考开学考试）解方程（组）：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤解方程即可；（2）利用加减消元法解方程组即可．【详解】（1）解：，原方程去分母得：，去括号得：，移项，合并同类项得：，系数化为1得：；（2）解：，得：得：，解得：，把代入③，解得：，把代入②，解得：，方程组的解是．【点睛】本题考查解一元一次方程及解三元一次方程组，熟练掌握解方程及方程组的方法是解题的关键．17．（2023上·七年级单元测试）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，求，，的值．【答案】【分析】根据题意得出与相等，与相等，与相等，进而组成方程组求出答案．【详解】解：由题意可得：，解得：．【点睛】本题考查了正方体的展开图，三元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．18．（2023·福建泉州·七年级校考期中）在等式中，当，1，3时的值分别是，0，，根据上述条件解答下列问题．(1)=_______；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）将，1，3，，0，分别代入等式，得到，解三元一次方程组即可；（2）根据（1）中求出的的值，代入计算即可．【详解】（1）∵当，1，3时的值分别是，0，，∴，解得，故答案为：；（2）∵，∴．【点睛】本题考查了解三元一次方程组和求代数式的值，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．19．（2023·浙江宁波·七年级校联考期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）．(1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？甲乙丙每辆汽车能装的吨数21每吨蔬菜可获利润（百元）574(2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬架共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润．【答案】(1)装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆(2)安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元【分析】（1）设装运乙种蔬菜的汽车为辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为辆、辆、辆，可以得到出，即可得，根据、、都为自然数，可得为3的倍数，结合，可得或或，问题随之得解．【详解】（1）解：设装运乙种蔬菜的汽车为辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆．列方程：，解得．即．答：装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆；（2）解：设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为辆、辆、辆，则，得：，∴，∴．∵、、都为自然数，∴为3的倍数，又∵，∴或或，∴或或，当时，利润为：（元），当时，利润为：（元），当时，利润为：（元），由上可知，最大利润为元．答：安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及三元一次方程组的应用，明确题意，正确列出方程，是解答本题的关键．20．（2023·云南曲靖·七年级统考期末）在等式中，当时；当时；当时，求a、b、c的值．【答案】【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：据题意得，解得【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值，得到方程组的解．21．（2023下·浙江嘉兴·七年级统考期末）某农场欲销售甲、乙两种苹果，甲种苹果每箱重千克，乙种苹果每箱重千克．已知箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元，箱甲种苹果和箱乙种苹果共售价元．(1)分别求甲、乙两种苹果每箱的售价；(2)该农场欲租车把苹果运往外地某客户，每辆车能运货千克（假设恰好能装满），若该客户购买的甲、乙两种苹果的总售价为万元，则农场需租几辆车才能运完？【答案】(1)甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元(2)【分析】（1）设甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元，根据题意列方程组求解即可；（2）设甲苹果购买为箱，乙苹果购买为箱，需要租用辆车运输苹果，根据题意列方程即可推得，求解即可得到答案．【详解】（1）解：设甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元，，解得，故甲苹果每箱的售价为元，乙苹果每箱的售价为元；（2）解：设甲苹果购买为箱，乙苹果购买为箱，需要租用辆车运输苹果，则，整理得：．整理得：，故，解得：，故农场需租辆车才能运完．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程的应用，根据车辆运输的总质量和购买苹果的总售价进行列式求解是解题的关键．22．（2023·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）关于的二元一次方程组(1)是否存在的值，使方程组的解为．若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．(2)当的值互为相反数时，求的值．(3)当取不同的值时，代数式的值是否为定值．若是定值，请求出改定值；若不是定值，请说明理由．【答案】(1)不存在，理由见解析(2)存在，的值为8(3)代数式的值为定值【分析】（1）将分别代入两个方程，求出的值再对比即可得出答案；（2）根据题意可知，再和联立，求解即可得出答案；（3