2022年高考数学一轮复习 44 平面向量基础知识及典型例题（解析版）

专题44平面向量基础知识及典型例题（解析版）

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向

向量平面向量是自由向量

量的长度（或称模）

零向量长度为殳的向量；其方向是任意的记作0

单位向量长度等于1个单位的向量非零向量”的单位向量为啮

平行向量方向相同或相反的非零向量

____________________——_________________o与任一向量平行或共线

共线向量方向相同或相反的非零向量乂叫做共线向量

两向量只有相等或不等，不能

相等向量长度相等且方向相同的向量

比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

1.已知石都是单位向量，那么a=6一定成立吗？为什么？

1.不一定成立，理由见解析

【分析】

根据单位向量的定义可判断.

【详解】

解：£=后不一定成立.

•.•单位向量是指模为1的向量，当否都是单位向量时，其方向不一定相同，

£=万不一定成立.

【点睛】

本题考查单位向量的概念的理解，属于基础题.

2.已知。，E,尸分别为△48C各边A8,BC,C4的中点，以图中字母为始点或

终点，分别写出与向量瓦，EF，而相等的向量.

11

A

2.DE=AF=FC；EF=BD=DA；FD=CE=EB

【分析】

根据几何性质得到向量之间的关系.

【详解】

解：：D,E,尸分别是aABC各边的中点，

DF//BC.DF=-BC,EF//AB,EF^-AB.DF//AC,DF=-AC

222

,DE=AF=FC•EF-BD=DA；FD=CE=EB-

【点睛】

本题考查向量相等的判断，属于基础题.

3.如图所示，。是正六边形ABCOE尸的中心，以图中字母为始点或终点，分别写

出与向量函，0B，玩相等的向量.

3.OA=DO=EF=CB，OB=EO=FA=DC<OC=FO=ED=AB

【分析】

根据相等向量的定义：方向相同，大小相等进行判断；

【详解】

22

解：因为两个向量相等，只要方向相同大小相等即可，因此

砺=加=丽=丽,

OB=EO=FA^DC

OC=FO=ED=AB

【点睛】

本题考查相等向量的识别，属于基础题.

4.指出图中，哪些是单位向量.

【分析】

根据单位向量的概念：模（长度）为1的向量即为单位向量，解答.

【详解】

uun

解：不难看出，：卜血,|司=2,同=1,W=i,而=i

AB=if

因此单位向量有：AB-CD'a-b-

【点睛】

本题考查单位向量的概念，属于基础题.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

33

力，(1)交换律：

求两个向量和的运aa+b=b+a.

加法三角形法则

算(2)结合律：

a(a+b)+c=a+S+c).

平行四边形法则

求a与的相反向

减法量一方的和的运算a—b=a+(—b)

a

叫做a与b的差三角形法则

(1)1加=|2||a|；

A(//a)=(A/z)a；

求实数2与向量a(2)当2>0时,为的方向与a的方

数乘

的积的运算向相同;当后0时，加的方向与

2(。+6)=7。+劝

a的方向相反;当2=0时，〃=0

5.如图，在下列各小题中，已知向量［、b，分别用两种方法求作向量£+况

5.见解析

【分析】

将B的起点移到£的终点或将两个向量的起点移到点A,利用三角形法则或平行四

边形法则作出£+九

【详解】

将B的起点移到£的终点，再首尾相接，可得Z+B；

将两个向量的起点移到点A,利用平行四边形法则，以川、W为邻边，作出平行

四边形，则过点A的对角线为向量£+九

____UUU11

如图所不,AB=a+b-

44

(4)

【点睛】

本题考查平面向量加法的几何意义,考查数形结合思想，属于基础题.

6.如图，在各小题中，已知£出，分别求作£-B

------------»■

bb

b------A

(1)(3)(4)

6.见解析

【分析】

将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量.

【详解】

55

将。出的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量,

如图，BA=a-b^

(3)

【点睛】

本题考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想，属于基础题.

7.化简下列各式：

⑴MB+AC+BM；

⑵AB+BC-AD^

⑶AB+MB+BO+OM^

(4)OA-OD+AD；

⑸AB-AD-DC^

(6)AB-AC+BD-CD-

7.(1)AC；(2)DC-(3)AB<⑷(j:(5)CB；(6)().

【分析】

根据向量的加减法法则计算.

66

【详解】

(1)MB+AC+BM=(BM+MB)+AC=O+AC=AC.

(2)AB+BC-AD=AC-AD=DC^

(3)J&A=(AB+BO)+(OM+MB)=AO+OB=AB；

⑷OA-OD+Al5=OA+AD-Ob=OD-Ob=Q<

(5)AB-AD-DC=AB-(AD+DC)AB-AC=CB

(6)原式=(而一次)+丽—丽=(而+丽)一函=丽—丽=6.

【点睛】

本题考查向量的加减法法则，掌握向量的运算法则是解题关键.

8.计算：

(1)(-3)x42；

(2)3(a+。)—2(a—/?)—a；

(3)(2£+3万一次)一(3£—2万+2).

8.(1)一12a；(2)5万；(3)—。+5万一2c.

【分析】

根据向量的加减运算和数乘运算法则运算即可.

【详解】

(1)原式=(―3x4)。=一12。；

(2)原式=3石+3万一2£+*一一=5万;

⑶原式=2a+35—c-3a+2B-C=-Q+5B-2C.

【点睛】

77

本题考查向量的加减运算和数乘运算，属于基础题.

9.如图，解答下列各题:

(1)用々,2,e表示加；

(2)用瓦c表示瓦；

(3)用⑦瓦e表示配;

(4)用表示沅.

9.(1)DB-d+e+a-(2)DB=-b-c-(3)EC=e+a+b-(4)

EC=­c-d-

【分析】

根据图形，利用向量的加法与减法法则，即可得到答案.

【详解】

由题意知，丽=£，BC=b'①=2，诙=2，丽=工，则

(1)DB=DE+EA+AB^d+e+a-

(2)DB=CB-CD=-BC-CD=-b-c-

⑶EC=EA+AB+~BC=e+a+b-

(4)EC=-CE=-(CD+DE)=-c-d.

88

【点睛】

本题考查向量加法与减法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.

10.化简：

(1)2(a-b)+3(a+b);

1一1一

(2)-(a+b)+-(a-b).

22

10.⑴54+5(2)a

【分析】

根据向量数乘运算律计算.

【详解】

(1)2(a-b)+3(a+h)=2a-2b+3a+3h-5a+h;

(2)-(a+b')+—(a-b)=—a+—b+—a-—b=a.

222222

【点睛】

本题考查向量的数乘运算律.掌握向量数乘运算律是解题关键.

3.共线向量定理

向量与力共线，当且仅当有唯---个实数2,使

11.如图，OA，砺不共线，且丽=/丽QeR),用丽，砺表示丽.

11.OP=(i-t)OA+tOB

99

【分析】

根据向量的三角形法则可得S?=OA+AP.再根据AP=tAB(teR)得

加=35+f荏，把通用丽，丽表示出来即可。

【详解】

解：因为Q=r而，

UUUULIUUU

所以OP=QA+AP

=OA+tAB

=OA+t(OB-OA)

=OA+tOB-tOA

=(l-t)OA+tOB.

【点睛】

本题主要考查了向量的三角形法则，属于基础题。

4.平面向量基本定理

如果右、&是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量«,直

且只有一对实数,、22，使a=21ei+%2e2.

其中，不共线的向量4、e?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

12.设两个非零向量£与行不共线.

Innnrr

UUU11UUUli1/x1\

⑴若A5=a+b，BC=2a+Sb>C0=3(a—。)，求证：A,B,°三点共线.

(2)试确定实数k,使Q+B和£+Q反向共线.

12.(1)见解析(2)k=—l

【分析】

(1)运用向量共线定理，证得通与丽共线，即可得证：

1010

(2)由题意可得存在实数4,使k7+区=%(£+左与，展开后，运用方程思想，

即可得到所求值.

【详解】

UUU11UL1U11八/r，\

(1)证明：：A3=a+8，8C=2a+8〃，8=3(。一人)，

BD=BC+CD=2a+8B+3(a-B)=2a+8b+3a-3b=5^a+b^=5AB.

二通、3/5共线，

又：它们有公共点8,；.A、B、。三点共线

(2).•Z£+B与Z+AB反向共线，，存在实数，(4<°)，使％£+5=4(£+左B)

即ka+b-Aa+Akh>

(Z:-Z)«=(2A：-1)Z?

B是不共线的两个非零向量，

k—Z-A.k—1=0,

上2_「[=o,k=±1,

V2<0,...左=一1

【点睛】

本题考查向量共线定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

13.设两个非零向量q,q不共线，A3=q+e2,BC=2e]+8e2,CD=3(^-e2).

(1)求证:4、B、。共线；

(2)试确定实数%,使丘1+02和共线.

13.(1)证明见解析；(2)A=±l

【分析】

1111

（1）求出而，只需证明通,而共线即可；

（2）根据共线向量的充要条件，建立人的方程关系，即可求解.

【详解】

（1）\-BD=BC+CD=5e^+5e^=5AB:.AB//BD又有公共点3,

，A、B、D共线

（2）设存在实数4使辐+£=〃[+&；）,非零向量，,不共线,

k=A

kA=1

【点睛】

本题考查共线向量定理，考查计算求解能力，属于基础题.

5.平面向量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘及向量的模

设Q=（尤yi）,6=（X2，刃），则a+b=Q]+x2，）”+'2），a-b=（a一应，yi一）2），

（Arj,Api）,\a\=yjx^+y\.

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A（X],yi）,B（X2，>2），则43=（X2—即，物一月），|AB|=4（右一xi>+（»—yi>.

6.平面向量共线的坐标表示

设。=（xi，yi）,b=（x2，>2），其中〃方合勺N一12）“=0.

14.已知a=（1,0）,3=（2,1）.

（i）当火为何值时，4与Z+2B共线；

（2）若丽=2—+3反BC=a+mb,且A,B,。三点共线，求机的值.

【分析】

1212

(1)根据向量共线，应用向量平行的坐标表示求k即可；(2)由已知向量的坐标

表示丽、前,再由A，B,C三点共线结合向量平行的坐标表示求"?的值；

【详解】

(1)Va=(l,O),B=(2,l),

Aka-b=(k-2,-l),a+2h=(5,2)；

,•”方一5与Z+2B共线，

A2(A;-2)-(-l)x5=0,

k=一■-;

2

(2)AB=2a+3b=(8,3),BC=a+mb=(2m+\,ni).

B,C三点共线，

二通//配，即有一8/”=3(2/n+1),

.3

..〃！=一.

2

【点睛】

本题考查了利用向量平行的坐标表示求参数值，首先用已知向量的坐标表示向量

线性组合的坐标，再根据向量平行的坐标公式求参数值；

15.已知向量荏=(sine,cose—2sin。)，CD=(1,2).

(1)已知C(3,4),求。点坐标；(2)若福〃前，求tan。的值

15.(1)(4,6),(2)-

4

【分析】

(1)利用向量的坐标算法可求出。点坐标；

1313

(2)由通〃函，可得8se—2sin6=2sine，化简再利用同角三角函数的关系

可求出tan。的值

【详解】

解：(1)设。点坐标为(x,y),

因为C(3,4),所以诙=(x—3,y-4),

__.[x-3=1(x-4

因为CO=(1,2),所以/°,解得/，

[y-4=2[y=6

所以。点坐标为(4,6),

(2)因为通=(sine,cose-2sin。)，CD=(1,2),且丽〃丽，

所以cose-2sine=2sin。,

sin01

所以cose=4sin。，所以COSOHO，所以tan6='------=一，

cos。4

【点睛】

此题考查向量的坐标运算，考查共线向量的坐标表示，属于基础题

16.已知向量值=(2,0),b-(1,4).

(1)求2M+3B，a-2b；(2)若向量妨+B与@+25平行，求女的值.

16.(1)(7,12),(0,-8).(2)k=；

【分析】

(1)由向量的坐标运算法则进行求解；

(2)先求出向量质+5与@+25的坐标，再由共线的性质列方程可得女的值.

【详解】

解：(1)•.i=(2,0),5=(1,4),

1414

2a+3b=2(2,0)+3(1,4)=(4,0)+(3,12)=(7,12),

a-2b=(2,0)-2(1,4)=(2,0)-(2,8)=(0,-8).

(2)依题意得心+3=(2/,0)+(1,4)=(2女+1,4),

«+2^=(2,0)+(2,8)=(4,8).

•••向量左与£+2区平行，

.•.8(2A:+l)-4x4=0,解得％

2

【点睛】

此题考查门句量的坐标运算，共线向量的性质，属于基础题

7.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为仇则数量MWIcos0叫做a与b的数量积(或

内积)，记作a-Z>=|a||Z>|cos0.

规定：零向量与任一向量的数量积为_Q_.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是a仍=0,两个非零向量a与b平行的充要条件

是a-b^+\a\\b\.

8.平面向量数量积的几何意义

数量积ab等于a的长度⑷与b在a的方向上的投影|Z>|cos0的乘积.

9.平面向量数量积的重要性质

(l)e-a=fl-e=|a|cos0；(2)非零向量a,b,a_Lb0(rb=O；

(3)当a与b同向时,®b=|a|与;当a与》反向时，a-b=~\a^b\,a-a=|«|2.\a\=y[a-a；

(4)cos9=儒^；(5)|a协

10.平面向量数量积满足的运算律

(l)a协="a(交换律)；(2)(Aa)*=A(a-b)=a-(Ab)(A为实数)；(3)(a+b)-c=a-c+b-c.

II.平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量0=(即，%),b—(X2,y2)>则a协=占.及+丫1丫2,由此得到

(1)若@=。，y),则|“|2='+/或依|=、廿+三

(2)设4(xi，)")，8(X2，)2)，则A、8两点间的距离|AB|=|赢|=#(尤2—由]+(以一y1

(3)设两个非零向量a,b,a=(xi，yi),b=(X2,>2)，贝3。_1_60为及+丫1丫2=0.

1515

12.向量在平面几何中的应用

（1）用向量解决常见平面几何问题的技巧:

问题类型所用知识公式表示

CL//办ca=kb=Aj一♦2=0，

线平行、点共线等问题共线向量定理

其中。=（汨，yi）,5=。2，了2）

。_1_:0。仍=00h彳2+丫注2=0,

垂直问题数量积的运算性质

a=（x”）1），6=（x2，＞2），其中a，5为非零向量

夹角问题数量积的定义8$"=而百（。为向量a,"的夹角）

长度问题数量积的定义\a\—y[ai=yjx2+yr,其中a=(x,y)

17.已知W=2,忖=4,）与B的夹角为60°.

（1）计算7伍+6）的值；（2）若7M-防）=0,求实数左的值.

17.（1）8；（2）1.

【分析】

利用平面向量的数量积直接计算即可.

【详解】

（1）a-^a+b^=c^+a-b=4+2x4xcos60°=8,

（2）=0，即“2_%a.5=4_/：x2x4xcos60o=4_4A;=0，

:.k=l.

【点睛】

此题考平面向量的数量积的计算，属于简单题.

18.已知非零向量£,B满足同=2忖，且R-5）JL尻

（1）求公与行的夹角；（2）若|z+q=j值，求

1616

18.⑴(；(2)万

【分析】

rrr

(i)由得小一可小=0,则"_『=o,再结数量积的公式和

|4=2忖可求得£与行的夹角；

(2)由w+q=jiz,得忖+彳=14,将此式展开，把忖=2忖代入可求得结果

【详解】

rrr

(1);(q-B).力=0,

.r丁i*2

・・a-b-b=0，

.Wcos(a,B)-W=0,

•.南=2忖，；.2件cos(Z%件=0,

cos(a,B)=g,

♦.♦/640,乃)，与B的夹角为不

(2)V|a+^|->/14,；.卜+q=14,

V|«|=2|/?|,又由(1)知cos(a4)=；,

,7忸1=14,邛|="

【点睛】

此题考查平面向量的数量积的有关运算，考查计算能力，属于基础题

19.已知同=2,忖=3,在下列情况下，求0+2历仅—B)的值：

1717

(I)a//b^(2)aj_b；(3)£与B的夹角为120。.

19.(1)-8或-20；(2)-14；(3)-17；

【分析】

结合已知条件，由向量数量积的运算律可得0+2坂)0=7彼-14,进而根据

34间不同的关系求值即可.

【详解】

(a+2b)(a-b)=|a|2+a-b-2\b\2=a-b-14,

(1)a//b^>当同向时£%—14=6-14=一8，当£,石反向时

4/^—14=—6—14=—20；

(2)；_|_力时,7很一14=0—14=一14;

(3)。与B的夹角为120。时，a-^-14=2x3xcosl200-14=-17：

【点睛】

本题考查了向量数量积的运算，结合向量不同的位置关系求值，属于简单题.

20.已知向量方=(5,-12),b=(-3,4).

(1)求)与5夹角。的余弦值；(2)若向量M+区与5垂直，求实数，的值.

20.(1)(2)/=—

6511

【分析】

(1)先利用向量数量积的坐标运算及模的运算，再求向量夹角即可；

(2)由向量。+区与汗-5垂直等价于(£+区)•(£—步=()，再求解即可.

【详解】

1818

解：(1)•.•£Z=5x(-3)+(-12)x4=-63jd|=13,|5|=5,

.2=/^=-先

\a\-\b\65

(2),/a+tb=(5,-12)+z(-3,4)=(5-3f,-12+4r),

a-ft=(5,-12)-(-3,4)=(8,-16)

又2+区与垂直，+-5)=()

即8x(5—3。-16x(—12+4f)=0,

4•129

故，=—.

11

【点睛】

本题考查了向量数量积的坐标运算及模的运算，重点考查了向量垂直的充要条件

21.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若旗=(2,4),而=(1,3).

(1)求cosNZXB的值；(2)求筋.而的值.

21.(1)一主叵(2)8

10

【分析】

___________,、…AD-AB

(1)先计算AD=AC—AB=(—1,—1),再利用夹角公式COS/D4B=5^同计

算得到答案.

(2)先计算而=而一方=(—3,—5),再计算丽•亚得到答案.

【详解】

(1)•••四边形45C。为平行四边形，二

AD=^C=AC-A^=(l,3)-(2,4)=(-1,-1)

1919

AD-AB-2-439

：aNW=ppi=j2；/4+ir

10

(2)BZ)=AZ)-AB=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5)

BD-AD=-lx(-3)+(-l)x(-5)=3+5=8.

【点睛】

本题考查门句量的计算，意在考杳学生的计算能力.

22.已知向量a=(-2,1),5=—加=。+3瓦〃=a-防.

(1)若加〃〃，求人的值；

⑵当4=2时，求而与3夹角的余弦值.

22.(1)-3；(2)一工.

5

【分析】

(1)根据向量平行的坐标关系求得k.

(2)根据向量的数量积运算求得夹角.

【详解】

解(1)由题意，得加=(1,—2),〃=(一2—左,1+攵).因为加〃〃，

所以lx(l+k)=-2x(—2—4,解得左=一3.

⑵当左=2时，n=(-4,3).

2020

设正与3的夹角为仇则cos6=，^

_1x(—4)+(—2)x3__2#>

7T2+(-2)2-V(-4)2+32-5,

所以而与“夹角的余弦值为一述.

5

【点睛】

本题考查向量的平行关系和向量数量积运算，属于基础题.

走进高考

一、单选题

I.（2020年全国卷（文科）新课标n）

已知单位向量£,B的夹角为60。,则在下列向量中，与B垂直的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a—2bD.2a—b

1.D

【分析】

根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性

质逐一判断即可.

【详解】

2121

由己知可得：年cos60°=lxlxg=g

A：因为（a+2^）-B=a•后+2石=—+2x1=—^0,所以本选项不符合题意;

B：因为（22+历用=275+石2=2xg+l=2H0,所以本选项不符合题意;

___一一_213

C：因为（a—2力）•匕2。=--2xl=--^0,所以本选项不符合题意;

2I

D：因为（2£—杨.石=2£石一石=2x——1=0,所以本选项符合题意.

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则

这两个平面向量互相垂直这•性质，考查了数学运算能力.

2.（2018年全国理科数学新课标I卷）

在aABC中，AO为8C边上的中线，E为的中点，则丽=

3——1—1一3一

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3—1—1——3—

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

2.A

【分析】

分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得

一1一1一

BE=-BA+-BC,之后应用向量的加法运算法则—三角形法则，得到

22

___一3一1—

—丽+而，之后将其合并，得到跖下助+/。，下一步应用相反向

一3—1一

量'求得从而求得结果.

2222

【详解】

根据向量的运算法则，可得

BE=LBALBD^LBALBC=-BA+-（BA+AC]

2+22+424V7

1一1-1——3—1——

^-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

___3___1___.

所以EB=-AB--AC,故选A.

44

【点睛】

该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中

线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题

的过程中，需要认真对待每一步运算.

3.（2016高考新课标HI,理3）已知向量一域万，"则

A.30°B.45C.60°D.120

3.A

【解析】

DJ.DT1场基C；蜴

试题分析：由题意，得c°s“BC=两百二^一二彳，所以UBC=30。，故

选A.

【考点】向量的夹角公式.

2323

【思维拓展】(1)平面向量0与b的数量积为a.b=|ag|cos8,其中。是。与》

的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：°S-0-19°：；(2)由向量的

数量积的性质知回=匹，闺固，℃”,因此，利用平面

向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题.

4.(2015新课标全国I文科)已知点40,1),3(3,2),向量/=(-4,-3),则向

量觉=

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

4.A

【解析】

试题分析:前=丽+/=(一3,—1)+(-4,-3)=(-7,-4),选A.

考点：向量运算

5.(2015年全国文科数学新课标H)

已知a=(l,—l),b=(—1,2),则(2a+b)-a=()

A.-1B.0C.1D.2

5.C

【解析】

试题分析：由题意可得/=1+1=2户用=-1-2=-3,所以

(2a+b)-a=2a2+a・b=4-3=l.故选C.

考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算.

2424

6.(2014年全国文科数学全国II卷)

设向量端额满足|褊1"初=忑而，|够1-回|=、颌，则国金'=()

A.1B.2C.3D.5

6.A

【解析】

试题分析：因为|磁带到=痴,所以解孤骸毅舜甯尔好^瑜.........

①，又|5-6|=61所以朝-献尸=常-痛;总需凝耍=■.....②，①-②得

“7=4,所以£7=1，故选A.

考点：1.向量模的定义及运算；2.向量的数量积.

7.(2014年全国文科数学新课标I)

设力,瓦/分别为AABC的三边BC,C4,A8的中点，贝!J丽+定=

----11-'

A.ADB.-ADC.-BCD.BC

22

7.A

【解析】

试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在MEF中,

EB=EF+FB=EF+-AB,同理定=方+1=屈+，/,则

22

EB+FC=(EF+-AB)+(FE+-AC)=(-AB+-AC)=-(AB+AC)=AD

22222

考点：向量的运算

8.(2019年全国(文科)新课标I)

2525

已知非零向量ZB满足H=2W，且则［与B的夹角为

71_71-2兀5兀

A.—B.—C.—D.■—

6336

8.B

【分析】

本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化

与化归、数学计算等数学素养.先由0-杨，行得出向量£,坂的数量积与其模的关

系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角.

【详解】

因为（a—所以（a—=万?=0,所以］.石=广,所以

a-b1兀

cose=Ei=；7乔=5,所以Z与B的夹角为二，故选B.

a-W2\b\23

【点睛】

对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公

式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为1°，兀】.

9.（2020年（文科）新课标I）

已知向量a=（2,3）石=（3,2）,则|a—B|=

A.-JiB.2

C.572D.50

9.A

【来源】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标n）

【分析】

2626

本题先计算再根据模的概念求出|。-回.

【详解】

由已知，£一行=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

所以|力|=J-iy+E=0,

故选A

【点睛】

本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的

考查.由于对平面向量的坐标运算