2023年广东省东莞市虎门第三中学中考数学一模试卷

2023年广东省东莞市虎门三中中考数学一模试卷

学校:姓名：班级：考号：

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的

一项）

1.2023的相反数是（）

A•康B.一/C.2023D.-2023

2.2022年东莞市生产总值11200亿元，将11200亿用科学记数法表示为（）

A.1.12x1012B,1.12x1013C.0.112x1013D.11.2x1011

3.一个几何体如图所示，它的左视图是（）

A.

正面

B-□

□

D.m

4.下列运算正确的是()

A.a3-a2=a6B.(%3)3=x6

C.x5+x5=x10D.(—ab)s+(—ah)2=—a3b3

5.如图，直线a〃b,直线，与a,b分别交于点4B,过点4作4c1b

于点C,若41=40。，则42的度数为（）

A.130°

B.40°

C.50°

D.25°

6.2023年2月，某区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31,35,31,34,

30,32,31,这组数据的中位数、众数分别是（）

A.32,31B.31,32C.31,34D.31,31

7.若关于x的一元二次方程（m-l）/—2x+l=0有两个不相等的实数根，则m的取

值范围是（）

A.m<2且m1B.m>2C.m<—2D.m<2

8.如图，4B是。。的直径，若AC=2,NO=60。，则BC

长等于（）

A.4

B.5

C.C

D.2<3

9.如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的

边长为半径的三段等弧组成.已知正三角形的边长为1,则凸轮的周长等

于（）

7T7T

A.§B.C.nD.27r

10.如图，48是半圆。的直径，且/8=4CTH,动点P从点。出

发，沿04-卷TBO的路径以每秒1CM的速度运动一周.设

运动时间为t,S=OP2,则下列图象能大致刻画s与t的关系的

第n卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.（）分）

11.单项式-竽的系数是.

12.因式分解：3/-12=.

（3x—1<x4-3

13.不等式组卜-3/1的整数解为____.

I亍<XTv

14.如图，某校教学楼4C与实验楼BD的水平间距CD=8C

米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部4点的仰角是30。，底部C

点的俯角是45。，贝IJ4C的高度是米（结果保留根号）.

CD

15.如图，正方形ABCD的边长为1,点E是BC上一动点，n

（不与点B,C重合），过点E作EF1AE交正方形外角的平

分线C尸于点尸，交CD于点G,连接AF.下列结论：①ZE=\

EF-,@CF=yT2,BE;③ZJMF=/CEF；④△CEF的\

面积的最大值为:.其中正确的是.（填写正确结论8EC

的序号）

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤）

16.（本小题8.0分）

计算：（兀-2023）°+|-<12|+（j）-1-2sin60°.

17.（本小题8.0分）

先化简，再求值：（1+工）+=，其中X=Q+2.

18.（本小题8.0分）

如图，在口ZBCZ）中，AD>AB.

（1）尺规作图：作DC边的中垂线MN,交4。边于点E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；

（2）连接EC,若NBA。=130。，求乙4EC的度数.

19.（本小题9.0分）

2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推

进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛.为了了解本次知

识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得

到如下两幅不完整的统计图表.

成绩X/分频数频率

60<%

150.1

<70

70<%

a0.2

<80

80<x

45b

<90

90<x

60C

<100

▲频数

(学生人数)“

60।---------------60

50'1______45

40

30

20■15

10M2

060708090100成绩/分

(1)表中a—,b=,c—；

(2)请补全频数分布直方图；

(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学

生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的

概率.

20.(本小题9.0分)

如图，放置在平面直角坐标系中，己知点4(一2,0),B(-6,0),。(0,3),点C在反

比例函数y的图象上.

(1)直接写出点C坐标，并求反比例函数的表达式；

(2)将口4BCD向上平移得到。EFGH,使点尸在反比例函数y=［的图象上，GH与反比例

函数图象交于点M.连结ZE,求4E的长及点M的坐标.

21.(本小题9.0分)

某超市销售4、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比4款保温杯多10元，用1200

元购买B款保温杯的数量与用960元购买4款保温杯的数量相同.

(1)4、B两款保温杯销售单价各是多少元？

(2)由于需求量大，4、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120

个，且4款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，4款保温杯的进价为每个30元，

B款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保

温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

22.(本小题12.0分)

如图，已知AB是圆。的直径，弦CD_LAB,垂足为H,在CD上有点N满足CNC4AN交

圆。于点F,过点F的4C的平行线交的延长线于点M,交4B的延长线于点E

(1)求证：是圆。的切线；

(2)若4C：CD=5：8,AN=37^0.求圆。的直径长度；

(3)在(2)的条件下，直接写出FN的长度.

23.(本小题12.0分)

如图，四边形4BC。中，AD//BC,NB=90。，BC=6,AD=3,/.DCB=30°,点E、

F同时从B点出发，沿射线向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，

以EF为一边在CB的上方作等边△EFG.设E点移动距离为x(0<x<6).

(1)点G在四边形ABC。的边上El寸，%=；点尸与点C重合时，x=；

(2)求出使△DFC成为等腰三角形的x的值；

(3)求4EFG与四边形力BCD重叠部分的面积y与x之间的函数关系式，并直接写出y的最

大值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：2023的相反数是-2023.

故选：D.

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案.

本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义.

2.【答案】A

【解析】解：11200亿=1120000000000=1.12x1012元.

故选：A.

科学记数法的表示形式为axlO11的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看

把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中1<|a|<

10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.【答案】B

【解析】解：从左边看，是一个矩形.

故选：B.

根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

4.【答案】D

【解析】解：4、a3-a2=a5,故A错误；

B、(x3)3=x9,故B错误；

C、x5+x5=2x5,故C错误；

D、(-ab)54-(-ab)2=-a5b5a2b2=-a3b3,故■正确.

故选：D.

根据合并同类项、暴的乘方与积的乘方、同底数幕的除法与乘法等知识点进行作答即可求得

答案.

本题考查了合并同类项，同底数的基的除法与乘法，积的乘方等多个运算性质，需同学们熟

练掌握.

5.【答案】C

【解析】解：如图

・・・AC上b于点C,

:.Z.ACB=90°,

va//b,

・・.Z.ABC=Z1=40°,

・•・Z2=90°-40°=50°.

故选：C.

根据垂直的定义得出N4CB=90°,由平行线的性质得到/ABC=41=40°,由余角的定义

即可得出结论.

此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：••・数据31出现了3次，最多，

众数为31,

•••排序后为:30,31,31,31,32,34,35,

故位于中间位置的数是31,

•••中位数是31.

故选：D.

利用中位数及众数的定义确定答案即可.

本题考查了计算一组数据的中位数、众数的知识，掌握找中位数的时候一定要先排好顺序,

然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求.如

果是偶数个则找中间两位数的平均数是关键.

7.【答案】A

【解析】解：•••关于x的一元二次方程-l)x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，

•••A=b2-4ac=(-2)2—4x(m—l)xl=8—4m>0,

解得：m<2,

m—1H0,

・•・m01,

・,.?n的取值范围是：6<2且小=1.

故选：A.

由关于％的一元二次方程(m-I)%2-2%4-1=0有两个不相等的实数根，可得/>0且6-

1H0,解此不等式组即可求得答案.

此题考查了根的判别式.注意4>0=方程有两个不相等的实数根.

8.【答案】D

【解析】解：•••AB是。。的直径，

^ACB=90°,

v乙D=60°,

BC=\T3AC=2c，

故选：D.

根据圆周角定理得出N4CB=90。，/.CAB=ZD=60°,解直角三角形求出BC即可.

本题考查了圆周角定理和解直角三角形等知识，能熟记圆周角定理是解此题的关键.

9.【答案】C

解：••・△4BC为正三角形，

・•・Z-A=Z,B=Z.C=60°,AB=AC=BC=1,

...彷=父=命=嚅1=9

loU3

根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，

即凸轮的周长=@+部+Z=3=7T.

故选：C.

由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成,

得到44=48=4C=60°,AB=AC=BC=1,然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段

弧长之和即为凸轮的周长.

此题考查了弧长的计算以及等边三角形的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键.

10.【答案】C

【解析】解：利用图象可得出：当点P在半径4。上运动时，S=op2=t2；

在弧AB上运动时，S=0P2=4；

在0B上运动时，s=OP?=(2兀+4—t)2.

故选：C.

在半径4。上运动时，s=OP2=t2；在弧B4上运动时，S=OP2=4；在B0上运动时，s=

0P2=(4兀+4-t)2,s也是t是二次函数；即可得出答案.

此题考查了动点问题的函数图象，能够结合图形正确得出S与时间t之间的函数关系是解决问

题的关键.

11.【答案】一3

【解析】解：单项式-竽的系数是一最

故答案为：-

根据单项式的有关概念解答.

本题主要考查了单项式的系数，正确把握相关定义是解题关键.

12.【答案】3(%+2)(%-2)

【解析】解：原式=3(--4)

=3(x+2)(x-2).

故答案为：3(x4-2)(%-2).

原式先用提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

13.【答案】0,1

【解析】解：由3x—l<x+3得：x<2,

由，^<X—1得：X>—1,

则不等式组的解集为-1<x<2,

所以该不等式组的整数解为0,1,

故答案为：0,1.

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小

小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大;

同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

14.【答案】(8+80)

【解析】解：过点B作BE，4C,垂足为E,

a

CD

由题意得：CE=BD,BE=CD=8，3米，

在ABE中，^ABE=30°,

AE=BE-tan300=8<3x?=8（米），

在RtABEC中，Z.EBC=45°,

•••CE=BE-tan450=8c（米），

AC=AE+CE=（8+8V3）米，

故答案为：（8+8，有）.

过点B作BE1AC,垂足为E,根据题意可得：CE=BD,BE=CD=8c米，然后分别在

Rti^ABE^Rt^BEC^,利用锐角三角函数的定义求出4E和CE的长，从而利用线段的和差

关系进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当

的辅助线是解题的关键.

15•【答案】①②

【解析】解：在4B上取点H,使4H=EC,连接EH,

vZ.HAE+Z.AEB=90°,4CEF+Z.AEB=90°,

•••AHAE=/.CEF,

又•：AH=CE,

•••BH=BE,

A/.AHE=135°,

「CF是正方形外角的平分线，

乙ECF=135°,

•••Z.AHE=乙ECF,

在△AHE和△EC尸中,

Z-HAE=Z.CEF

AH=EC，

/-AHE=乙ECF

.•.△24HF=AECFQ1S4),

•-AE=EF,EH=CF,故①正确；

•・・BE=BH,

・・・EH=UBE,

:.CF=CBE，故②正确；

v^AHE=135°,

・・・4”4E+44E”=45。，

又•・•AE=EF,

:.Z.EAF=45°,

・・・Z.HAE+Z.DAF=45°,

:.Z.AEH=Z.DAF,

vz_AEH=乙EFC,

・•・Z.DAF=Z-EFC,

而乙FEC不一定等于乙EFC,

.••NCAF不一定等于NFEC,故③错误；

MAHE三AECF,

SAAHE=SxCEF，

设AH=x,则SMHE=-(1-%)=-^x2+|x,

当X=凯寸，SMHE取最大值为京

CEF面积的最大值为热故④错误，

故答案为：①②.

在上取点H,使AH=EC,连接EH,然后证明△AGE和△ECF全等，再利用全等三角形

的性质即可得出答案.

本题主要考查正方形的性质和全等三角形的应用，关键是要能作出辅助线EG,构造出全等

的三角形，要牢记全等三角形的性质.

16.【答案】解：原式=l+2，？+2-2x?

=14-2yf~3+2—

=34-V~3-

【解析】利用零指数基的意义，绝对值的意义，二次根式的性质，负整数指数基的意义和特

殊角的三角函数值化简运算即可.

本题主要考查了实数的运算，零指数事的意义，绝对值的意义，二次根式的性质，负整数指

数幕的意义和特殊角的三角函数值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键.

原式=(三白)

17.【答案】解:1+

_x+2_J_

x-2x+2

1

=x^9

当％=y/~3+2时，原式==冷.

V3+2—，J

【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把工的值代入计算即可.

本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

18.【答案】解:(1)如图，直线MN,点E即为所求;

(2)•・•四边形4BCD是平行四边形，

・•・AB//CD,

・•・NA+乙。=180°,

•・・乙4=130°,

・•・Z,D=50°

・・・MN垂直平分线段CD,

・•・ED—EC,

.・・乙D=乙ECD=50°,

:.^AEC=ZD+Z-ECD=100°.

【解析】(1)根据要求作出图形即可；

(2)证明ED=EC,推出N。=4ECO=50。，可得结论.

本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关

键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.

(3)画树状图如下:

开始

3444

共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种,

•・选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为卷=

【解析】

【分析】

(1)用抽取的总人数减去其他三个组的频数得出a的值，再由频率的定义求出b,c即可；

(2)由(1)中求得的a的值，补全频数分布直方图即可；

(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结

果有6种，再由概率公式求解即可.

【解答】

解：(1)由题意得：a=150-15-45-60=30,b=45+150=0.3,u=60+150=0.4,

故答案为:30,0.3,0.4；

(2)补全频数分布直方图如下：

(3)画树状图如下：

开始

手女女女

344z4\

男女女

共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种,

.••选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为尚=

【点评】

本题考查的是频数分布表，频数分布直方图，用树状图法求概率等知识.树状图法可以不重

复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件.

20.【答案】解：(1)•••点4(—2,0),8(—6,0),£>(0,3),

・•・AB=4,DO=3,

•・,四边形是平行四边形,

-CD=AB=4,

•••点C坐标为(-4,3),

•・•点C在反比例函数y=:的图象上.

・••反比例函数的表达式为：y=

JX

(2)•.•口48£'。向上平移得到。后尸6”,

二点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是-6,

•・・点F在反比例函数y=［的图象上,

•••点尸的坐标为(-6,2),

・•・BF=2,

•-AE=2,HD=2,

•••点M的纵坐标H。=5,

点M的横坐标为一?，

.••点M的坐标为(-£,5).

【解析】(1)由点4(一2,0),8(-6,0),0(0,3),得AB=4,DO=3,CD=AB=4,即可求

解点c坐标(-4,3),得反比例函数的表达式为：y=---

(2)。48(7。向上平移得到口EFGH,得点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是-6,由点F在

反比例函数y=5的图象上，得点F的坐标为(一6,2),BF=2,AE=2,HD=2,可得点M的

纵坐标H。=5,即可求解点M的坐标为(一9,5).

本题考查了反比例函数关系式求法，图象上点的坐标特征，平行四边形平移特征，解题关键

是理解对应点平移的距离相等.

21.【答案】解：(1)设4款保温杯销售单价是x元，贝情款保温杯销售单价是Q+10)元，

根据题意得：电2=喘，

xx+10

解得x=40,

经检验，x=40是原方程的解，

：.x+10=40+10=50,

答：A款保温杯销售单价是40元，B款保温杯销售单价是50元；

(2)设这批保温杯的销售利润是w元，购进4款保温杯m个，则购进B款保温杯(120-m)个,

••・4款保温杯的数量不少于8款保温杯数量的一半，

1

m>-(120—m),

解得m>40,

根据题意得：w=(40-30)771+(50-35)(120一m)=-5m+1800,

v—5<0,

w随m的增大而减小，

m=40时，w取最大值，最大值是一5x40+1800=1600(元)，

此时120—m=120—40=80,

答：购进4款保温杯40个，购进B款保温杯80个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利

润是1600元.

【解析】(1)设4款保温杯销售单价是x元，则B款保温杯销售单价是(x+10)元，可得：第=

黑，解方程并检验得4款保温杯销售单价是40元，B款保温杯销售单价是50元；

(2)设这批保温杯的销售利润是w元，购进4款保温杯m个，则购进B款保温杯(120-m)个,

根据4款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，得m>40,

根据题意得：w=(40-30)m+(50-35)(120-m)=-5m+1800,由一次函数性质得购

进4款保温杯40个，购进B款保温杯80个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1600

元.

本题考查分式方程及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式.

22.【答案】(1)证明：连接F。，

•・・CN=AC,

・•・乙CAN=乙CNA,

vAC//ME,

・•・乙CAN=乙MFN,

•・・乙CAN=乙FNM,

・•・乙MFN=乙FNM=乙CAN,

vCD1AB,

・•・乙HAN+乙HNA=90°,

vAO=FO,

・•・Z-OAF=Z.OFA,

/./.OFA+Z-MFN=90°,即4MF。=90。,

・・・EM是圆。的切线；

(2)解：连接OC,

-AC：CD=5：8,设AC=5a,贝"CD=8a,

vCD1AB,

CH=DH=4a,AH=3a,

•・・CA=CN,

:.NH=a,

AN=VAH2+NH2=y/(3a)2+a2=V10a=3、10,

・•・Q=3,AH=3Q=9,CH=4Q=12,

设圆的半径为r,则OH=r-9,

在RtZkOCH中，OC=r,CH=12,OH=r-9,

2

由OC2=CH+OH2得丁2=122+&一刃2,

解得：r=

・•・圆。的直径为25；

(3)•・•CH=DH=12,

：•CD=24,

vAC：CD=5：8,

:.CN=AC=15,

•••DN=24-15=9,

vZ.AFD=Z.ACD,Z.FND=Z.CNA,

••△FNDfCNA,

.FN_DN

••丽一丽’

vAN=3/-10>

FN_9

"15=37^)

9AT10

•••FN=-y—•

【解析】(1)根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质证得

40凡4+乙MFN=90°,即4MF。=90°,即可证得EM是圆。的切线；

(2)设AC=5a,则CO=8a,根据垂径定理得出CH=DH=4a,进而得出4H=3a,HN=a,

根据勾股定理列出AN=VAH2+NH2=CUa=3<7o,即可求得a=3,从而求得AH=

9,CH=12,设圆的半径为r,则。"=r-9,根据0C2=CH2+0H2^r2=122+(r-9)2,

求得半径r,就可以求得直径；

(3)连接DF,通过证得△4CNsADFN,即可求得.

本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.经过半径的外端且垂直于

这条半径的直线是圆的切线.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条

直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径.也考查了勾股定理和三角形相似

的判定和性质.

23.【答案】23

【解析】解：(1)如图1中，作于则四边形是矩形.

图1

"AD=BH=3,BC=6,

CH=BC-BH=3,

在RtADHC中，CH=3,Z.DCH=30°,

DH=CH-tan300=<3

当等边三角形AEGF的高=，耳时，点G想4。上，此时x=2,

当点F与C重合时，BE=^BC=3,此时x=3,

所以点G在四边形4BCD的边上