2023届江苏无锡市重点名校中考数学模拟试卷含解析

2023年中考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.方程=的解为（）

后£

A.x=3B.x=4C.x=5D.x=-5

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是)

x+3>0

3.不等式组《3的整数解有（）

-x>-2

A.0个B.5个C.6个D.无数个

4.如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是（）

C

A.福B•由ffi口.国

5.如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）

6.计算3/尸2/丫2+何3的结果是（）.

A.5dC.6/D.6x4y

7.已知点M、N在以AB为直径的圆O上，ZMON=x°,NMAN=y。，则点（x,y）一定在（）

A.抛物线上B.过原点的直线上C.双曲线上D.以上说法都不对

8.某班7名女生的体重（单位：kg）分别是35、37、38、40、42、42、74,这组数据的众数是（）

A.74B.44C.42D.40

9.如图，已知AB〃CD,DE1AF,垂足为E,若NCAB=50。，则ND的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

10.下列运算中正确的是（）

A.B.a-a2=a2C.(a2)3=a5D.(3a)3=9a3

11.小昱和阿帆均从同一本书的第1页开始，逐页依顺序在每一页上写一个数.小昱在第1页写1,且之后每一页写

的数均为他在前一页写的数加2；阿帆在第1页写1,且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加1.若小昱在某页

写的数为101,则阿帆在该页写的数为何？（）

A.350B.351C.356D.358

12.估计石介于（）

A.0与1之间B.1与2之间C.2与3之间D.3与4之间

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.方程＞/尤+11+12-％=5的根为.

14.分式方程三二」一三的解是

15.因式分解：x2-%-12=.

16.已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S单2、S1,则SQ_sd（填

17.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8,NCBA=30。，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对

称，DF_LDE于点D,并交EC的延长线于点F.下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为26;③当AD=2

时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则AD=2石；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面

积是16G.其中正确结论的序号是.

18.如图，在等腰直角三角形ABC中，NC=90。，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、

点B,且AB=4,则图中阴影部分的面积为（结果保留兀）.

AD3

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转a角，得到矩形AECD,

（2）如图②，当矩形A'B，C。的顶点A，落在CD的延长线上时，求EF的长;

（3）如图③，当AE=EF时，连接AC,CF,求AOCF的值.

20.（6分）列方程解应用题:某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年

增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1600万元.从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长

率为多少?

21.（6分）对x,y定义一种新运算T,规定T（x,y）=竺_±0二（其中a,b是非零常数，且x+y/））,这里等式

x+y

右边是通常的四则运算.

如：T(3,1)="x3-+'x[T(m,-2)=竺二士竺.填空:T(4,-1)=(用含a,b的代

3+14m-2

数式表示)；若T(-2,0)=-2且T(5,-1)=1.

①求a与b的值；

②若T(3m-10,m)=T(m,3m-10),求m的值.

22.(8分)如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB,以BC为直径作。O,交BD于点E,连接CE,过D作

DFAB于点F,ZBCD=2ZABD.

（1）求证：AB是。。的切线;

（2）若NA=60。，DF=求。O的直径BC的长.

23.（8分）如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，NACB=NECD=90。，D为AB边上一点.求证:

△ACE^ABCD；若AD=5,BD=12,求DE的长.

24.（10分）如图，一次函数y=-$E的图象与反比例函数（k>0）的图象交于A,B两点，过A点作x轴的垂

线，垂足为M,AAOM面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.

25.（10分）如图，点A在NMON的边ON上，ABLOM^B,AE=OB,DE_LON于E,AD=AO,0cLOM于C.求

证：四边形A8C£）是矩形；若£>E=3,OE=9,求A3、4。的长.

N

A/\D

OBCM

26.(12分)如图①，二次函数的抛物线的顶点坐标C,与x轴的交于A(1,0)、B(-3,0)两点，与y轴交于点

D(0,3).

(2)如图②，过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为-2,若直线PQ为抛物线的对

称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存

在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图③，连接AC交y轴于M,在x轴上是否存在点P,使以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似？若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

27.(12分)如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30。，看这栋高楼底部C的俯

角为60。，热气球A与高楼的水平距离为120m,求这栋高楼BC的高度.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1,C

【解析】

方程两边同乘(x-1)(x+3),得

x+3-2(x-l)=0,

解得：x=5,

检验：当x=5时，(x-1)(x+3)R0,

所以x=5是原方程的解，

故选C.

2、C

【解析】

试题解析：A,是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

C.既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

故选C.

3、B

【解析】

先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求整数解即可.

【详解】

解不等式x+3>0,得x>-3,

解不等式-xN-2,得在2,

二不等式组的解集为-3VxS2,

二整数解有：-2,-1,0,1,2共5个，

故选B.

【点睛】

本题主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值.一般方法是先解不等式组，

再根据解集求出特殊值.

4、A

【解析】

试题分析：主视图是从正面看到的图形，只有选项A符合要求，故选A.

考点：简单几何体的三视图.

5、B

【解析】

由三视图可知此几何体为圆锥，.•.圆锥的底面半径为3,母线长为5,

•.•圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，

...圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=27rr=2kx3=67r,

.■•圆锥的侧面积=1怔=,、6"5=15加，故选B

22

6、D

【解析】

根据同底数幕的乘除法运算进行计算.

【详解】

3x2y2.x3y2+xy3=6x5y44-xy123=6x4y.故答案选D.

【点睛】

本题主要考查同底数塞的乘除运算，解题的关键是知道：同底数塞相乘，底数不变，指数相加.

7、B

【解析】

由圆周角定理得出NMON与NMAN的关系，从而得出x与y的关系式，进而可得出答案.

【详解】

NMON与NMAN分别是弧MN所对的圆心角与圆周角，

：.ZMAN=-ZMON,

2

1

:.y=-x,

2

二点(x,y)一定在过原点的直线上.

故选B.

【点睛】

本题考查了圆周角定理及正比例函数图像的性质，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.

8、C

【解析】

试题分析：众数是这组数据中出现次数最多的数据，在这组数据中42出现次数最多，故选C.

考点：众数.

9、B

【解析】

试题解析：且NC4B=50°,

；.NECD=50。,

EDLAE,

/CED=9Q。,

.•.在Rt_C£D中，ZD=90°-50°=40°.

故选B.

10、A

【解析】

根据同底数幕的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加；幕的

乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘进行计算即可.

【详解】

解：A、x2vx8=x-6,故该选项正确；

B、a.a2=a\故该选项错误；

C、(a2)W,故该选项错误；

D、(3a)3=27a\故该选项错误；

故选A.

【点睛】

此题主要考查了同底数幕的乘除法、塞的乘方和积的乘方，关键是掌握相关运算法则.

11、B

【解析】

根据题意确定出小昱和阿帆所写的数字，设小昱所写的第n个数为101,根据规律确定出n的值，即可确定出阿帆在

该页写的数.

【详解】

解：小昱所写的数为h3,5,1.........101,...；阿帆所写的数为1,8,15,22.........

设小昱所写的第n个数为101,

根据题意得：101=1+(n-1)x2,

整理得：2(n-1)=100,即n-l=50,

解得：n=51,

则阿帆所写的第51个数为1+(51-1)xl=l+50xl=l+350=2.

故选B.

【点睛】

此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键.

12、C

【解析】

解：；4<5<9,

•*-74<V5<V9»即2<百<3

...估计斯在2〜3之间

故选C.

【点睛】

本题考查估计无理数的大小.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、-2或-7

【解析】

把无理方程转化为整式方程即可解决问题.

【详解】

两边平方得到：13+2J(x+ll)(2—X)=25,

J(x+1l)(2-x)=6,

(x+11)(2-x)=36,

解得x=-2或-7,

经检验x=-2或-7都是原方程的解.

故答案为-2或-7

【点睛】

本题考查无理方程，解题的关键是学会把无理方程转化为整式方程.

14、x=-1.

【解析】

试题分析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

试题解析：去分母得：x=2x-1+2,

解得：x=-1,

经检验X=-1是分式方程的解.

考点：解分式方程.

15-.(x+3)(x-4)；

【解析】

根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解.

【详解】

x2-x-12=(.x-4)(x+3).

故答案为(x-4)(x+3).

16、＞

【解析】

要比较甲、乙方差的大小，就需要求出甲、乙的方差；

首先根据折线统计图结合根据平均数的计算公式求出这两组数据的平均数；

接下来根据方差的公式求出甲、乙两个样本的方差，然后比较即可解答题目.

【详解】

3+6+2+6+4+3

甲组的平均数为:

17

S2=-X[(3-4)2+(6-4)2+(2-4)2+(6-4)2+(4-4)2+(3-4)2]=-,

¥63

4+3+5+3+4+5

乙组的平均数为:

6

12

Sz,2=-X[(4-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=-,

63

X

33

...S单2＞s/

故答案为：＞.

【点睛】

本题考查的知识点是方差，算术平均数，折线统计图，解题的关键是熟练的掌握方差，算术平均数，折线统计图.

17、(D@⑤.

【解析】

试题分析:①连接CD,如图1所示，•••点E与点D关于AC对称，,CE=CD,AZE=ZCDE,VDF±DE,NEDF=90。,

.♦.NE+NF=90°,ZCDE+ZCDF=90°,/.ZF=ZCDF,.\CD=CF,.*.CE=CD=CF,二结论“CE=CF”正确;

DO

图1

②当CD_LAB时，如图2所示，TAB是半圆的直径，.,.NACB=90。，•.,AB=8,ZCBA=30°,.,.ZCAB=60°,AC=4,

BC=4V3.VCD±AB,ZCBA=30°,.*.CD=-BC=2>^.根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB

上运动时，CD的最小值为2jL：CE=CD=CF,.，.EF=2CD..•.线段EF的最小值为4JL；•结论”线段EF的最小

值为26”错误；

D0

图2

③当AD=2时，连接OC,如图3所示，VOA=OC,NCAB=60。，.'.△OAC是等边三角形，...©人=©。，ZACO=60°,

VAO=4,AD=2,/.DO=2,；.AD=DO,/.ZACD=ZOCD=30°,•点E与点D关于AC对称，AZECA=ZDCA,

.\NECA=30。，，NECO=90。，，OCJLEF,TEF经过半径OC的外端，且OCJLEF,，EF与半圆相切，结论“EF

与半圆相切”正确；

ADO

图3

④当点F恰好落在上时，连接FB、AF,如图4所示，\,点E与点D关于AC对称，.\EDJLAC,NAGD=90。,

.*.ZAGD=ZACB,，ED〃BC,/.△FHC^AFDE,AFH：FD=FC：FE,VFC=-EF,.\FH=-FD,/.FH=DH,

VDE/7BC,.*.ZFHC=ZFDE=90°,，BF=BD,AZFBH=ZDBH=30°,/.ZFBD=60°,；AB是半圆的直径,

ZAFB=90°,，NFAB=30。，.\FB=；AB=4,；.DB=4,AD=AB-DB=4,二结论“AD=26”错误;

图4

⑤••,点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，.•.当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与

AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称，；.EF扫过的图形就是图5中阴影部分，.•£阴影

=2SAABC=2X；AC»BC=AC«BC=4x46=16百，二EF扫过的面积为16百，：.结论“EF扫过的面积为16百”正确.

故答案为①③⑤.

考点：1.圆的综合题；2.等边三角形的判定与性质；3.切线的判定；4.相似三角形的判定与性质.

18、4-n

【解析】

由在等腰直角三角形ABC中，NC=90。，AB=4,可求得直角边AC与BC的长，继而求得AABC的面积，又由扇形

的面积公式求得扇形EAD和扇形FBD的面积，继而求得答案.

【详解】

解：•.•在等腰直角三角形ABC中，NC=90。，AB=4,

:.AC=BC=AB«sin45°=三AB=2也，

1

SAABC=-AC«BC=4,

2

・・,点D为AB的中点，

:.AD=BD=*-AB=2,

2

•'•Ssi彩EAD=S«»FBD=——-X7TX22=—7t,

3602

»,.S阴影=SAABC_S扇彩EAD-Sa®FBD=4-n.

故答案为：4-n.

【点睛】

此题考查了等腰直角三角形的性质以及扇形的面积.注意S用*SAABC-S^EAD-S面彩FBD.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)DD，=LAT=4-百；(2)—；(1)—.

【解析】

(1)①如图①中，•••矩形A8CZ)绕点C按顺时针方向旋转a角，得到矩形“BCTT,只要证明△是等边三角形

即可解决问题；

②如图①中，连接C尸，在RtACDN中，求出尸。，即可解决问题；

(2)由△可推出。尸的长，同理可得△CDEszXCV/V,可求出OE的长，即可解决问题；

(1)如图③中，作尸G_LCB，于G,由SAACF=-MC«CF=-•AF-CD,把问题转化为求只要证明NACF=90。,

证明ACAOs△以c,即可解决问题；

【详解】

解：(1)①如图①中，•••矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转a角，得到矩形A'BO,

/.A,D,=AD=BC=BC=4,CD,=CD=A,B,=AB=1ZA,D,C=ZADC=9O°.

Va=60°,...NDCD，=60。，是等边三角形，

.,.DDf=CD=l.

②如图①中，连接CF.•；CD=CD，，CF=CF,ZCDF=ZCDT=90°,

.,.△CDF^ACDF,AZDCF=ZD'CF=-ZDCD^IO0.

*aD'F

在RtACDT中，VtanZD,CF=-------,

CD'

：.»F=6,，A'F=A'D'-DF=4-6.

(2)如图②中，在R3A，CD，中，,.•ND，=90。，

.'.A'C2=A'D'2+CD'2,：.AC=5,A'D=2.TNDA'F=NCA'D',NA'DF=ND'=90°,

2DF

.•.△A'DFSAA'D'C,:.

A'D'~CD'43

CDED.3ED

同理可得△CDEs^CB'A，，:.

CB'A'B''''丁丁

915

:.ED=-，,EF=ED+DF=—.

44

(1)如图③中，作FGJ_CB，于G.•.,四边形A，B，CD，是矩形，/.GF=CD=CD=1.

VSACEF=-«EF«DC=-・CE・FG，

22

.*.CE=EF,VAE=EF,/.AE=EF=CE,.,.ZACF=90°.

ACAD

VZADC=ZACF,NCAD=NFAC,.'.△CAD^AFAC,:.

AF-AC

.,.AC2=AD»AF,，AF=—.

4

VSAACF=-»AC»CF=-•AF»CD,

22

20、从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.

【解析】

设年平均增长率为x,根据：2016年投入资金x(1+增长率)2=2018年投入资金，列出方程求解可得.

【详解】

解:设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.

根据题意得：1280(1+x)2=1280+1600.

解得了1=0.5=50%,必=-2.5(舍去)，

答:从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，由题意准确找出相等关系并据此列出方程是解题的关键.

,、16a+Z?…

21、(1)—-—；(2)①a=l,b=-l,②m=2.

【解析】

(1)根据题目中的新运算法则计算即可；

(2)①根据题意列出方程组即可求出a,b的值；

②先分别算出T(3m-3,m)与T(m,3m-3)的值，再根据求出的值列出等式即可得出结论.

【详解】

解：⑴T(4,-1)=aX42+bX(-1)2

4-1

二16a+b；

故答案为粤目；

(2)①TT(-2,0)=-2且T(2,-1)=1,

导2

25a+b

-6

4

a=l

解得

b=-l

②解法一:

"."a=l,b=-1,且x+y和,

22

•T<x-y(x+y)(x-y)

x+yx+y

AT(3m-3,m)=3m-3-m=2m-3,

T(m,3m-3)=m-3m+3=-2m+3.

VT(3m-3,m)=T(m,3m-3),

A2m-3=-2m+3,

解得，m=2.

解法二：由解法①可得T(x—产x-y,

当T(x,y)=T(y,x)时f

X-y=y-X,

・'・x=y・

VT(3m-3,m)=T(m,3m-3),

；・3m-3nm,

:.m=2.

【点睛】

本题关键是能够把新运算转化为我们学过的知识，并应用一元一次方程或二元一次方程进行解题..

22、(1)证明过程见解析；(2)473

【解析】

(1)根据CB=CD得出NCBD=NCDB,然后结合NBCD=2NABD得出NABD=NBCE,从而得出

ZCBD+ZABD=ZCBD+ZBCE=90°,然后得出切线；(2)根据RtAAFD和RtABFD的性质得出AF和DF的长度,

然后根据4ADF和白ACB相似得出相似比，从而得出BC的长度.

【详解】

(1)VCB=CD

.*.ZCBD=ZCDB

又•.,/CEB=90°

:.ZCBD+ZBCE=ZCDE+ZDCE

二ZBCE=ZDCE且NBCD=2NABD

二NABD=NBCE

ZCBD+ZABD=ZCBD+ZBCE=90°

.,.CBJ_AB垂足为B

又...CB为直径

；.AB是。O的切线.

(2)VZA=60°,DF=G

.•.在RtAAFD中得出AF=1

在RtABFD中得出DF=3

VZADF=ZACBZA=ZA

/.△ADF^AACB

.AFDF

即_L=立

4CB

解得：CB=4A/3

考点：(D圆的切线的判定；(2)三角函数；(3)三角形相似的判定

23、(1)证明见解析(2)13

【解析】

(1)先根据同角的余角相等得到NACE=NBCD,再结合等腰直角三角形的性质即可证得结论；

(2)根据全等三角形的性质可得AE=BD,NEAC=NB=45。，即可证得△AED是直角三角形，再利用勾股定理即可

求出DE的长.

【详解】

(1),••△ACB和△ECD都是等腰直角三角形

.•,AC=BC,EC=DC,ZACB=ZECD=90°

VZACE=ZDCE-ZDCA,ZBCD=ZACB-ZDCA

ZACE=ZBCD

.,.△ACE^ABCD(SAS);

(2),..△ACB和△ECD都是等腰直角三角形

.,.ZBAC=ZB=45°

VAACE^ABCD

.".AE=BD=12,ZEAC=ZB=45°

:.NEAD=NEAC+NBAC=90。，

.•.△EAD是直角三角形

：.DE=>jAE2+AD2=V122+52=13

【点睛】

解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.

24、⑴==♦(2)(0,今

【解析】

(1)根据反比例函数比例系数k的几何意义得出3对=1,进而得到反比例函数的解析式；

(2)作点A关于y轴的对称点A，，连接A，B,交y轴于点P,得到PA+PB最小时，点P的位置，根据两点间的距离

公式求出最小值A，B的长；利用待定系数法求出直线A，B的解析式，得到它与y轴的交点，即点P的坐标.

【详解】

(1)；反比例函数y==j(k>0)的图象过点A,过A点作x轴的垂线，垂足为M,

•趣|=1，

.

Vk>0,

Ak=2,

故反比例函数的解析式为：yW；

(2)作点A关于y轴的对称点AS连接AB交y轴于点P,则PA+PB最小.

.3(-1,2),最小值A，B=、孚

设直线ArB的解析式为y=mx+n,

则便二:二解止也

I3(口=正

...直线A'B的解析式为y=-：二・「，

I:八

x=0时，y=-；,

••・P点坐标为(°，

【点睛】

本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定PA+PB最小时，

点P的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键.

25、(1)证明见解析；(2)AB,4。的长分别为2和1.

【解析】

(1)RtAABO^RtADEA(HL)得NA08=NOAE,AD//BC.证四边形ABC。是平行四边形，又NABC=90°,

故四边形A5CZ)是矩形；(2)由(1)知RtAA3。丝RtADEA,AB=DE=2.设AZ)=x,贝I]OA=x,AE=OE~OA=9-x.在

222

RtADEA中,由=4。2得：(9-x)+3=x.

【详解】

(1)证明：'：AB±OM^B,DELON于E,

:.ZABO=NDE4=90°.

在RtAABO与RtADEA中，

\Q—A/)

V<ARtADEA(HL).

OB=AE

：.ZAOB=ZDAE.：.AD//BC.

7.,JABLOM,DC±OM,：.AB//DC.

四边形ABCD是平行四边形.

VZABC=90°，,四边形ABCD是矩形；

(2)由⑴知RtA4B0丝RtAOEA,：.AB=DE=2.

设AZ)=x,贝！JOA=x,AE=OE~OA=9~x.

在RtADEA中，由AE2+DE2=AD?得：

(9-X)2+32=X\解得X=5.

：.AD=1.即AB.AD的长分别为2和1.

【点睛】

矩形的判定和性质;掌握判断定证三角形全等是关键.

26、【小题1】设所求抛物线的解析式为：，了=梦#”审丑.，将A(l,0)、B(-3,0)、D(0,3)代入，得

®s===5：..................................................................2分

即所求抛物线的解析式为：;-2x-3.............................................3分

【小题2】如图④，在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称，

在x轴上取一点H,连接HF、HI、HG、GD、GE,贝!|HF=HI...........................①

设过A、E两点的一次函数解析式为：y=kx+b(k邦)，

•点E在抛物线上且点E的横坐标为-2,将x=-2,代入抛物线=-/-二-；，得：=--2

.•.点E坐标为(-2,3)....................................................................................................4分

又：抛物线；=-\二-二、一图象分别与x轴、y轴交于点A(l,0)、B(-3,0)>

D(0,3),所以顶点C(-1,4)

，抛物线的对称轴直线PQ为：直线x=-L［中国教#&~@育出％版网］

•••点D与点E关于PQ对称，GD=GE.....................................................................②

分别将点A(1,0)、点E(-2,3)

代入y=kx+b,得：

二二5,解得屋

过A、E两点的一次函数解析式为：

y=-x+l

.•.当x=0时，y=l

•••点F坐标为(0,1)................................5分

...|匚匚|=2............................................................(3)

又••,点F与点I关于x轴对称,

二点I坐标为(0,-1)

**.)DD|=="+，=N3................................................④

又•.•要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，

,只要使DG+GH+HI最小即可.............................6分

由图形的对称性和①、②、③，可知，

DG+GH+HF=EG+GH+HI

只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小

设过E(-2,3)、I(0,-1)两点的函数解析式为：二=二匚+二八二卜=。，

分别将点E(-2,3)、点I(0,-1)代入二=二二+二,，得：

尸于二/：〃解得：付工子

I-7=-」、_;=一/

过I、E两点的一次函数解析式为：y=-2x-l

・••当x=・l时，y=1；当y=0时，x=5；

.•.点G坐标为(-1,1),点H坐标为(30)

:.四边形DFHG的周长最小为：DF+DG+GH+HF=DF+EI

由③和④，可知:

四边形DFHG的周长最小为二一2G.................................................................7分

【小题3】如图⑤,

地,得:黑骂二

由(2)可知，点A(1,O),点C(-1,4),设过A(1,O),点C(-1,4)两点的函数解析式为:

解得：:二匚1，

过A、C两点的一次函数解析式为：y=-2x+2,当x=0时，y=2,即M的坐标为(0,2)；

由图可知，AAOM为直角三角形，且==：,............8分

要使，AAOM与APCM相似，只要使APCM为直角三角形，且两直角边之比为1:2即可，设P(a,0),

CM=.〃・=底且NCPM不可能为90。时，因此可分两种情况讨

论；............................................................9分

①当NCMP=90。时，CM=£：+『=后,若=g.，则p.i/=24，可求的P(-4,0),则CP=5,