结构化学理解练习之量子力学基本知识题附参备考资料答案解析

_量子力学基础习题一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。精品文档放心下载1102、德布罗意关系式为 ____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值精品文档放心下载_______________。1103、在电子衍射实验中，│ │2对一个电子来说，代表___________________。谢谢阅读1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。感谢阅读1105、一组正交、归一的波函数 1， 2， 3，…。正交性的数学表达式为 ，精品文档放心下载归一性的表达式为 。1106、│ (x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2代表______________________。感谢阅读1107、物理量xpy-ypx的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。感谢阅读1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动，精品文档放心下载(1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________；谢谢阅读(2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________；谢谢阅读(3)体系处于基态时，粒子出现在0─l/2间的概率为_______________；感谢阅读(4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ；感谢阅读(5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱中运动，则其本征函数集为____________，精品文档放心下载本征值谱为_______________________________。谢谢阅读1109、质量为m的粒子被局限在边长为a的立方箱中运动。波函数 211(x，y，z)=精品文档放心下载_________________________；当粒子处于状态 211时，概率密度最大处坐标是感谢阅读________________________；若体系的能量为7h2 ，其简并度是_______________。谢谢阅读4ma21110、在边长为a的正方体箱中运动的粒子，其能级 E=3h2 的简并度是_____，感谢阅读4ma2E'=27h8ma

的简并度是______________。2mm1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为= 1 2 的一维谐振子，其势能为感谢阅读mm1 2V=kx2/2，它的薛定谔方程是_____________________________。感谢阅读1112、1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子精品文档放心下载射线产生的衍射环纹与Cu的K线(波长为154pm的单色X射线)产生的衍射环纹相同，电子的能量应为___________________J。精品文档放心下载1113、对于波函数j、j，其归一性是指 ，正交性是指感谢阅读。ˆ或满足ˆ1114、若算符F满足,则算符F为厄米算符。1115、一个质量为 m的微观粒子在箱长为 a的一维势箱中运动时，体系的势能精品文档放心下载为 ，体系的零点能为 。1116、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动，精品文档放心下载(1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________；精品文档放心下载(2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________；谢谢阅读1117、质量为m的粒子被局限在边长为a的立方箱中运动。波函数 211(x，y，z)=精品文档放心下载_________________________；当粒子处于状态 211 时，概率密度最大处坐标是谢谢阅读________________________；若体系的能量为7h2，其简并度是_______________。4ma21118、对于立方箱中的粒子，考虑E<15h2/(8ml2)的能量范围。在此范围内有个态？在此范围内有 个能级？1119、对氢原子1s态：2在r为_______________处有最高值；精品文档放心下载径向分布函数4r22在r为____________处有极大值；精品文档放心下载电子由1s态跃迁至3d态所需能量为_____________。谢谢阅读1120、对于立方势箱中的粒子，考虑出E15h2的能量范围，在此范围内有个能8ma2级？在此范围内有个状态？二、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内）1201、首先提出能量量子化假定的科学家是：---------------------------( )感谢阅读(A) Einstein (B) Bohr(C) Schrodinger (D) Planck谢谢阅读1202、任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式感谢阅读---------------( )(A)Ehch2(B)E2m2(C)Ee(12.25)2(D)A，B，C都可以1203、下列哪些算符是线性算符 -----------------------------------------------------谢谢阅读( )_(A) d (B)2dx(C)用常数乘 (D)1204、下列函数中(A)coskx (B) e-bx (C)e-ikx (D)ekx2谢谢阅读(1)哪些是d的本征函数；dx---------------------------------------------------------------()(2)哪些是的d2本征函数；dx2-------------------------------------------------------------()(3)哪些是d2和d的共同本征函数。dx2dx-----------------------------------------------()1205、线性算符Rˆ具有下列性质ˆˆˆˆˆR(U+V)=RU+RVR(cV)=cRV式中c为复函数，下列算符中哪些是线性算符？-----------------------------------()AˆU=λU，λ=常数BˆU=U*CˆU=U2DˆU=dUdxEˆU=1/U_1206 、 电 子 自 旋 存 在 的 实 验 根 据 是 ：精品文档放心下载---------------------------------------------------------------( )感谢阅读(A) 斯登--盖拉赫(Stern-Gerlach)实验 (B) 光电效应感谢阅读(C) 红外光谱 (D) 光电子能谱1207、一个在一维势箱中运动的粒子，(1)其能量随着量子数n的增大：------------------------( )谢谢阅读越来越小(B)越来越大(C)不变(2)其能级差En+1-En随着势箱长度的增大：-------------------( )感谢阅读(A)越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变1208、立方势箱中的粒子，具有E=12h2的状态的量子数。nnn是---------()8ma2xyz(A)211(B)231(C)222(D)2131209、处于状态(x)=sinx的一维势箱中的粒子，出现在x=a处的概率为-----精品文档放心下载a4()(A)(a)=sin(·a)=sin=2P=4a442(B)(a)]2=1(C)P=2(a)=1P=[42a4a(D)P=[2(a)]2=1a4a题目提法不妥，所以以上四个答案都不对1210、在一立方势箱中，E7h2的能级数和状态数分别是(势箱宽度为l，粒子质量谢谢阅读4ml2为m)：-----------------------------------------------------------------( )感谢阅读_(A) 5，11 (B) 6，17 (C) 6，6 (D) 5，14 (E)6，14感谢阅读1211、关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选)---------------------------（精品文档放心下载）(A)光电流大小与入射光子能量成正比(B)光电流大小与入射光子频率成正比(C)光电流大小与入射光强度成正比(D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大1212、提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：----------------------------（精品文档放心下载）(A)deBröglie (B)A.Einstein谢谢阅读(C)W.Heisenberg (D)E.Schrödinger谢谢阅读1213、微粒在间隔为1eV的二能级之间跃迁所产生的光谱线的波数v~应精品文档放心下载为：--------------------------------（ ）感谢阅读(A)4032cm-1 (B)8065cm-1精品文档放心下载(C)16130cm-1 (D)2016cm-1精品文档放心下载(1eV=1.602×10-19J)1214、普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的数值是：-------------------（感谢阅读）(A)6.02×10-23尔格 (B)6.625×10-30尔格·秒精品文档放心下载(C)6.626×10-34焦耳·秒 (D)1.38×10-16尔格·秒感谢阅读1215、首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：-----------------（感谢阅读） (A)薛定谔 (B)狄拉克_(C)海森堡

(D)波恩1216、下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：-------------------（谢谢阅读）(Ａ)电子自旋(保里原理)(Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征精品文档放心下载(Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的(Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理感谢阅读1217、描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：----------------------------------（谢谢阅读）(A)由经典的驻波方程推得 (B)由光的电磁波方程推得感谢阅读(C)由经典的弦振动方程导出 (D)量子力学的一个基本假设谢谢阅读1218、一电子被1000V的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相谢谢阅读应的光波应落在什么区域？（A）X光区 （B）紫外区（C）可见光区 （D）红外区1219、由戴维逊－革末的衍射实验，观察某金属单晶（晶面间距d为104pm）上反射，若一级衍射的布拉格角控制为45º，则此实验要用多大的加速电压来加速电子（单位：感谢阅读V）？---()（A）<10（B）25（C）70（D）1501220、一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n，下面论述正确的是？感谢阅读（A）可取任意整数 （B）与势箱宽度一起决定节点数精品文档放心下载_（C）能量与n2成正比例 （D）对应于可能的简并态谢谢阅读三、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画√，错误的题号后画×）感谢阅读1301、根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而只能求其平均值。精品文档放心下载1302、波函数平方有物理意义，但波函数本身是没有物理意义的。谢谢阅读(x，y，z)与1303、任何波函数(x，y，z，t)都能变量分离成(t)的乘积。1304、=cosx，px有确定值，p2x没有确定值，只有平均值。1305、一维势箱中的粒子，势箱长度为l，基态时粒子出现在x=l/2处的概率密度最谢谢阅读小。1306、波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。精品文档放心下载1307、测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准。谢谢阅读1308、光照射到金属表面时，金属中有光电子产生，且照射光的强度越大，电子逸出金感谢阅读属表面的动能越大。1309、量子力学中力学量算符都是线性的、厄米的。1310、在电子的衍射实验中采用单个电子穿过晶体粉末，在足够长的时间后，在屏上得精品文档放心下载到了衍射环纹，这说明单个电子也可以产生波。四、简答题1401、对一个运动速率v<<c的自由粒子，有人作了如下推导：谢谢阅读mv

p

h

hv

Ev

12mvA B C

D E_1结果得出12的结论。问错在何处？说明理由。精品文档放心下载1402、简述一个合格的波函数所应具有的条件？1403、被束缚在0<x<a区间运动的粒子，当处于基态时，出现在0.25a≤x≤0.7a区间谢谢阅读内的概率是多少？1404、一维势箱中一粒子的波函数 n(x)=(2/l)1/2sin(nx/l)是下列哪些算符的本征函数，感谢阅读并求出相应的本征值。（A）pˆ（Ｂ）pˆ（Ｃ）xˆˆ(h/2)2d2（Ｄ）H=2mdx2xx2ˆˆ三个算符中哪个的本征函数？z2pz，2px和2p11406、一维势箱中运动的一个粒子，其波函数为 a2sinnax，a为势箱的长度，试问当感谢阅读粒子处于n=1或n=2的状态时，在0～a/4区间发现粒子的概率是否一样大，若不一谢谢阅读样，n取几时更大一些，请通过计算说明。1407、5cos3θ3cosˆd2cosθd()的本征函数，若是，本征θ是否是算符F2sinθdθdθ2值是多少？1408、下列休克尔分子轨道中哪个是归一化的？若不是归一化的，请给出归一化系数。（原子轨道,,是已归一化的）感谢阅读1 2 3ψ12211b. ψ12241231409、已知一函数f(x)=2e2x，问它是否是pˆ的本征函数？相应的本征值是多少？精品文档放心下载x_1410、有一粒子在边长为a的一维势箱中运动。(1)计算当n=2时，粒子出现在0≤x≤a/4区域中的概率；谢谢阅读(2)根据一维势箱的ψ2图，说明0≤x≤a/4区域中的概率。谢谢阅读五、证明题1501、已知一维运动的薛定谔方程为:[ h2 d2+V（x）]=E82mdx2 1和 2是属于同一本征值的本征函数，证明:d-d=常数211dx2dx1502、试证明实函数2()=(1/)1/2cos2和2’()=(2/)1/2sin2cos都是方程感谢阅读[d2+4]d21503、证明函数x+iy，x-iy和z都是角动量算符Mz的本征函数，相应的本征值是多少？谢谢阅读1504、已知有2n个碳原子相互共轭的直链共轭烯烃的分子轨道能量可近似用一维势阱的能级公式表示为精品文档放心下载Ek=k2h2k=1，2，…，2n8mr2(2n1)2其中，m是电子质量，r是相邻碳原子之间的距离，k是能级序号。试证明它的电感谢阅读子光谱第一吸收带(即电子基态到第一激发态的激发跃迁)波长与n成线性关系。假定一精品文档放心下载个粒子在台阶式势阱中运动，势阱宽度为l，而此台阶位于l/2～l之间。谢谢阅读1505、证明同一个厄米算符的、属于不同本征值的本征函数相互正交。谢谢阅读1506、证明厄米算符的本征值是实数。_1507、已知Aˆ和Bˆ是厄米算符，证明(Aˆ+Bˆ)和Aˆ2也是厄米算符。感谢阅读1508、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数ψ112cosθ是三2维空间中运动的自由粒子（势能V=0）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。精品文档放心下载已知22[1(r2)1(sinθ)12)]。2mr2rrr2sinθθθr2sin2θφ21509、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数谢谢阅读112ψcosθsinθeiφ是在三维空间中运动的自由粒子（势能V=0）的薛定谔方2程的解，并求粒子的能量。已知22[1(r2)1(sinθ)12)]。2mr2rrr2sinθθθr2sin2θφ21121510、证明波函数ψcosθsinθeiφ是角动量平方的本征函数，并求粒子的2角动量。已知角动量平方算符ˆ2cosθ12。2()M2sin2θφ2θ2sinθθ六、计算题1601、波长λ=400nm的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知感谢阅读铯的临阈波长为600nm。1602、光电池阴极钾表面的功函数是2.26eV。当波长为350nm的光照到电池时，发谢谢阅读射的电子最大速率是多少？(1eV=1.602×10-19J，电子质量me=9.109×10-31kg)感谢阅读1603、设体系处在状态=c1211+c2210中，角动量M2和Mz有无定值。其值为谢谢阅读_多少？若无，则求其平均值。1604、函数(x)=2 2sinx-32sin2x是不是一维势箱中粒子的一种可能状感谢阅读a a a a态？如果是，其能量有没有确定值(本征值)？如有，其值是多少？如果没有确定值，感谢阅读其平均值是多少？1605、在长为l的一维势箱中运动的粒子，处于量子数为n的状态，求：谢谢阅读在箱的左端1/4区域内找到粒子的概率；n为何值时，上述概率最大？当n→∞时，此概率的极限是多少？(3)中说明了什么？1606、(1) 写出一维简谐振子的薛定谔方程；处于最低能量状态的简谐振子的波函数是22x2/2]0=()1/4exp[-此处，=(42k/h2)1/4，试计算振子处在它的最低能级时的能量。感谢阅读(3) 波函数

在x取什么值时有最大值？计算最大值处

2的数值。1607、氢分子在一维势箱中运动，势箱长度l=100nm，计算量子数为n时的deBroglie感谢阅读波长以及n=1和n=2时氢分子在箱中49nm到51nm之间出现的概率，确定这感谢阅读两个状态的节面数、节面位置和概率密度最大处的位置。1608、限制在一个平面中运动的两个质量分别为m1和m2的质点，用长为R的、没精品文档放心下载有质量的棒连接着，构成一个刚性转子。建立此转子的Schrödinger方程，并求能量的本征值和归一化的本征函数；感谢阅读求该转子基态的角动量平均值。_ˆˆh。z21609、氢原子中，归一化波函数：（和都是归一化的）所描述的状态，其能量平均值是（a）R；能量出现的概率是（b）；角动量平均值是（c）；角动量出现的概率是（d）；角动量Z分量的平均值是（e）；角动量Z分量出现的概率是（f）。1610、已知类氢离子 的某一状态波函数为：则（a）此状态的能量为； （b）此状态的角动量的平方值；感谢阅读（c）此状态角动量在Z方向的分量为；（d）此状态的 值分别为；谢谢阅读(e)此状态角度分布的节面数为；2125、多电子原子的一个光谱支项为3D2，在此光谱支项所表征的状态中，原子的总精品文档放心下载轨道角动量等于（a）；原子总自旋角动量等于（b）；原子总角动量等于（c）；在磁场中，此光谱支项分裂出（d）个蔡曼(Zeeman)能级。谢谢阅读2403、一个电子主量子数为4，这个电子的l，m，ms等量子数可取什么值？这个感谢阅读电子共有多少种可能的状态？1105、(a)∫(b)∫_量子力学基础习题参考答案1100、填填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、E=h p=h/1102、hpmvh,小1103、电子概率密度h1104、x·px≥2微观物体的坐标和动量不能同时测准,其不确定度的乘积不小于谢谢阅读*d=0,i≠j*idi=1i i

。21106、电子1出现在x1,y1,z1,同时电子2出现在x2,y2,z2处的概率密度谢谢阅读h 1107、-i· (x -y )2yx=2sinnxn=1,2,3,…1108、(1)l(2)E=n2h2;h28ml28ml21/2增长(5)=2sinnxx2sinnyyll2l2lE=n2h2+n2h2xy8ml28m(2l)2_(x,y,z)=8sin2xsinysinz1109、(1)211a3aaa(2)(a/4,a/2,a/2)(3a/4,a/2,a/2)1110、(3)3,641111、8h221kx2E221112、T=p21h22m2m=1.016×10-17J1113、(*d，ij）*d0，ij）1ijij1114、（**d）12121115、零，h28ma21116、(1)=2sinnxn=1,2,3,…ll(2)E=n2h2;h28ml28ml21117、(1)(x,y,z)=8sin2xsinysinz211a3aaa(a/4,a/2,a/2)(3a/4,a/2,a/2)感谢阅读61118、17，51119、(1)O或核附近a0或52.3pm8×13.6/9eV1120、E=(n2n2n2)h2xyz8ma2_共有17个状态, 这些状态分属6个能级。1200、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内）精品文档放心下载1201、(D)1202、（B）1203、(D)1204、(1)B,C(2)A,B,C(3)B,C1205、(A),(D)1206、(A)1207、(1)B(2)A1208、（C）1209、（E）1210、（B）1211、(C),(D)1212、(A)1213、（B）1214、(C)1215、(C)1216、(A),(B)1217、(D)1218、(A)1219、(C)1220、(C)1300、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画√，错误的题号后画×）谢谢阅读1301、×1302、×1303、×_1304、×1305、×1306、×1307、×1308、×1309、√1310、×1400、简答题1401、A,B两步都是对的,A中v是自由粒子的运动速率,它不等于实物波的传播速率u,C中用了=v/,这就错了。因为=u/。感谢阅读又D中E=h是粒子的总能量,E中E=1mv2仅为v<<c时粒子的动能部分,两个感谢阅读2能量是不等的。所以 C,E都错。1402、(1) 单值的。连续的,一级微商也连续。平方可积的,即有限的。1403、P=0.75a22(x)dx=0.5+1=0.8180.25aasina1404、(A).不是(B).是,本征值为n2h2/(4l2)(C).不是(D).是,本征值为n2h2/(8ml2)1405、2p2pˆ,ˆ共同的本征函数是H,ˆpz0MMz2为2p和2pˆM的线性组合,是H,2共同ˆx11的本征函数2pˆˆ2,ˆ共同的本征函数是H,1MMz1406、P=a/42sinnx2nxdxdx2a/4sin2aaa0a0=1421nsinn2_n=1，P=1 14 2nn=2，P=1.4n=2时，粒子出现在0—a/4区间概率更大些。谢谢阅读1407、dcosθsinθdθd2cosθcosθdθ2cos3θ3sinθcos2θdθd2cos3θ3cos3θ6sin2θcosθdθ2ˆ215cos3θ30sin2θcosθ3cosθ15cos3θ3cosθ=230cos330sin2θθcosθ6cosθ=230cos330cos3θ30cos3θ30sinθ2θcosθ6cosθ=260cos3θ36cosθ=1225cos3θ3cosθ是，本征值为12 21408、归一化条件：nc21i1A2c22(1)21,a是归一化的。i2i1(c2)2(1)2(2)23B3,b不是归一化的。i442i1归一化因子 2即1。61409、pˆf(x)id2e2xxdx4ie2x2if(x)hf(x)ihf(x)是pˆx的本征函数，本征值为i。感谢阅读_1410、a2nxxn4(sin)2d0aa=2aasin4xa4a88a0=2a1a84(2)ψ20 a/4 a/2 a x1500、证明题1501、12=12d1d2dx2dx212d2-d21221=0dx2dx2dd-d]=0dx[211dx2dxd-d1]=常数[21dx2dx1502、将1/1/2cos2代入方程221/21/21/2cos2d241/cos21/d2sin241/dd41/1/2cos241/1/2cos20_说明是方程的解。22/1/2sincos代入方程将d221/2sincosd1/21/2sincos42/2/cos2sin242/2d2/1/22sincos2sincos42/1/2sincos0d精品文档放心下载说明也是方程的解。ˆ2Mxy1503、ˆz2xxiyihMxxiyyxiyzˆ2y故x+iy是M本征函数,本征值为h2ˆihzMxˆz2yxxiyihM2xzˆyh本征函数,本征值为故x-iy是Mˆzzyz2zz00Mhyzˆ2故z本征函数,本征值为0是Mz1504、第一吸收带是由HOMO到LUMO跃迁产生。感谢阅读对本题HOMOk=n;LUMOk=n+1;Eh2h22n1n12n28mr2n128mr2n12h28mr2n18mr2n1hc8mrc2n1/hhcE所以hcEh2即16mrcn/h8mrc/h1505、设u,u,...,ˆ,λ,,λu212n1n.的本征函数，则有ˆu,Aummmˆ,Aunnunˆ*λ*u*λu*Aummmmm可得dτλu*udτˆu*Aumnnmn_u*uAˆu*udτλdτmnmmn根据的厄米性,从上式可得λu*udτλu*udτnmnmmnλλu*udτ0nmmnλλu*udτ0nmmnuAuudτˆˆ*ˆˆλ*u**同时下列本征方程成立:Auλu,Au代入上式,得:λu*udτλ*u*udτ由此可得λλ*故λ必为实数。1507、(1).∫u*(AˆBˆ)vd=∫u*Aˆvd+∫u*Bˆvd谢谢阅读ˆˆ=∫(Au)*vd+∫(Bu)*vdˆˆ=∫[(Au)*+(Bu)*]vdˆˆ=∫[(Au)+(Bu)]*vdˆˆ=∫[(AB)]*vd由此得证ˆˆvdAvdˆ(2).∫*=∫)*A(ˆˆ=∫(Au)*(Av)dˆd=∫(ˆ)*Aˆˆ=∫(AAu)*vdˆ=∫(A2u)*vd由此得证1508、三维空间自由粒子的薛定谔方程ˆˆ2HEH2当r为常数，2m与r,无关。ˆ22cosθH2mr2θ2sinθθˆ22cosθNcosθH2mrθ2sinθθ2_N2cosθcosθ2mr22Ncosθ2mr2mr2E2当ma2与无关，ˆ2cosM2M2sinˆ2M21509、三维空间自由粒子的薛定谔方程ˆˆ2HEH2当r为常数，2m与r无关,ˆ22cosθ12H2mr2θ2sinθθsin2θφ2ˆˆ(Ncosθsineiφ)HHθ=2N2122mrθ2sinθθsin2θφ22=2N(cosθsinθeiφ+cos2θ2mr2sinθ

cosθsinθeiφcosθeiφsinθcosθeiφ eiφ)精品文档放心下载=2Ncos2θ1cosθsinθeiφψ12mr2sin2θsin2θ式中cos2θ1sin2θ=1sin2θˆψ62N62ψ62