第03讲等腰三角形（原卷版）

第03讲等腰三角形课程标准学习目标①等腰三角形的性质②等腰三角形的判定掌握等腰三角形的性质并能够对其熟练应用。掌握等腰三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等腰三角形。知识点01等腰三角形的性质等腰三角形的概念：有两条边的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的，所对的角叫做等腰三角形的，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的。等腰三角形的性质：如图①等腰三角形的两腰。即ABAC。②等腰三角形的两个底角。即∠B∠C。【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互。【简称底边上三线合一】即∠ABD∠CAD，BDCD，ADBC。题型考点：①熟练性质。②利用性质计算。【即学即练1】1．下列说法错误的是（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍【即学即练2】2．已知等腰三角形的一个顶角为120°，则这个等腰三角形的底角为（）A．30° B．60° C．80° D．120°【即学即练3】3．如果一个等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，那么它的周长是（）A．9cm B．12cm C．9cm或12cm D．以上答案都不对【即学即练4】4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，BD＝BE，∠A＝100°，则∠DEC＝（）A．90° B．100° C．105° D．110°【即学即练5】5．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm知识点02等腰三角形的判定利用等角对等边判定：一个三角形中如有两个角，则这两个角所对的两条边也。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。利用三线合一性质判定：若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线，则这个三角形是等腰三角形。题型考点：①利用内角和公式求内角和或求多边形的边数。②利用多边形的内外角关系计算。【即学即练1】6．在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或65°或80°【即学即练2】7．下列能确定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A＝50°、∠B＝80° B．∠A＝42°、∠B＝48° C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4、BC＝5，周长为15【即学即练3】8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．（1）求∠ADB的度数；（2）求证：△ADE是等腰三角形．【即学即练4】9．如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上的一点，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，连接CD，若BE+CF＝EF．求证：△CFD是等腰三角形．题型01等腰三角形与周长【典例1】若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9 B．7 C．12 D．9或12【典例2】一个等腰三角形的两边长为8和10，则它的周长m的取值为（）A．26或28 B．26 C．28 D．26＜m＜28【典例3】已知等腰三角形的两边a，b满足，则等腰三角形的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或20【典例4】已知实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．10 B．11 C．10或11 D．以上答案均不对题型02等腰三角形的性质求线段长度【典例1】如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，若CD＝1，则BD等于（）典例1典例2A．1 B． C． D．【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E在AC上，EF垂直平分AC，交AB于F，BF＝1，则EF的长为（）A．4 B．3 C． D．【典例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【典例4】如图，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点Ccm的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当△CMN是以MN为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm题型03等腰三角形的性质求角度【典例1】等腰三角形的一个底角是a°，它的顶角是（）A．a° B．90°﹣a° C．180°﹣2a°【典例2】如图，直线a∥b，点A和点B分别在直线a和b上，点C在直线a、b之间，且BC＝AC，∠ACB＝120°，∠1＝45°，则∠2的度数是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【典例3】如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（）A．28° B．36° C．45° D．72°【典例4】如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠E＝40°，∠ACD的度数为（）A．10° B．15° C．25° D．30°【典例5】定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于（）A． B． C．或 D．或题型04等腰三角形的判定【典例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE∥AD交BA的延长线于点E，求证：△ACE是等腰三角形．【典例2】如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，且CE∥AB，求证：△ABC为等腰三角形．【典例3】如图，已知在△ABC中，D、E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED，∠BAD＝∠EAC，求证：AB＝AC．【典例4】如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．若AQ＝AR，求证：△ABC是等腰三角形．【典例5】如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．求证：△ACD为等腰三角形．题型05等腰三角形的判定与性质【典例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD．（1）求证：AD＝CD；（2）若AC＝BC，∠D＝120°，求∠B的度数．【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．【典例3】如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．【典例4】已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．【典例5】（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是，△AEF的周长是（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．1．等腰三角形的两个底角相等，顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°2．已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（）A．17或22 B．22 C．17 D．133．如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠B＝70°，∠ACD的度数为（）A．10° B．15° C．25° D．30°4．“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是（）A．∠ADB＝∠ADC B．BD＝CD C．BC＝2AD D．S△ABD＝S△ACD5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝6，则BF＝（）A．8 B．9 C．12 D．186．在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣3），在坐标轴上确定一点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（）个．A．5 B．6 C．7 D．87．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若AB+AC＝8，则△ADE的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．128．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为．10．定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰△ABC是倍长三角形，且一边长为6，则△ABC的底边长为．11．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC＝64°，∠C＝29°，AB＝4，BC＝10，则AE＝．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画条线段．13．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．14．如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．（1）请写出图1中线段BD