专题5.10解二元一次方程组中的数学思想（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题5.10解二元一次方程组中的数学思想（知识讲解）数学思想是对数学知识及方法的概括与提炼，对解题方向和思路的确定往往起着指导作用。在二元一次方程组及其解法中，运用整体思想、换元思想是解决二元一次方程组是常见的解题思路，下面结合实例加以说明。【类型一】整体代入法1．解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得，这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组：．【答案】【分析】把①代入②可得，再把把代入①，即可求解．解：，把①代入②得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴原方程组的解为．【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，利用整体代入思想解答是解题的关键．举一反三：【变式1】（1）观察发现：材料：解方程组将①整体代入②，得3×4+y=14，解得y=2，把y=2代入①，得x=2，所以这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组的解为（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组（3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞，请直接写出满足条件的m的所有正整数值．【答案】(1)；(2)；(3)1，2．【分析】（1）由第一个方程求出x-y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．（2）由第一个方程求出2x-3y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．（3）方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出正整数值即可．解：(1)由①得：x−y=1③，将③代入②得：4−y=5，即y=−1，将y=−1代入③得：x=0，则方程组的解为．故答案为．由①得：2x−3y=2③，将③代入②得：1+2y=9，即y=4，将y=4代入③得：2x−12=2，解得x=7，则方程组的解为．，①+②得：3(x+y)=−3m+6，即x+y=−m+2，代入不等式得：−m+2>−，解得：m<，则满足条件m的正整数值为1，2．故答案为1，2．【变式2】阅读理解：对于某些数学问题，灵活运用整体思想，常可化难为易，使计算简便．在解二元一次方程组时，也要注意这种思想方法的应用．比如解方程组,解：把②代入①，得x＋2×1＝4，所以x＝2.把x＝2代入②，得2＋2y＝1，解得y＝－.所以方程组的解为.尝试运用：你会用同样的方法解下面的方程组吗？试试看！.【答案】.【分析】首先先把5x+6y-7=0化成5x+6y=7的形式,然后根据整体代入的数学思想把5x+6y=7代入方程进行计算,即可得到答案.解：由（1）得5x＋6y＝7，（3）把③代入②，得，解得把代入（1），解得x＝.所以原方程组的解为【点拨】本题考查的是代入法解二元一次方程的知识,正确理解整体的数学思想是解题的关键.【类型二】整体加减法2．已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：(1)已知二元一次方程组，则__________，_________．(2)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．【答案】(1)-1，5(2)-11【分析】（1）利用①-②可得x-y的值，利用（①+②）可得x+y的值；（2）根据新运算的定义可得出a、b、c的三元一次方程组，由可得出a+b+c的值，即的值．解：（1），由①-②可得：x-y=-1，由（①+②）可得：x+y=5，故答案为：-1，5；（2）依题意得：，由可得：a+b+c=-11，即=a+b+c=-11．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是找出方程的关系并运用“整体思想”解方程．举一反三：【变式1】感知：解方程组，下列给出的两种方法中，最简便的方法是（

）（A），先消去x，再代入求解．（B）先①＋②，得；再②－①，得，最后重新组成方程组求解．探究：利用最简单的方法解方程组；应用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值为______．【答案】B；；【分析】（1）对比A，B，可知B的计算量少，更简洁，即可得；（2）根据所给简便方法两式相加得，两式相减得，则，进行就是即可得；（3）解二元一次方程组得，根据得，进行计算即可得．解：（1）对比A，B，可知B的计算量少，更简洁，故选B；（2）①+②得，，②-①得，，则，③+④得，，把代入③得，，故方程组的解为；（3）①+②得，，∵，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握题中所给的简便方法．【变式2】仔细阅读下面解方程组得方法，然后解决有关问题．解方程组时，如果直接消元，那将时很繁琐的，若采用下面的解法，则会简单很多．解：①－②，得，即③，③×16，得④，②－④，得：，将代入③得：，∴方程组的解为：．(1)问题解决，请你采用上述方法解方程组(2)延伸探究：请你采用上述方法填空：，则＝．【答案】(1)(2)1【分析】（1）先把两式相减得出x+y的值，再把x+y的值与2011相乘，再用加减消元法求出x的值，再代入方程求出y的值即可；（2）先把两式相减得出（a﹣b）x+（a﹣b）y＝a﹣b的值，由a－b≠0，得到x＋y＝1，再用加减消元法求出y的值，再代入方程求出x的值即可．（1）解：，①−②，得：2x＋2y＝2，即x＋y＝1③，③×2011，得：2011x＋2011y＝2011④，．②−④，得：x＝−1，．将x＝−1代入③得：y＝2，∴方程组的解为：；（2）解：，①－②，得：（a－b）x＋（a－b）y＝a－b，∵a≠b，∴a－b≠0，∴x＋y＝1③，③×（b＋2），得：（b＋2）x＋（b＋2）y＝b＋2④，④－②，得：y＝2，把y＝2代入③得：x＋2＝1，解得：x＝﹣1，∴方程组的解为：，∴x＋y＝1．故答案为：1【点拨】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．【类型三】换元法3对下列问题，有三位同学提出了各自的想法：若方程组的解是，求方程组方程组的解．甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．【答案】【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法即可得到一个关于x，y的方程组，即可求解．解：第二个方程组的两个方程的两边都除以4得：

，∴，解得：．故答案为：．【点拨】本题考查二元一次方程组的解法，正确观察已知方程的系数之间的关系是解题的关键．【变式1】阅读探索解方程组解：设a-1+x，b2y，原方程组可变为解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组：（2）能力运用已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为_______．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设=x，=y，可得出关于x、y的方程组，即可求出x、y的值，进而可求出a、b的值；（2）设5（m+3）=x，3（n-2）=y，根据已知方程组的解确定出m、n的值即可.解：（1）设=x，=y，原方程组可变形为，解得：，即，解得：.（2）设5（m+3）=x，3（n-2）=y，原方程组可变形为：，∵关于x，y的方程组的解为，∴，解得：.故答案为【点拨】本题考查解二元一次方程组，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键.举一反三：【变式2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：②-①得：，即．③得：．④①-④得：，代入③得．所以这个方程组的解是．(1)请你运用小明的方法解方程组．(2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是______．