专题11线段的垂直平分线与角的平分线（5个知识点7种题型）（原卷版）

专题11线段的垂直平分线与角的平分线（5个知识点7种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.逆命题和逆定理知识点2.线段的垂直平分线知识点3.角的平分线定理及其逆定理知识点4.线段的垂直平分线与角的平分线的应用知识点5.轨迹【方法二】实例探索法题型1.原命题、逆命题、互逆命题题型2.逆定理、互逆定理题型3.线段垂直平分线的性质定理题型4.线段垂直平分线的性质定理的逆定理题型5.角的平分线定理题型6.角的平分线定理的逆定理题型7.轨迹【方法三】成果评定法【倍速学习三种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.逆命题和逆定理逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题；若其中一个命题为原命题，则另一个叫它的逆命题；逆定理：若一个定理的逆命题经过证明是也是定理，那么这两个定理叫互逆定理，其中一个是另一个的逆定理；【例1】写出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：如果，那么.【变式】直角三角形两锐角互余的逆命题是.【变式2】命题“如果，那么a＝b”的逆命题是：．知识点2.线段的垂直平分线【例2】如图，在中，AB=AC，，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D和E，那么=.【变式】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，且AE平分∠BAC，下列关系式不成立的是（）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE知识点3.角的平分线定理及其逆定理【例3】如图，已知：中，，AC=40，BD平分交AC于D，AD：DC=5：3，则D点到AB的距离为.【变式】如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝2，则PD＝．知识点4.线段的垂直平分线与角的平分线的应用【例4】已知：如图，在中，AB=2AC，过点C作，交的平分线于点D.求证：.【变式】如图，中，BD平分，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若，则的度数为.知识点5.轨迹【例5】经过点且半径为的圆的圆心轨迹是_________.【变式1】已知两个定点A、B的距离为4厘米，到点A、B的距离之和为4厘米的点的轨迹是．【变式2】平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的．【方法二】实例探索法题型1.原命题、逆命题、互逆命题1．（2022·上海徐汇·八年级期末）下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（

）（1）全等三角形的对应边相等；（2）对顶角相等；（3）等角对等边；

（4）全等三角形的面积相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022·上海徐汇·八年级期末）下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（

）（1）全等三角形的对应边相等；（2）对顶角相等；（3）等角对等边；

（4）全等三角形的面积相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型2.逆定理、互逆定理3．下列定理中，没有逆定理的是（

）．A．两直线平行，同旁内角互补B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等C．等腰三角形两个底角相等D．同角的余角相等题型3.线段垂直平分线的性质定理4．如图，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAF＝度．5.如图，小明画线段AB的垂直平分线l，垂足为点C，然后以点B为圆心，线段AB为半径画弧，与直线l相交于点D，联结BD，那么∠CDB的度数是．6．如图，在△ABC中，∠C＝37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB＝CD，那么∠A＝°．7．（22·23上·静安·期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则．题型4.线段垂直平分线的性质定理的逆定理8．（22·23上·徐汇·期中）满足底边为已知线段的等腰三角形的顶点在上．题型5.角的平分线定理9.如图，中，AD平分，AB=4，AC=2，且的面积为2，则的面积为.10.已知：如图，在△ABC中，AB=2AC，过点C作CD⊥AC，交∠BAC的平分线于点D．求证：AD=BD．题型6.角的平分线定理的逆定理11．（22·23上·上海·阶段练习）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点，则度．12．（21·22上·上海·期末）如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为.（用含的式子表示）13．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．（1）求证：AD为∠BDC的平分线；（2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______．题型7.轨迹14．到点A的距离等于6cm的点的轨迹是．15．经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是．16．以线段BC为底边的等腰三角形的顶点A的轨迹是：．17.以线段AB为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是．【方法三】成果评定法一、单选题1．（22·23上·杨浦·期中）如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交边于点，联结交于点，则下列结论中，不一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（22·23上·长宁·期中）如图，已知，按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接；②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、；③连接交于点．下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．．3．（22·23上·杨浦·期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是（

）A．6 B．5 C．7 D．84．（22·23上·上海·阶段练习）下列命题中，其逆命题是假命题的是（

）A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，则C．锐角与钝角互为补角 D．相等的角是对顶角5．（22·23上·静安·期末）下列定理中，如果其逆命题是真命题，那么这个定理是（

）A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余C．全等三角形的对应角相等 D．邻补角互补6．（22·23上·上海·期中）①到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等；④线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题7．（22·23上·上海·阶段练习）写出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：如果，那么．8．（21·22上·徐汇·期末）如图，在△ABC中，∠C=37°，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，AB=CD，那么∠A=°．9．（22·23上·上海·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线与边，交于点，，已知与的周长分别是和，则的长为．10．（22·23上·宝山·期末）在中，和的平分线交于点D，于点E，如果，的面积是6，则周长是．11．（22·23上·静安·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，交于D、E，若，则（用含的代数式表示）12．（22·23上·杨浦·期末）在中，，的平分线交于点，，，那么到的距离是．13．（21·22上·徐汇·期末）以线段AB为底边的等腰三角形，它的两底角平分线交点的轨迹是．14．（21·22上·上海·期末）锐角中，，AB的垂直平分线与的垂直平分线交于点，则15．（22·23上·上海·期中）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为度．16．（22·23上·普陀·期中）若A和两点在线段的垂直平分线上，且，，则．17．（22·23上·上海·专题练习）在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，连接，，则的度数为．（用含的代数式表示）18．（22·23下·嘉定·开学考试）在中，，垂直平分分别交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是．三、解答题19．（21·22上·浦东新·期中）如图，在中，平分，，过点作于点，交的延长线于，联结，求证：．20．（22·23上·静安·期中）如图，已知平分，垂直平分，，垂足分别为点G，F.求证：(1)；(2).21．（20·21上·宝鸡·期中）如图，在中，于点，是上一点，，且点在的垂直平分在线，若的周长为，求的长．22．（20·21上·普陀·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD．(1)求证：AD⊥BD；(2)记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD．23．（21·22下·上海·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AE＝BE，AD与BE相交于点F．(1)请说明△AEF≌△BEC的理由．(2)如果AF＝2BD，试说明AD平分∠BAC的理由．24．（21·22上·静安·期末）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10．(1)用尺规在AB边上求作点P，使点P到∠ACB两边的距离相等；（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）(2)如果△ACP的面积为15，那么△BCP的面积是多少．25．（22·23上·黄浦·阶段练习