高中数学培优讲义练习（选择性必修二）：专题5.2 导数的概念及其意义（重难点题型检测）（教师版）

专题5.2导数的概念及其意义（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021·江苏·高二专题练习）函数fx=12x在A．2 B．12 C．14 【解题思路】利用导数的定义即可求出结果.【解答过程】limΔx→0ΔfxΔx=limΔx→0故选：D.2．（3分）（2021·江苏·高二单元测试）已知函数fx=x−1x，则该函数在A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】利用导数的定义求解.【解答过程】因为f1+Δx=Δx+1−1所以斜率k=lim=lim故选：C.3．（3分）（2022·浙江·高二期中）已知函数fx可导，且满足lim△x→0f3−Δx−fA．−1 B．−2 C．1 D．2【解题思路】根据导数的定义求解.【解答过程】因为lim△x→0所以f'故选:A.4．（3分）（2022·山东·高二期中）设fx存在导函数且满足limΔx→0f1−f1−2A．−1 B．−2 C．1 D．2【解题思路】由导数的定义及几何意义即可求解.【解答过程】解：因为fx存在导函数且满足lim所以f'1=−1，即曲线y=fx上的点故选：A.5．（3分）（2022·河南高二阶段练习（理））已知函数fx的导函数为f'x，若y=f'A． B．C． D．【解题思路】根据导函数大于0，原函数单调递增；导函数小于0，原函数单调递减；即可得出正确答案.【解答过程】由导函数得图象可得：x>0时，f'x<0，所以f排除选项A、B，当x>0时，f'x先正后负，所以fx因选项C是先减后增再减，故排除选项C，故选：D.6．（3分）（2022·河北·高三阶段练习）如图是一个装满水的圆台形容器，若在底部开一个孔，并且任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为ℎ=f(t)，定义域为D，设t0∈D,t0±Δt∈D,A．k1>k2 B．k1<k【解题思路】根据容器形状，任意相等时间间隔内所流出的水体积相等，水面高度减小越来越快，还要注意变化量和变化率是负数，可判断出结果.【解答过程】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的减小量越来越大，且高度h的变化率小于0，所以f(t)在区间t0−Δ故选：A．7．（3分）（2021·全国·高二专题练习）函数fx的图象如图所示，f'x为函数fA．fB．fC．fD．f【解题思路】根据函数的变化率和导数的几何意义进行判断.【解答过程】因为f'(a)、f'(a+1)分别是函数f(x)在x=a、x=a+1处的切线斜率，由图可知f'(a+1)<f'(a)<0，又f(a+1)−f(a)=f(a+1)−f(a)(a+1)−a=f'(所以f'故选：C.8．（3分）（2022·北京·高二阶段练习）为了评估某种药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=ft，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示，则下列四个结论中正确的是（

A．在t1B．在t2C．若t0∈tD．若t0∈t【解题思路】由关系图提供的数据结合平均变化率的定义进行判断．【解答过程】对于A选项，在t1对于B选项，在t2,t对于C选项，t2,t3这个时间段内，在t2对于D选项，在t1,t2内，乙血管中药物浓度始终大于甲血管中药物浓度，在t1故选：D．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）若当Δx→0，满足f1−fA．fB．fC．曲线y=fx上点1,f1D．曲线y=fx上点1,f1【解题思路】根据导数的定义和几何意义依次判断各个选项即可.【解答过程】由f1−f1−Δx∴曲线y=fx上点1,f1处的切线斜率为f1+故选：AD.10．（4分）（2022·安徽·高二阶段练习）若函数y=fx的导函数在区间a,b上是增函数，则函数y=fx在区间a,b上的图象不可能是（A． B．C． D．【解题思路】根据导数的几何意义判断即可.【解答过程】因为函数y=fx的导函数在区间a,b即在区间a,b上，函数y=fx各点处的斜率k由图知选BCD．故选：BCD.11．（4分）（2021·全国·高二专题练习）如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（

A．在0到t0B．在t0C．在t0到tD．在0到t1【解题思路】由平均速度与瞬时速度的定义求解即可【解答过程】在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v瞬时速度为切线斜率，故B错误．在t0到t1范围内，甲的平均速度为s2因为s2−s0>故选：CD.12．（4分）（2022·浙江·高二阶段练习）下列说法正确的是（

）A．已知函数f(x)=x3+2xB．已知A(x1,y1)，B(x2,y2)在函数y=f(x)图象上，若函数f(x)C．已知直线运动的汽车速度V与时间t的关系是V=2t2−1D．已知函数f(x)=x，则【解题思路】根据平均变化率的概念，即可判断A是否正确；根据导数的概念，以及导数在物理和几何中的意义，即可判断BCD是否正确.【解答过程】由题意可知，f(3)−f(1)3−1根据平均变化率的概念可知若函数f(x)从x1到x2平均变化率即为割线AB的斜率，即AB的斜率fx2−f因为V'=4t，根据速度与加速的关系可知t=2时瞬时加速度为函数y=fx在点x0处的导数f'x0=limx→0△y又f'所以f(9.05)=f9+0.05故选：BD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·上海市高二期末）已知f(x)=x+1x，则limℎ→0f(2+ℎ)−f(2)【解题思路】先求出f(2+ℎ)−f(2)，然后代入limℎ→0【解答过程】因为f(x)=x+1所以f(2+ℎ)−f(2)=1+1所以limℎ→0故答案为：−114．（4分）（2022·上海高二期末）若函数f(x)=x2−m2在区间【解题思路】利用函数平均变化率的计算公式计算.【解答过程】解：函数f(x)=x2−m2解得t=3.故答案为：3.15．（4分）（2022·上海·高三期中）若fx为可导函数，且limx→0f1−2x−f14x=−1，则过曲线【解题思路】直接根据导数的定义计算得到答案.【解答过程】limx→0故k=f故答案为：2.16．（4分）（2022·全国·高二单元测试）小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为vt，区间0,t1，0,t2，t1,t2（1）v1（2）v1（3）对于vii=1,2,3，存在mi（4）整个过程小明行走的速度一直在加快．【解题思路】对于（1）（2），根据平均速度的定义结合图判断即可，对于（3），由图象可知t1【解答过程】解：由题意，可知v1=s02由题中图像可知t1<t2，且而t2−2t因此v2=s因为v1t22t由题中图像可知，直线与曲线的交点为t1,s20，故存在mi∈t时刻的瞬时速度为vt，判断瞬时速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，由题中图像可知，当t=故而在此时，瞬时速度最快，因此，（4）不正确．故答案为：3．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数fx=ax2−43ax+b，【解题思路】先根据导数的定义求出f'(1)，再由f'1=1可求出a【解答过程】解：∵f=limΔx→0∴a=3又f1=a−43故a=32，18．（6分）（2022·湖南·高二课时练习）一个做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2s时的瞬时速度；(3)求t＝0s到t＝2s的平均加速度.【解题思路】求出平均速度，v＝Δs（1）由t=0得初始速度；（2）t=2代入得瞬时速度；（3）由v(2)−v(0)2【解答过程】(1)在t0到t0＋Δt的时间内，轿车的平均速度为v＝ΔsΔt＝s(t0+当Δt无限趋近于0时，v无限趋近于3－2t0.所以，当t＝t0时轿车的瞬时速度v(t0)＝3－2t0.初速度v(0)＝3m/s.(2)t＝2s时的瞬时速度v(2)＝－1m/s.(3)t＝0s到t＝2s的平均加速度a＝v(2)−v(0)2＝－2m/s219．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)=2x(1)求当x1=4，且Δx=1时，函数增量Δ(2)求当x1=4，且Δx=0.1时，函数增量Δ(3)若设x2=x【解题思路】（1）（2）由解析式展开并化简Δy=f(x1+Δ（3）根据Δy【解答过程】（1）Δy=f(x1当x1=4且Δx=1所以平均变化率Δy（2）当x1=4且Δx=0.1所以平均变化率Δy（3）在（1）中，Δy它表示曲线上两点P0(4,39)与在（2）中，Δy它表示曲线上P0(4,39)与20．（8分）（2022·江苏·高二课时练习）如图，A，B，C，D，E，F，G为函数y=f(x)图象上的点．在哪些点处，曲线的切线斜率为0？在哪些点处，切线的斜率为正？在哪些点处，切线的斜率为负？在哪一点处，切线的斜率最大？在哪一点处，切线的斜率最小？【解题思路】根据导数的定义以及函数的图象判断即可．【解答过程】解：根据导数的定义结合图象可知，在E，F处曲线的切线的斜率是0，在A，B，C处曲线的切线的斜率是正，在D，G处的曲线的切线的斜率是负，在B处的切线的斜率最大，在D处的切线的斜率最小．21．（8分）（2022·全国·高二课时练习）如图，它表示物体运动的路程随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．【解题思路】（1）用曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的切线，刻画曲线f(t)在上述三个时刻附近的变化情况；（2）先求k＝f′（2），再求切线的方程得解.【解答过程】解：用曲线f(t)分别在t0，t1，t2附近的切线，刻画曲线f(t)在上述三个时刻附近的变化情况．①当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于t轴，所以在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；②当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；③当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近单调递减．由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．当t＝2时，f（2）＝0．当t＝2时，切线的斜率k＝f′（2）＝lim=lim所以切线方程为y＝－4(t－2)，即4t＋y－8＝0．22．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知函数f(x)=−x2+x图