专题25二面角的常见求法（学生版）

专题25：二面角的常见求法<<<专题综述>>><<<专题综述>>>立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。其求解的策略主要有两类方法：其一是找出二面角的平面角进行求解；其二是间接法：射影法，空间向量法等.在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.<<<专题探究>>><<<专题探究>>>题型题型一：定义法由二面角的定义，设法从棱上某一点O出发在两个半平面内都找到垂直于棱的射线OA和OB，则∠AOB就是二面角的平面角.例1(2022·新高考1卷19)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A【思路点拨】由题意得到△DAB≅△DBC,过点A作AH⊥DB，则CH⊥DB，由二面角的定义得∠AHC为所求二面角的平面角，再计算二面角的余弦值从而得到所求的值练1(2022·浙江省温州市期末)如图，三棱锥A-BCD中，△ABC为等边三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．当AD与平面BCD所成角为45°时，求二面角C-AD-B的余弦值．

【思路点拨】由AD与平面BCD所成角确定正三角形ABC边长与CD长的关系，再作二面角C-AD-B的平面角，借助余弦定理计算即可.题型二：题型二：垂面法垂面法：作一个与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角。用垂面法寻找面的垂线，切入点就是寻找面的垂面，然后由面面垂直得到线面垂直，垂面法是我们解决有关求点到平面的距离、直线和平面所成的角与二面角的重要方法之一。例2(2020·江苏省南京市模拟)如果二面角α-l-β的平面角是锐角，空间一点P到平面α、β和棱l的距离分别为22【思路点拨】本题可借助已知条件构造出经过PA,PB的平面，再证明该平面与二面角的面的交线所成角即为二面角的平面角,分点P在二面角α-练2(2020·浙江省单元测试改编)设P是二面角α-l-β内一点，P到面α、【思路点拨】经过PA,PB的截面与棱l交于点C，由二面角平面角的定义知∠ACB就是所求的平面角.题型三：射影法题型三：射影法在没有给出棱的二面角问题中，可以根据题设条件先分别求出该二面角的一个面的面积及其射影的面积，再借助该面的面积与其射影的面积之间的关系S'=Scosθ（例3(2022·湖北省武汉市模拟)棱长为a正方体ABCD-A1B1C1D1中，E【思路点拨】利用图形在底面的射影图形的面积之间的关系（即面积射影定理）进行分析求解.练3(2022·安徽省合肥市模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1【思路点拨】此题属无棱二面角问题，图中没有二面角的棱，我们也可以去找到棱去解决，但这里通过射影而直接求角更方便.题型四：三垂线法题型四：三垂线法在二面角α-l-β中，若A∈α,B∈β且AB⊥β，则过点B作BO⊥l,由三垂线定理可证AO⊥l，即∠AOB就是二面角的平面角.例4(2021·新高考1卷20)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC【思路点拨】过点E找出面BCD的垂线，就可以利用三垂线法找出二面角的平面角.练4(2013·新课标2理科18)如图,直棱柱ABC-A1B1CAA1=AC【思路点拨】可以证明DE⊥平面A1DC，因而过D作DF⊥A那么∠DFE为二面角D-题型五：补形法题型五：补形法当一个几何体不规则时，可以适当补几何体使得新的几何体是特殊几何体时，往往就容易解决问题了例5(2006·江西省高考题改编)如图,在三棱锥A-BCD中,侧面ABD,ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=3,BD=CD=1,另一个侧面求二面角B-AC【思路点拨】分析已知得到A,B,C,D是正方体的其中四个顶点，所以以B为原点建立空间直角坐标系,通过长度找到A点坐标,求出平面BAC和平面ACD的法向量,求出法向量夹角的余弦值的绝对值,即二面角B-AC-练5(2023·安徽淮南市一模)在三棱锥S-ABC中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠SAB=∠SCB=∠ABC=90°.若AB=2,SC=22，求平面与平面夹角的余弦值.【思路点拨】三棱锥S-ABC中不易找到两两垂直的三直线，我们设法补成特殊几何体，就容易建立空间直角坐标系解决问题了.题型六：补角法题型六：补角法当二面角的平面角为钝角，可以求其补角，再利用定义法或三垂线法来找求二面角.例6(2004·福建省高考真题)在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=22，M为AB的中点．求二面角S-CM-B的的【思路点拨】取CM的中点N，连接DN、SN，分析可知二面角S-CM-A的平面角为∠SND，通过解△SDN练6(2022·河北省模拟)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AB的中点，若AB=2，【思路点拨】转化为求其补角，利用三垂线法作出二面角的平面角从而求解．显然二面角A1-BC1题型七：空间向量法题型七：空间向量法若求一个二面角不容易使用定义法和三垂线法，又容易建立适当的空间直角坐标系，则写出相应点的空间直角坐标然后求出两个平面的法向量，再利用cosθ=a例7(2022·河南校考阶段练习)如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，则该二面角的大小为（

）A．π6 B．π4 C．π【思路点拨】根据垂直的条件得CA⋅AB=0，AB例8(2020·全国1卷理科18)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD,△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=66【思路点拨】二面角B-PC-E练7(2022·新高考2卷20)如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点，∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5．求二面角C-AE-B的正弦值.【思路点拨】因为AB⊥AC，因而以AB，AC分别为轴，轴，就可以建立适当的空间直角坐标系了.<<<专题训练>>><<<专题训练>>>1.(2022·广东省梅州市模拟)已知点A、B分别在二面角α-l-β的两个面α、β上,AC⊥l，BD⊥l，C、D为垂足，AC=BD=CD，若AB与l成60°角，则二面角α-l-β为(

)A.30° B.60° C.120° D.150°2.(2022·贵州省贵阳市联考)二面角α-l-β的棱上有两个点A、B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱l，若AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，则平面α与平面β的夹角为

．3.(2020·浙江省十校联考)已知正四面体ABCD的棱长为1，点M是棱CD的中点，则二面角M-AB-D的余弦值为

．4.(2020·江苏省南京市模拟)在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，得到空间四边形ABCD，若BD=62，则二面角D-AC-B的大小的余弦值为

5.(2023·广东省深圳市联考)如图，三棱锥M-ABC中，△MAC是边长为23的等边三角形，MB=4，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点N∉平面ABC，点O，O 1分别为线段AB、MN的中点，且OO 1⊥(1)证明：BC⊥平面MAC；(2)证明：四边形BCMN为矩形；(3)求平面MAC和平面NAB夹角的余弦值．6.(2023·湖北高三校联考阶段练习)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB⊥AA1，求平面B1BCC7.(2023·湖北省武汉市联考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB//DC，PA⊥底面ABCD，点E为棱PC的中点，AD=DC=AP=2AB=2．(1)证明：BE//平面PAD;(2)在棱PC上是否存在点F，使得二面角F-AD-C的余弦值为1010，若存在，求出PF8.(2023·天津市期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=22，∠PAB=60∘．

(1)证明AD⊥平面PAB；

(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值；

(3)9.(2023·江苏省南京市模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AD⊥平面PCD，平面ADP⊥平面APC，PC=PD