基本初等函数归纳总结

函数的概念1.映射设A，B是两个集合，如果按照某种对应法那么f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射〔mapping〕，记作f:A→B.给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．学习映射时需注意：映射只要求“对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应〞，即对于Ａ中的每一个原象在Ｂ中都有象，至于Ｂ中的元素在Ａ中是否有原象，以及有原象时原象是否惟一等问题是不需要考虑的。例、给出以下四个对应，其中构成映射的是〔〕A．只有①，②B．只有①，④C．只有①，②，④D．只有④分析:对于集合Ａ到集合Ｂ的映射，集合Ａ中的每一个原象在Ｂ中都有象，至于Ｂ中的元素在Ａ中是否有原象，以及有原象时原象是否惟一等问题是不需要考虑的。简单来说，可以一对一，多对一，但是不能一对多。故只有①和④满足映射的定义，应选Ｂ〔2000年江西〕设集合A和B都是坐标平面上的点集，映射把集合A中的元素映射成集合B中的元素，那么在映射下，象〔2，1〕的原象是〔〕A.〔3，1〕B.〔〕C.〔〕D.〔1，3〕解析：象为集合B中的元素，所以有，解得：，应选B。2.函数一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法那么f,对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数(function),通常记为y=f(x),x∈A.A称为函数的定义域(domain),y的集合称为函数的值域(range).即函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射.注意：定义域、对应法那么是函数的两大要素,值域是由定义域和对应法那么所确定的第三要素.对应法那么是函数的核心。3.函数的表示法：下面三种表示方法都有各自的优点，要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。解析法：简明、全面地概括了变量间的关系；还可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.列表法：直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势.图象法：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.4.分段函数在定义域的不同局部上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。重难点归纳对于函数的概念，必须明白以下两点：①定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体。②函数记号y=f(x)的内涵。同时也应用具体的函数说明符号“y=f(x)〞为“y是x的函数〞这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，并不表示“y等于f与x的乘积〞；符号f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数。在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。2.求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各局部都有意义的x的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.b.下面四组函数f(x)与g(x)中，表示同一函数的是〔〕A．B．C．D．分析：当两函数的对应法那么与定义域都相同时，两函数表示同一函数，而与表示变量的字母无关.A不是，f(x)的定义域为R，g(t)的定义域为[0，＋∞〕；B不是，f(x)的定义域为[1，＋∞〕，g(x)的定义域为[－∞，－1]∪[1，＋∞〕.C不是，定义域、值域虽都相同，但对应法那么不同.应选Ｄ.c.设M={0|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出以下4个图形，其中能表示集合M到集合N的函数关系的有〔〕ABCD解析：函数必须是一对一对应，并且定义域、值域必须在给定的集合内取值。按照函数定义分析可得：A中使M中的元素x(1≤x≤2)无象；C中使M中的元素2的象不在N中；而D中使M中的元素x(1≤x≤2)的象不唯一.应选B.d.求函数的定义域.分析：对于函数⑴，当g(x)≠0时，分式有意义；当h(x)≥0时，二次根式有意义；当p(x)≠0时，(p(x))0有意义.因此，求函数定义域问题可转化为求不等式组的解集问题来处理.解：要使函数f(x)有意义，有∴原函数的定义域为〔－3，0〕.〔2006高考陕西卷〕函数f(x)=(x∈R)的值域是()A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]分析：可以用排除法，首先f(x)不可能等于0，所以排除C、D，在当x等于0时f(x)=1，排除A。也可以直接求解，，所以，故，应选B。函数的根本性质一、重难点知识归纳1、函数的单调性〔1〕定义:设函数y=f(x)的定义域为A：区间，如果对于区间I上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说f(x)在区间I上是增函数.区间I称为y=f(x)的单调增区间;如果对于区间I上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间I称为y=f(x)的单调减区间.函数是增函数还是减函数.是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，因此函数的单调性是函数的局部性质.〔2〕图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.〔3〕判定方法①定义法：1)取值：对任意，且；2)作差：；3)变形:把差化为乘积或平方和的形式4)判定差的正负；5)根据判定的结果作出相应的结论.②图象法例1、假设函数f(x)=ax2＋2(a－1)x＋b在区间〔－∞，4〕上是减函数，那么实数a的取值范围是〔〕A．[0，＋∞〕B．{}C．〔0，]D．[0，]例2、〔2000年高考题〕设，都是单调函数，有如下四个命题：①假设单调递增，单调递增，那么-单调递增②假设单调递增，单调递减，那么-单调递增③假设单调递减，单调递增，那么-单调递减④假设单调递减，单调递减，那么-单调递减其中，正确的命题是〔〕A．②③B．①④C．①③D．②④分析：假设，同增，那么+在其定义域上为增；假设，同减，那么+在其定义域上为减；而它们的差那么不能判定，那么可以排除①④；对于②，假设单调递减，那么-单调递增，那么递增；同理可知③也正确。应选A.2、函数的最值〔1〕定义：一般地，设,如果存在实数M满足：①对于任意的，都有②存在，使得那么，我们称M是函数的最大值同理，设,假设存在实数M满足:①对于任意的，都有②存在，使得我们称M是函数的最小值〔2〕注意：①函数最大〔小〕首先应该是某一个函数值，即存在，使得；②函数最大〔小〕应该是所有函数值中最大〔小〕的，即对于任意的，都有．〔3〕求函数最值的常用方法有：①配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．②换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．③数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值例3、某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t〔单位：天〕的函数关系是f(t)=t＋10〔0<t≤30，t∈N〕，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)=－t＋35〔0<t≤30，t∈N〕，那么这种商品的日销售金额的最大值是______________.例4、函数的最大值是_______.〔99年上海〕分析：此函数为一分段函数，可以分三步进行，分别求出三段解析式的最大值再比拟取之。因为，所以有，，所以有而综合得，函数的最大值为4。3、函数奇偶性〔1〕定义:如果对于函数f(x)定义域内任意一个，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction).如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction).如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.奇偶性是函数的整体性质,函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数.〔2〕图象特点：偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称〔3〕判定方法：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，假设不对称那么函数是非奇非偶函数.假设对称，①再根据定义判定;②有时判定比拟困难，可考虑根据是否有或来判定;③利用定理或借助函数图象判定.例5、假设y=f(x)是奇函数，那么以下坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是〔〕A．(a，-f(a))B．(-a，-f(a))C．(-a，-f(-a))D．(a，f(-a))例6．函数.〔1〕用定义证明该函数在上是减函数；〔2〕判断该函数的奇偶性.例7、函数是奇函数，且.〔1〕求函数f(x)的解析式；〔2〕判断函数f(x)在〔0，1]上的单调性，并加以证明.1、在区间〔－∞，0〕上为增函数的函数是〔〕A．y=|x＋1|B．y=－x2－2x＋2C．D．2、函数f(x)=4x2－mx＋5在[－2，＋∞〕上是增函数，在〔－∞，－2]上是减函数，那么f(1)的值为〔〕A．－7B．1C．17D3、二次函数f(x)=ax2＋bx＋c〔a>0〕满足，那么f(x)在[－2，3]上有〔〕A．最大值f(－2)，最小值B．最大值，最小值f(－2)C．最大值f(3)，最小值D．最大值，最小值f(3)4、以下函数中，不是偶函数的是〔〕A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x5、假设f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，那么〔〕A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1)C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5)指数与指数函数一、重难点知识归纳1．幂的概念的推广，对于指数式来说，当指数x取各种不同的有理数时，式子的定义如下〔m，n∈N，n>1〕；〔1〕正整数指数幂〔2〕零指数幂：〔a≠0〕；〔3〕负整数指数幂：〔4〕分数指数幂：2．实数的指数幂的运算性质〔其中a>0，b>0，m、n为实数〕；〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕3．根式(1)定义假设〔，n>1〕，那么称x为a的n次方根当n=2，n=3时，上述定义就是我们在初中学过的平方根、立方根．假设n为奇数，用符号表示a的n次方根，这时．假设n为偶数，那么要求a≥0，用符号表示a的n次方根．(2)性质①②③〔n为大于1的奇数〕④〔n是不等于零的偶数〕4.指数函数定义一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量．函数的定义域是R，指数函数的值域是．5．指数函数的图象和性质一般地，指数函数在底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a>10<a<1图象性质〔1〕定义域：R〔2〕值域：〔0，+∞〕〔3〕过点〔0，1〕，即x=0时,y=1〔4〕在R上是增函数〔4〕在R上是减函数6.利用函数单调性比拟两实数大小，首先要通过观察分析，构造出适当的函数来，对于幂形数，假设同指数不同底数，那么考虑幂函数，假设同底数不同指数，那么考虑指数函数；其次比拟大小时不仅要注意函数的单调性，还要注意幂形数比大小的两数是否都在同一函数的同一单调区间内，否那么无法比拟大小．例1.

(1)化简.(2)计算.解：(1)原式(2)原式.a.化简的结果为〔〕A．5B．C．－D．－5例2．假设的值．分析：先由求得x再代入所求式子，可以求出值，但较为麻烦，能否不求x，利用整体代换呢？观察所求式子的特点，可由两边平方，三次方求出所求式子分母、分子的值．解：由两边平方得，再平方得，由两边立方得，∴，∴例3．如图是指数函数〔1〕〔2〕，〔3〕〔4〕的图象，那么a,b,c,d与1的大小关系是〔〕A．B．C．D．分析：可先分两类：〔3〕、〔4〕的底数一定大于1，〔1〕、〔2〕的底数小于1，然后再由〔3〕〔4〕中比拟c,d的大小，由〔1〕〔2〕中比拟a,b的大小．解法1：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴．解法2：令x=1，由图知：∴b<a<1<d<c．应选B.例4．，求函数的最大值和最小值.分析：此函数为一个指数函数和一个二次函数的复合函数，处理这类问题的根本方法是用换元法转化为区间上二次函数的最值问题．解：设∵∴且，∴当t=3,即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9,即x=2时，f(x)取最小值－24.b．如果函数的图象与函数的图象关于y轴对称，那么有〔〕A．a>bB．a<bC．ab=1D．a与b无确定关系c．假设=__________．d．函数y=的定义域是〔－∞，0］，那么a的取值范围是__________．对数与对数函数、幂函数一、重难点知识归纳1．对数〔1〕对数的定义：如果，那么数x叫做以a为底Ｎ的对数，记作．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．〔2〕指数式与对数式的关系：〔a＞0，a≠1，N＞0〕.两个式子表示的a、x、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.〔3〕对数运算性质：如果a>0，且a1，b>0，且b≠1，M>0，N>0，那么：①②③④对数换底公式：⑤⑥⑦⑧2．对数函数〔1〕定义：一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.〔2〕对数函数与指数函数的区别名称指数函数对数函数一般形式定义域值域函数值变化情况当a>1时当0<a<1时，当a>1时当0<a<1时，单调性当a>1时，是增函数当0<a<1时，是减函数当a>1时，是增函数当0<a<1时，是减函数图象的图象与的图象关于直线y=x对称例1．对于a>0，a≠1，以下说法中，正确的选项是〔〕①假设M＝N，那么；②假设，那么M＝N；③假设，那么M＝N；