2022年广东高考高中学业水平选考模拟测试数学试题答案详解（一模）

2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(一)

数学

本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己所在的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生

号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z=(2+i)(l-2i),其中i是虚数单位，则|z|=()

A.2B.3C.4D.5

【1题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的乘法运算求出复数z,再根据复数的模的公式即可得解.

【详解】解:z=(2+i)(l-2i)=4-3i,

所以目=J16+9=5.

故选：D.

一11

2.若向量-B满足|。|=2,忸|=2,a-b=2<则|a—切=()

A.72B.2C.2GD.4

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得a-h的值.

【详解】由题意可得归―0=志立/^\la-2a-b+b=/—2x2+2?=2.

故选：B.

3.已知a为锐角，且以光(。+工)=一4，则cos(a+苧)=(

)

424

D.B

A.——B.—----

2222

【3题答案】

【答案】C

【解析】

TT

【分析】先由平方关系计算出sin(a+V再由诱导公式得出答案.

2

【详解】由a为锐角得工＜。+工＜3生，所以Sin(a+-)=Jl-cos(a+-)=—,

4444V42

/37、，兀兀、7r.V3

cos(«+——)=cos(ad--+­)=-sin(ad--)=------

44242

故选：C.

4.为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A,B两点之间的直线距离.如下图，先将自行

车前轮置于点A,前轮上与点A接触的地方标记为点C,然后推着自行车沿AB直线前进(车身始终保持

与地面垂直)，直到前轮与点8接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前

轮与点8接触时，标记点C在前轮的左上方(以下图为观察视角)，且到地面的垂直高度为0.45m.已知前

轮的半径为0.3m,则A,B两点之间的距离约为()(参考数值：万=3.14)

A©B

A.20.10mB.19.94mC.19.63mD.19.47m

【4题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】由题意，前轮转动了(10+；)圈，根据圆的周长公式即可求解.

【详解】解：由题意，前轮转动了(10+g)圈，

所以A,B两点之间的距离约为[10+g]X2万X0.3=6.21«6.2x3.14«19.47m,

故选：D.

5.从集合。={1,2,3}的非空子集中随机选择两个不同的集合A,B,则AcB={I}的概率为()

4515

A.—B.—C.-D.—

2142756

【5题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】写出集合。={1,2,3}的非空子集，求出总选法，再根据AcB={l},列举出集合A,8的所有情况,

再根据古典概型公式即可得解.

【详解】解：集合。={1,2,3}的非空子集有{1},{2},⑶,{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}共7个，

从7个中选两个不同的集合A,B,共有用=42种选法，

因为Ac8={l},

当4={1}时，则3可为{1,2},{1,3},{1,2,3}共3种，

当人={1,2}时，8={1,3}1种，

同理当B={1}时，则A可为{1,2},{1,3},{1,2,3}共3种,

当5={1,2}时，A={1,3}共1种，

则符合AcB={l}的共有3+1+3+1=8种，

84

所以AcB={l}的概率为——二一.

4221

故选：A.

6.已知函数/(x)=lnN,g(x)=e*-e-*,则图象如图的函数可能是()

A.f(x)+g(x)B.f(x)-g(x)C.f(x)g(x)D.

g(x)

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】结合函数图像的奇偶性和单调性即可判断.

【详解】由图可知，该函数为奇函数，/(x)+g(x)和/*)-g(x)为非奇非偶函数，故A、B不符；

当x>0时，/(x)g(x)单调递增，与图像不符，故C不符；

/(X)/(X)

个■为奇函数，当XT+OO时，・・・y=e'的增长速度快于y=12的增长速度，故>0且单调递减，故

g(x)g(x)

图像应该在X轴上方且无限靠近X轴，与图像相符.

故选：D.

22

7已知小K是双曲线C言一点的左、右焦点’点A是双曲线C的右顶点’点尸在

过点A且斜率为域的直线上，为等腰三角形，N-E,P=120。，则双曲线C的离心率为

3

()

3

A.-B.2C.3D.4

2

【7题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由“片"为等腰三角形，且/月工2=120°,可得|尸爪=花用=2。，P点坐标(2c,、氏)，由点

尸在过点A且斜率为毡的直线上，可得叵=2回,可得e的值.

32c-a3

22

【详解】解：由题意可得双曲线与=1焦点在X轴上,设忻工|=2c.

•.•△P片工为等腰三角形，且N耳鸟P=120°,.•.|尸玛|=山闾=2（：,

•••|QK|=c,可得P点的坐标为（c+2ccos60",2csin60°）,即P（2c,限），

•・•点尸在过点A且斜率为也直线上，,叵=拽，可得£=2,即e=2,

32c-a3a

故选B.

【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质及应用，得出P点坐标（2c,瓜）后得巫=区3是解题的关

2c-a3

键.

8.已知正项数列｛为｝满足区,=〃*〃eN*），当/最大时，〃的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【8题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先令y=X、1两边取对数，再分析/（*）=,InX的最值即可求解.

]nY

【详解】令,=尤屋I两.边取对数，有lny=lnx1'=（,

令/（*）=叱，贝1!/'*）=上4，

x厂

当/'。）＞0时，0（尤＜e；当r（x）＜0时，x＞e.

所以/（X）在（0,e）上单调递增，在（e,+8）上单调递减.

所以％=e时，/（X）取到最大值，从而y有最大值，

_L11

因此，对于4=〃1（〃eN*），当〃=2时，4=2“当〃=3时，%=3"

而3；〉23，因此，当。"最大时，〃=3.

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设“，〃为不同的直线，a,〃为不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A.若〃〃/a,nila,则加〃〃B.若〃?_La,nLa>则

C.若m//a,mu（3，则a〃/?D.若〃_L分，m±n,则a-L/?

【9题答案】

【答案】BD

【解析】

【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.

【详解】解：对A：若加〃a,nila,则相〃〃或加与”相交或m与〃异面，故选项A错误；

对B：若〃z_La,n±a,则/？/〃〃，故选项B正确；

对C：若加〃a,mu£,则a〃/?或a与夕相交，故选项C正确；

对.D：若m_La,〃_L£,mLn,则。_L，，故选项D正确.

故选：BD.

10.中国正在从电影大国迈向电影强国.下面是2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片

（含合拍片）与进口影片数量统计图，则下列说法中正确的是（）

数量/部□国产影片

10--------------------------------------

□进口影片

98

7

6

5

4

3

2

1

0

A

2017年2018年2019年2020年2021年年份

A.2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量占比不低于50%

B.2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量占比逐年提高

2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数

D.2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中,国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差

【10题答案】

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据条形统计图依次计算影片数量占比、平均数和方差即可得到结果.

【详解】对于A,2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，每年的国产影片数量均大于等于5部，

故国产影片数量每年的占比都不低于50%,A正确；

对于B,2020年国产影片占比为100%,2021年国产影片占比为80%,故国产影片数量占比并非逐年

提高，B错误；

37

对于C,2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量平均数为二=7.4,进口影片数

13

量平均数为］=2.6,C正确；

对于D,2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差为

-

/O7474\2

+/十|

\|(8\-7进口影片数量的方差为

-

-x[(5-2.6)2+(4-2.6)2+(2-2.6)2+(0-2.6)2+(2-2.6)21=3.04,D正确.

5L-

故选：ACD.

11.已知数列｛叫满足4=1,=2"(〃eN*),则下列结论中正确的是()

A.%=5

B.｛/｝为等比数列

C.41+〃,+•♦♦+a,(”]——2"(,一一3

22023—2

D.4+%+••,+。2022=---------

[11题答案】

【答案】AD

【解析】

【分析】利用递推式可求得的值，可判断A,B;将q+a2+---+a2m变为

«1+(a2+a,)+(a4+)+-••++(a2020+a2(12,),利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C;将

q+4+…+“2022变为(q+4)+(4+。4)+…++(。2021+%)22)，利用等比数列的求和公式，求得结果,

判断D;

【详解】4=1,则+。2=2,。2=1，又%+%=4，。3=3，

同理+。4=2、%=5,故A正确；

而年=1，亲=3,故｛a,,｝不是等比数列，B错误;

4+%■1------。2021=4+（〃2+。3）+（44+。5）-------+（。2020+。2021）

101010,,2022

2420204U（l-d）4-12-1

1+2+2+--+2^1+故C错误;

1-4-3-

4+------42022=（q+。2）+（°3+44）--------+（。202|+42022）

Hz-y20_2（l-4l0ll）_2x4lf）ll-2_22023-2

l22l,故D正确,

一一一1-433

故选：AD

12.已知抛物线C：V=4x的焦点为凡抛物线C上存在〃个点片，鸟，L,匕（〃22且〃eN"）满

27r

足/片尸己=/上理=••・=/£/匕=/£/4=—,则下列结论中正确的是（）

n

B.〃=3时，山尸|+旧尸|+山尸|的最小值为9

]1_1

仁”4时,丽河+呼丽/

D.刃=4时，忸制+|月刊+|犬尸|+旧目的最小值为8

【12题答案】

【答案】BC

【解析】

11

【分析】以片乙为抛物线通径，求得时西的值，判断A;当〃=3时，写出焦半径山尸四尸月尸|

的表达式，利用换元法，结合利用导数求函数最值，可判断B；当〃=4时，求出鸟叫4尸|,花目的表

达式，利用三角函数的知识，可判断C,D.

【详解】当〃=2时，/々鹏=/6咐=》，此时不妨取18过焦点垂直于x轴,

1111.

不妨取6(1,2),£(1,-2),则麻[+西=5+5=1，故A错误;

27r

当双=3时'，理=5鹏=4加=7

TT

此时不妨设[，£,吕在抛物线上逆时针排列，设N[Ex=a,ae(0,5),

2

则|《/|=一--,则1£“上,IS=

,,Z.71.1/4)、，

1-COS6Z1-COS(£Z+-)l-COS(6Z+-)

222

故山产取区尸

1+11+1=1-cosai_cos(a+,)l-cos(a+^)

4(1+—cos。)

2

---------1-

1-cosa(cosa+|)2

令r=coso+]fe(；,；),则由村+归目+区可=内+竽

zzzJ-zrI

82r+6-27(z-l)

令")=匕+¥’则r⑺(3-2r)2t3(3—2f)2/

i3

当一</<i时，尸⑺>o,f(t)递增，当1</<巳时，r(o<o,f(t)递减,

22

故/⑺mm=/(D=9，

故当f=l,HRcost?=ptz=y时，由同+出目+|鸟目取到最小值9,故B正确;

冗

当一时，/码二,

此时不妨设6,6,4,E在抛物线上逆时针排列，设N[Er=e,ew(0,1o，

2222

|PF|=--------JP.F|=-----------------,|RF\=----------------,|P.F|=------------------

则nI「cose-jos(e+巧i-cos(e+»)…。式办吗'

22

222

即|8/|=-------,\P.F|=----------,|P,F\=----------,

~1+sin。1+cos01-sin。

224

故学---------1---------=------

|91+|1=l-cos。1+cos。sin0

因日+19卜=万

11sin20cos201

所以忸尸|+|犬耳+|鸟尸|+旧尸「4+4—“故C正确；

由c的分析可知：|/|+出尸|+|巴耳+|舄同=^；+-47；=，八=—^，

I'112।।3II4Isir?。cos?。sin28cos28sin220

当sir?26=1时，I6.取到最小值16,

sin20

即忸川+|之川+|公村+仍同最小值为16,故D错误；

故选：BC

【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性较强，涉及到抛物线的焦半径|尸尸|=-R—

1-cosa

的应用，以利用导数求最值，和三角函数的相关知识，难度较大.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.二项式（6-2）6展开式中的常数项为

x

【13题答案】

【答案】60

【解析】

【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x的指数为0,求得答案.

6-rrr，-y

【详解】由题意可得：Tr+l=C；（V^）（--）=（-2）C；x',r=0,1,2,--,6，

X

3r

令3——=0,r=2,

2

故常数项为（一2）2。：=60,

故答案为：60

14.如图为四棱锥A—OEFG的侧面展开图（点G，G重合为点G）,其中4）=瓶，GQ=G7,E

是线段。咒的中点，请写出四棱锥A-0EFG中一对一定相互垂直的异面直线：.（填上你认

为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形）

【14题答案】

【答案】AE和OE（AE和。G,AE和G/，AG和。尸）（写出其中一对即可）

【解析】

【分析】如图所示，连接。产和GE,相交于点。，连接A。,证明。尸J_平面AOE,即得解.

【详解】解：如图所示，连接DF和GE,相交于点。，连接A0.

因为DG=FG,DE=EF,GE=GE,

所以4DE三&FE,所以ADGO=ZFGO,

又。G=GF,GO=GO,所以&DGO^GFO,

兀

所以。O=OF,/6。0=/60/=一，所以。尸_10石.

2

因为AO=AF,OD=OE,所以AOLDF.

又因为AOA=。AO,OEu平面AOE,

所以平面AOE,又AEu平面AOE,

所以叱_LA£.

故答案为：A£和DR.

15.如图，己知扇形AOB的半径为10,以。为原点建立平面直角坐标系，04=(10,0),丽=(6,8),

则AS的中点。的坐标为.

【15题答案】

【答案】(475,275)

【解析】

【分析】根据三角函数定义、二倍角公式、同角三角函数关系可求得cosNCQ4,SinNCQ4,由此可求得

C点坐标.

Aa

【详解】由三角函数定义得：cos/BQ4=—=一

105

o3

,/2cos-ZCOA—1=cosZ.BOA=—,cosZCOA

5

/.sinZCOA=Vl-cos*2ZCOA=

:.xc=lOcosZCOA=4A/5,yc=lOsinZCOA=275，

点坐标为(4石,26).

故答案为：(475,2^).

16.已知直线y=f分别与函数/(x)=2x+l和g(x)=21nx+x的图象交于点A,B,则|AB|的最小值为

【16题答案】

3

【答案】--ln2

2

【解析】

【分析】由题意，|48|为4B两点横坐标差的绝对值，因此设出坐标作差，再求最值即可.

【详解】，=，与/(幻=21+1的交点为4(3,6，

2

2

函数g(x)=2Inx+羽g'(x)=—+1>0,所以g(x)在区间(。,+8)上单调递增，

x

令g(Xo)=f，对于一个1的值，有唯一的/使g(%0)=，，所以

v—t

有21nx0+/一1=0=>—=-lnx(),

所以|A5|=|x?+个—：+：|=|W-lnx()+：|,

2222222

x1I1

令Zz(x)=—lnx+—,则/(x)=----，

222x

当xe(0,2)时,h\x)<09人(幻在(0,2)上单调递减;

当xe(2,y)时，h\x)>0,〃(x)在(2,+8)上单调递减.

213

^WA(x)min=--ln2+-=--ln2>0,

3

故IA81mhi=]-ln2.

3

故答案为：——I*1

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在AABC中，角A,B,C的对边分别为下面给出有关AABC的三个论断：①

a2+c2—b2-ac；②c=2bcosB；®acosC+\[3asinC=b+c-

化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写

出所有可能的真命题.(不必证明)

【17题答案】

7T7T

【答案】论断①：B=—；论断②：C=2B或。+25=4；论断③：A=—；所有可能的真命题有：①③

3一3

=>②和①②二>③.

【解析】

【分析】论断①中，利用余弦定理可求得cosB,进而得到5；论断②中，利用正弦定理边化角可得

sinC=sin2B,进而得到结论；论断③中，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、辅助角公式进行化

简整理得到sin[A-菅)=g,由此可得A：由三角形内角和可确定结果.

【详解】论断①中，由余弦定理得：cos5=a2+c22=_g£=j_,=

2ac2ac23

论断②中，・・・C=2"COSJB,由正弦定理得：sinC=2sinBcosB=sin2B,

・・・。£(0,%)，23£(O,2〃)，...C=28或C+2B=4,

论断③中，由正弦定理得：sinAcosC+V3sinAsinC=sinB+sinC，

即sinAcosC+6sinAsinC=sin(A4-C)4-sinC,

/.sinAcosC4-^3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，

即V3sinAsinC=cosAsinC+sinC，

・..Cw(0,,/.sinCw0,，GsinA=cosA+1，

即V3sinA-cosA=2sinA-j=1,,gpsin^A-^j=—,

.zr.\.717T571j7171..7t

又Ae（0,〃），；.A-：e।||A---=—,解得：A=—

''6<66J663

以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，所有可能的真命题有：

①③=②和①②=③.

18.如图，ABC。为圆柱00'的轴截面，EE是圆柱上异于A。，8C的母线.

（1）证明：%;1平面QEE

（2）若AB=BC=2,当三棱锥B—DEE的体积最大时，求二面角B—OF—石的余弦值.

【18~19题答案】

【答案】（1）证明见解析

⑵—

3

【解析】

【分析】（1）证明3E1D/7,再证明M_L8E，根据线面垂直的判定定理可证明结论；

（2）先推出三棱锥3-。斯的体积最大时，点E,F分别是AB，CO的中点，由此再求二面角

6-。F—E的余弦值；

法一：通过证线面垂直可说明N8EE是二面角B—OF—E的平面角，解直角△8FE即可求得答案；

法二：建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，再求出平面OE尸物平面BD尸的法向量，根据向量的

夹角公式求得答案.

【小问1详解】

证明：如右图，连接AE,由题意知A8为。。的直径，所以

因为A。，EF是圆柱的母线，所以A£>〃石户且AT>=石尸，

所以四边形AEF。是平行四边形.

所以A£〃。尸，

所以BELDF.

因为EF是圆柱的母线，所以印J.平面ABE,

又因为BEu平面ABE,

所以£尸1.8石.

又因为。EnEF=F,DF,EFu平面DEF,

所以郎1平面。EE

【小问2详解】

由（1）知BE是三棱锥3—尸底面。所上的高，

由（1）知EELAE，AE//DF，所以防，£>/，

即底面三角形OEF是直角三角形.

设DF=AE=x,BE=y,则/+,2=4,

bi、1”]c门_1111x~+y~2

所以匕-DE"=T^ADEF,=~x（~x^x2）xy=—xy.,――2—=—，

jj

当且仅当x=y=0时等号成立，即点E,尸分别是AB，C0的中点时,

三棱锥B-DEF的体积最大，

下面求二面角B—DF—E的余弦值：

法一：

由（1）得BE1平面DEF,因为。尸U平面。ER所以BELDF.

又因为EFJ_。尸，EFCBE=E,所以止_L平面8EF.

因为Bbu平面BEF,所以BEJ_£>/，所以N8EE是二面角8—一£:的平面角,

由（1）知ABEE为直角三角形,则8尸=5/（女）2+22=瓜

故c"BFE噜七泻,

所以二面角8—。尸—E的余弦值为巫

3

法二：由（1）知E4,EB,EF两两相互垂直，

如图，以点E为原点，EA,EB,E尸所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系£一刀严，

则3(0,72,0),0(72,0,2),£(0,0,0),F(0,0,2).

由（1）知BE1平面。E凡故平面OE尸的法向量可取为而=（0,、汇,0）.

设平面BDF的法向量为%=（x,y,z）,由丽=（—正,0,0）,BF=（0,-V2,2）,

n-DF-0[—yfix=0x=0

得——，即「

n-BF=Q[-y/2y+2z=0y=&z

取z=l，得）=（0,&,l）

设二面角8—£）尸一E的平面角为0,

则|cosq=辰伍丽户07=1=亲明=半，

由图可知。为锐角，所以二面角8-OF-E的余弦值为工

3

19.已知正项数列｛4｝,其前〃项和S“满足a”（2S,,—a“）=15wN*）.

（1）求证：数列｛S；｝是等差数列，并求出S“的表达式；

,1111

（2）数列｛4｝中是否存在连续三项4,ak+i,使得一，——，六构成等差数列？请说明理由.

a

k4+1%2

【19~20题答案】

【答案】（1）证明见解析，S“=品;

（2）不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据给定递推公式，结合“当”22时，4=5“一S“T”建立S“与S,T的关系即可推理作答.

（2）由（1）求出勺，利用反证法导出矛盾，推理作答.

小问1详解】

依题意，正项数列｛4｝中，a；=l,即q=l,当〃22时，q=S“—S,i，即

⑸―SQ[2S厂⑸一Sz）]=l,

整理得S：—S3=l，又S；=a；=l,因此，数列｛S；｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

则S：=〃，因为｛q｝是正项数列，即S“>0,

所以S“=〃.

【小问2详解】

不存在，

当〃之2时，an=Sn—Sn_｝=Vn—Vn—1,又a1=1,即wN",都有an—G-Jn-1,

则—=-j=—/=+1,

\Jn

111

假设存在满足要求的连续三项%,%+1，卬+2，使得一，一，一构成等差数列，

Clkak+\ak+2

则2（>/欠+1+\[k）=y[k+yjk—1+J>+2+dk+\»即1k+1+\[k-Nk-1++2，

两边同时平方，得A+l+A+2jTTT4=A—l+A+2+2jnijm，即（左+1）攵=/-1）（2+2）,

整理得：/+k=/+k—2,即0=—2,显然不成立，因此假设是错误的,

所以数列｛4｝中不存在满足要求的连续三项.

20.小王每天17：00—18：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种.

已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当

天参加各类运动项目的概率如下表：

当天

刖一天

篮球羽毛球游泳

篮球0.50.20.3

羽毛球0.30.10.6

游泳0.30.60.1

（1）已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动可能性最大?

（2）已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：

运动项目篮球羽毛球游泳

能量消耗/卡500400600

求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望.

[20-21题答案】

【答案】（1）第三天打羽毛球的可能性最大

（2）分布列见解析，期望为1428卡

【解析】

【分析】（1）根据小王第一天打羽毛球，可得到第二天分别参加哪项运动的概率，由此在分别计算第三天参

加各项运动的可概率，比较可得答案；

（2）求出运动能量消耗总数的可能的取值，计算出每种可能对应的概率，可得前三天参加体育运动能量

消耗总数的分布列，根据期望的计算公式，求得期望.

【小问1详解】

用A,B,C分别表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目，用4（A）,,己（C）（"wN*）分别表示第

〃天小王进行4,B,C三种运动项目的概率.

因为小王第一天打羽毛球，

所以第2天小王做三项运动的概率分别为鸟(A)=0.3,4(6)=0.1,2(C)=0.6.

第3天小王做三项运动的概率分别为A(A)=A(A)x0.5+£(8)x0.3+6(C)x0.3=0.36,

6(8)=6(A)x0.2+6(6)x0.1+6(C)x0.6=0.43,

4(C)=鸟(A)x0.3+g(8)x0.6+6(。)x0.1=0.21,

所以小王第三天打羽毛球的可能性最大.

【小问2详解】

小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：BAA,BAB,BAC,BBA,BBB、BBC、BCA,

BCB、BCC共9种，

运动能量消耗总数用X表示，有1200,1300,1400,1500,1600共5种可能，

P(X=1200)=P(BBB)=0.1x0.1=0.01,

产(X=1300)=P(BAB)+P(BBA)=0.3x0.2+0.1x0.3=0.09,

P(X=1400)=P(BAA)+P(BBC)+P(BCB)=0.3x0.5+0.1x0.6+0.6x0.6=().57,

P(X=1500)=P(BAC)+P(BCA)=().3x0.3+0.6x().3=().27,

P(X=1600)=P(BCC)=0.6x0.1=0.06,

所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的分布列为

X12001300140015001600

P0.010.090.570.270.06

能量消耗总数X的期望

E(X)=12(X)x0.01+1300x0.09+1400x0.57+1500x0.27+16(X)x0.06=1428(卡)

所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的期望为1428卡.

21.已知/(x)=lnx+av+l(aeR),/"(x)为/(x)的导函数.

(1)若对任意x＞0都有求。的取值范围；

(2)若0＜占＜%,，证明：对任意常数存在唯一的不€(石,%)，使得了'(X。)=成

立.

【21~22题答案】

【答案】⑴（9,-1]

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（I）通过分离变量的方式得到a«g（x）=—XH,利用导数可求得gGUin，由此可得。的范

X

围；

（2）将问题转化为/?（x）=r（x）-丛上/SD在区间（百,羽）上有唯一的零点，由解析式可确定

X]-％2

〃（x）在（玉,工2）上单调递减；结合⑴的结论知Inx-x+lWO,进而得到〃（xJ>0,h（x2）<Q,由

零点存在定理可证得结论.

【小问1详解】

由/（x）WO得：ax<-\nx-l,即aW-生出.；

X

人/、lnx+1e，/、\nx

令g（x）=-------，则g（x）=F，

XX

.,.当XG（O,1）时,g<x）<0；当XG（l,+oo）时,/（x）>0；

.•.g（x）在（0,1）上单调递减,在（1,+8）上单调递增，.••g（x）mi,,=g（l）=-1,

:.a<-\,即。的取值范围为（一8,-11

【小问2详解】

设/?（x）=/'（*）_）（，）_/（/）,将问题转化为/i（x）在区间（4乙）上有唯一的零点，

不一X?

由&）f（*2）=+内+叫二In/二办2,知〃（x）在区间（玉,々）上单调递

减，故函数/z（x）在区间（X，%）上至多有1个零点，

•.•/依）-1Sln*+g-】nx「以2一111工211nx2],

1

X]X{-X2XyXj-x2x1-x2（x1

小）=±+a_lnx,+ax,-lnx2-ax21lnx,-lnx2^1（土告卜五],

x2Xj—X2X2Xj—X2Xj—x2x2xx）

由（1）知：当。=—1时，lnx-x+l<0（当且仅当x=l时取等号）,

0<X）<x2,>1,In———+1<0,又再一/VO，即------<0，

•：0<X<x,,.,.0<^-<1,.,.ln土一土+l<0,即ln±+±-l>0,

x2x2x2再x2

又玉一工2<0，即^~~—<0,/?（^2）<0,

由函数零点存在定理知：Mx）在区间（不入2）上有唯一的零点，即存在唯一的玉）£（不々），使得

个）=〃6/⑸成立.

%一乙

【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中应用，本题第二问证明的关键是能够将问题转化为

〃（力=r（t），（'）二：/（&）在区间（X},x2）上有唯一的零点的证明问题，从而能够结合零点存在定理

X一次2

进行证明.

22

22.已知椭圆C:三+[=1（。>人>0）,其右焦点为尸（百,0）,点M在圆/+/=从上但不在丁轴上，

ab

过点河作圆的切线交椭圆于P,。两点，当点M在x轴上时，|PQ|=6.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当点〃在圆上运动时，试探究△FPQ周长的取值范围.

[22-23题答案】

2

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）[4,8]

【解析】

【