2023高考数学高考题

2023高考数学高考题2023高考数学高考题：解二元一次方程组

已知二元一次方程组：

$\left\{

\begin{array}{cl}

ax+by=c\quad(1)\\

dx+ey=f\quad(2)

\end{array}

\right.$

(1)如果a，b，c，d，e，f都是实数，且a和d不同时为0，求证(1),(2)方程组有唯一解。

(2)对于任意实数a，b，c，d，e，f，解释(1),(2)方程组无解、无穷多解的情况。

解答：

(1)要证明方程组(1),(2)有唯一解，即证明解的存在性和唯一性。

首先，考虑方程组的解的存在性。

将方程组(1),(2)转化为矩阵形式：

$\begin{pmatrix}

a&b\\

d&e

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}

x\\

y

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}

c\\

f

\end{pmatrix}$

设$A=\begin{pmatrix}

a&b\\

d&e

\end{pmatrix}$为系数矩阵，$X=\begin{pmatrix}

x\\

y

\end{pmatrix}$为未知数向量，$B=\begin{pmatrix}

c\\

f

\end{pmatrix}$为常数向量。则方程组可以表示为$AX=B$。

由于$a$和$d$不同时为0，则系数矩阵A可逆。即存在逆矩阵$A^{-1}$，使得$AA^{-1}=A^{-1}A=I$。

左乘逆矩阵$A^{-1}$得到$A^{-1}AX=A^{-1}B$，即$IX=A^{-1}B$，即$X=A^{-1}B$。

所以解的存在性得到证明。

接下来，考虑方程组的解的唯一性。

设$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$是方程组(1),(2)的两个解。

则分别代入方程组可得：

$\left\{

\begin{array}{cl}

ax_1+by_1=c\quad(3)\\

dx_1+ey_1=f\quad(4)

\end{array}

\right.$

$\left\{

\begin{array}{cl}

ax_2+by_2=c\quad(5)\\

dx_2+ey_2=f\quad(6)

\end{array}

\right.$

将式(3)乘以e，式(4)乘以b，并将结果相减，得到$ae(x_1-x_2)+bd(y_1-y_2)=ce-bf$（7）。

由于$a$和$d$不同时为0，所以$ad\neq0$，因此(7)两边都除以$ad$得到$e(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)=\frac{ce-bf}{ad}$。

假设存在某个数k使得$x_1-x_2=k$，$y_1-y_2=\frac{ce-bf}{ad}-ke$。

则可以得到$(x_1,y_1)=(k+\frac{ce-bf}{ad},k\frac{ce-bf}{ad}-ke+\frac{ce-bf}{ad})$。

因此，对于任意$k$，方程组的解$(x,y)$都可以表示为$(k+\frac{ce-bf}{ad},k\frac{ce-bf}{ad}-ke+\frac{ce-bf}{ad})$。

也就是说，方程组的解是无穷多个。因此，方程组(1),(2)无解。

综上所述，方程组(1),(2)有唯一解的充要条件是系数矩阵可逆。

(2)方程组(1),(2)无解的情况主要有两种：

a.系数矩阵不可逆，即$ad-be=0$。此时，方程组(1),(2)无解。

b.系数矩阵可逆，但常数向量B不属于系数矩阵的列空间。此时，方程组(1),(2)无解。

方程组(1),(2)有无穷多解的情况主要出现在系数矩阵可逆，且常数向量B属于系数矩阵的列空间，但系数矩阵的秩小于2的情况。此时，方程组(1),(2)有无穷多