11.3.1多边形课件人教版数学八年级上册

11.3多边形及其内角和11.3.1多边形人教版数学八年级上册多边形的定义及相关概念观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.什么是三角形？由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.探究新知知识点1问题1：问题2：【思考】

比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.

多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.探究新知内角：多边形相邻两边组成的角.根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角．顶点边外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.探究新知问题3：（1）（2）

如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.ABCDEFGH此类多边形被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧是凹多边形.探究新知问题4：请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结论？例1

凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，如图所示.素养考点1多边形的截角问题探究新知探究新知一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.归纳总结①从所截角的两边截，边数增加1.②从所截角的相邻两角的顶点截，边数减少1.③从所截角的一边及相邻角的顶点截，边数不变.1.

下列图形包含了哪些多边形？六边形四边形五边形和六边形巩固练习多边形的对角线ABCDE定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

线段AC是五边形ABCDE的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示.知识点2探究新知三角形六边形四边形八边形……五边形请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：多边形三角形四边形五边形六边形八边形n边形从同一顶点引出的对角线的条数分割出的三角形的个数01235n-312346n-2探究新知从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.n(n≥3)边形共有对角线条.探究新知归纳总结例2过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多边形的边数．解：设这个多边形为n边形，则有(n-3)条对角线，所分得的三角形个数为n-2，∴n-3+n-2=21，解得n=13．答：该多边形的边数有13条．素养考点2利用多边形的对角线相关公式求边数探究新知2.画一画：画出下列多边形的全部对角线.巩固练习3.观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，解答下列问题：十边形有多少条对角线？n边形呢？巩固练习解：∵四边形的对角线条数为4×(4－3)×＝2.五边形的对角线条数为5×(5－3)×＝5.六边形的对角线条数为6×(6－3)×＝9.∴十边形的对角线条数为10×(10－3)×＝35.n边形的对角线条数为n(n－3).巩固练习正多边形的概念定义像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形.正三角形正方形正五边形正六边形知识点3探究新知下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？（四条边都相等）（四个角都相等）答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等.

判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备.注意探究新知想一想4.下列属于正多边形的特征的有(

)①各边相等；②各个内角相等；③各个外角相等；④各条对角线都相等；⑤从一个顶点引出的对角线将n边形分成面积相等的(n－2)个三角形．A．2个B．3个C．4个

D．5个B巩固练习

通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是_________度．连接中考巩固练习解析：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．所以该多边形的内角和是3×180°=540°．5401.下列多边形中，不是凸多边形的是（）ABCDB基础巩固题课堂检测2.九边形的对角线有（）A.25条

B.31条

C.27条

D.30条C课堂检测基础巩固题3.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）六边形

B.五边形C.四边形

D.三角形A1.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是

边形.十三2.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成

个三角形.六能力提升题课堂检测过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，则(m－k)n为多少？解：∵m＝10，n＝3，k＝5.∴(m－k)n＝(10－5)3＝53＝125.课堂检测拓广探索题多边形定义前提条件是在一个平面内对角线它是多边形的一条重要线段，在今后通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的问题正多边形定义既是判定也是性质课堂小结定义用途公式连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线从一个顶点出发的对角线的总条数（n-3）条，多边形对角线的总条数你知道长方形和正方形的内角和是多少度？

三角形内角和是多少度？三角形内角和是180°.都是360°.猜想任意四边形的内角和是多少度？

多边形的内角和探究新知知识点1问题1：问题2：问题3：猜想：四边形ABCD的内角和是360°.你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？解法一：如图，连接AC，所以四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.ABCD探究新知猜想与证明问题4：解法二：如图，在CD边上任取一点E，连接AE，DE，所以该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3–180°

=360°.ABCDE探究新知解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE，BE，CE，DE，把四边形分成四个三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.所以四边形ABCD内角和为：180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4–360°=360°.ABCDE探究新知ABCDP解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD内角和为180°×3–180°=360°.这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.结论：

四边形的内角和为360°.探究新知例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2)×180°=360°，因为∠B＋∠D=360°–（∠A＋∠C）=360°–

180°=180°.所以ABCD如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.素养考点1运用四边形内角和定理进行证明或计算探究新知1.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．巩固练习解：连接BE.∵∠DOB＝∠C＋∠D，∠DOB＝∠CBE＋∠DEB，∴∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F.∵在四边形ABEF中，∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝(4–2)×180°＝360°，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝360°.ACDEBABCDEF你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?内角和为180°×3=540°.内角和为180°×4=720°.探究新知问题5：n边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出三角形的个数从多边形的一顶点引出的对角线条数图形边数······0n–31231234n–2（n–2）·180º1×180º=180º2×180º=360º3×180º=540º4×180º=720º························由特殊到一般

探究新知分割多边形三角形分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部转化思想多边形的内角和公式n边形内角和等于(n–2)×180°.注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数.探究新知

归纳总结例2一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则（n–2）•180=360+720，解得n=8，∵这个多边形的每个内角都相等，（8–2）×180°=1080°，∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．素养考点2利用多边形内角和公式求角度或边数探究新知2.根据多边形的内角和完成下列题目.(1)一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是(

)A．4条B．5条C．6条D．7条(2)若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是(

)A．900°B．540°C．1080°D．360°(3)若一个多边形增加一条边，那么它的内角和(

)A．增加180°B．增加360°C．减少360°D．不变CCA巩固练习例3已知n边形的内角和θ=（n–2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；解：∵360°÷180°=2，

630°÷180°=3......90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，

360°÷180°+2=4．故甲同学说的边数n是4；探究新知（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．解：依题意有（n+x–2）×180°–（n–2）×180°=360°，解得x=2．故x的值是2．探究新知3.如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．分析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C，∠D，∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求得∠P的度数．巩固练习解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∴∠EAB+∠ABC=540°–∠C–∠D–∠E=230°.∵AP平分∠EAB，∴∠PAB＝∠EAB，同理可得∠ABP＝∠ABC，∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°–∠PAB–∠PBA=180°−(∠EAB+∠ABC)=180°−×230°=65°．巩固练习241324132413241324132413241324132413241324132413用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？

探究新知多边形的外角和如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？EBCD123

45A互补5×180°=900°知识点2探究新知EBCD123

45A五边形外角和=360°=5个平角–五边形内角和=5×180°–(5–2)×180°结论：五边形的外角和等于360°.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？探究新知在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和n边形的外角和等于360°.–(n–2)×180°=360°=n个平角–n边形内角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1思考：n边形的外角和又是多少呢？与边数无关探究新知回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是练一练：(1)若一个正多边形的内角是120°，那么这是正____边形.(2)已知多边形的每个外角都是45°，则这个多边形是______边形.六正八探究新知例4

已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.解：设多边形的边数为n.∵它的内角和等于(n–2)•180°，多边形外角和等于360°，∴(n–2)•180°=2×360º.解得

n=6.∴这个多边形的边数为6.素养考点3多边形的内角和公式和外角和公式的综合应用探究新知例5已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.解法一：设这个多边形的内角为7x

°，外角为2x°，根据题意得7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140°，每个外角是40°.360°÷40°=9.答：这个多边形是九边形.还有其他解法吗？探究新知解法二：设这个多边形的边数为n

，根据题意得解得n=9.答：这个多边形是九边形.探究新知4.如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数．解：由题意得AB=AE，所以∠AEB=(180°–∠A)=36°，所以∠BED=∠AED–∠AEB=108°–36°=72°.巩固练习1.已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（）A．6

B．7

C．8

D．9连接中考巩固练习解析：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，则这个正多边形的边数是：360°÷40°=