4.2.1等差数列的概念（第1课时）（教学设计）（人教A版2019选择性必修第二册）

.2.1等差数列的概念第1课时教学设计课时教学内容等差数列的概念,等差数列的通项公式及应用,等差数列的通项公式的推导.课时教学目标理解等差数列、等差中项的概念.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.掌握等差数列的判断与证明方法．教学重点、难点重点：掌握等差数列的通项公式、理解等差数列及等差中项的概念．难点：等差数列的通项公式推导及应用、掌握等差数列的判定方法.教学过程设计环节一创设情境，引入课题【实际情境】（1）1896年，雅典举行了第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会。观察奥运会举办的年份所对应的数列：

1896，1900，1904，…，2008，2012，（

）

你能预测出第33届奥运会的时间吗？学生口答：2024.2024如何预测出来的？

根据已有数的规律，每两个相邻数之间相差4，而且后一个数总比前一个数多4.

【设计意图】创设奥运会的数学情境，以问题为导向，这样的导入贴近学生的实际生活，引起学生极大的兴趣.用这一实例，借助于实际意义让学生感受“等差数列”的问题是自然、清楚、明白的.【实际情境】下面，我们再来观察几个生活当中的数列.引入三个生活问题中的数列：

(2)2000年女子举重4个体重级别：48,53,58,63.(3)各年末本利和（存100元）：104.25,108.5,112.75,117,121.25，……(4)气温随高度的变化/km：28,21.5,15,8.5,2,-4.5.【设计意图】由生活情境的多个数列引出下面的探究问题.我们知道，数列是一种特殊的函数．在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型．类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用．下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手．环节二观察分析，感知概念请看下面几个问题中的数列．1．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81． ①2．S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38，40，42，44，46，48． ②3．测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③4．某人向银行贷款万元，贷款时间为年．如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为，，，，…． ④如果按月还款，等额本金还款方式的计算公式是每月归还本金=贷款总额÷贷款期总月数，利息部分=（贷款总额一已归还本金累计额）×月利率．对于①，我们发现，，…，，换一种写法，就是，，…，．改变表达方式使数列的取值规律更突出了．如果用表示数列①，那么有，，…，．这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．数列②~④也有这样的取值规律．环节三抽象概括，形成概念思考在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律．例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变化规律．类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？问题1：什么是等差数列？一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmeticprogression），这个常数叫做等差数列的公差（commondifference），公差通常用字母表示．例如，数列①的公差．由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，叫做与的等差中项（arithmeticmean）．根据等差数列的定义可以知道，．在日常生活中，人们常常用到等差数列．例如，在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级（如前面例子中的上衣尺码）．你能举出一些例子吗？问题2：如何求an？探究你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？

追问1：如果已知一个等差数列的首项是a1，公差是d

，那么这个数列的通项an能求出来吗？设一个等差数列的首项为，公差为．根据等差数列的定义，可得，就是等差数列的递推公式．所以，，，…．于是……归纳可得．当时，上式为．这就是说，上式当时也成立．注：需要特别强调的是，由猜想归纳得出这个通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，严格的证明需要——数学归纳法，将在以后学习.

因此，首项为，公差为的等差数列的通项公式为．这种求通项公式的方法叫累加法,是探讨数列通项的一种常见方法.后续的学习还会继续研究.我们在这里的要求是:需要你记住这个公式，它是解决等差数列通项公式的主要方法.

说明：通项公式中，有四个量:首项a1，公差d，序号n和第n项an，知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一

.

环节四辨析理解深化概念思考观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？由于，所以当时，等差数列的第项是一次函数当时的函数值，即．如图4.2-1，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为，截距为的直线．在这条直线上描出点，，…，，…，就得到了等差数列的图象．事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上．反之，任给一次函数（为常数)，则，，…，，…，构成一个等差数列，其首项为，公差为．下面，我们利用通项公式解决等差数列的一些问题．环节五概念应用，巩固内化例1（1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项．（2）求等差数列8，5，2，…的第20项．分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由即可求出公差；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项．解：（1）当时，由的通项公式，可得．于是．把代入通项公式，得．所以，的公差为，首项为3．（2）由已知条件，得．把，代入，得．把代入上式，得．所以，这个数列的第20项是．说明：这道题是在等差数列通项公式的四个量中，知道a1，d,n,求an.体现了等差数列通项公式中“知三求一”的方程思想例2是不是等差数列的项？如果是，是第几项?分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于的方程，再看是否能使这个方程有正整数解．解：由，，得这个数列的通项公式为令解这个关于的方程，得．所以，是这个数列的项，是第100项．【设计意图】让学生体会并总结：判断一个数是否为数列的项，只须令通项公式等于这个数，得到关于n的方程。若方程有正整数解，则它就是，否则不是。

环节六归纳总结,反思提升问题3：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：1.本节课学习的概念有哪些？2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？1．知识清单：(1)等差数列的有关概念．(2)等差数列的通项公式．(3)等差数列的判定与证明．2．方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法．3．常见误区：在具体应用问题中项数不清．环节七 目标检测，作业布置完成教材：教材第15页第123题练习（第15页）1．判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差．（1）95，82，69，56，43，30；（2）1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111；（3）1，，3，，5，；（4）1，，，，，，．解：（1）由，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为；（2）通过观察可知，，，…，该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（3）通过观察可知，，，…，该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（4）由，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为．2．求下列各组数的等差中项：（1）647和895； （2）和．2．解析：（1）等差中项为；（2）等差中项为．3．已知是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数．82解：对第一行：由题意得，，，，利用等差数列性质知，解得：；又，解得：．对第二