高考数学一轮复习 第五章 数列 5.5 数列的综合应用课时提升作业 理试题

数列的综合应用(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2014·北京高考)设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.当a1<0,q>1时,{an}是递减数列;当{an}为递增数列时,a1<0,0<q<1或a1>0,q>1.因此,“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.【加固训练】(2016·南昌模拟)在公差不为0的等差数列{an}中,2a3-QUOTE+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=()A.2 B.4 C.8 D.16【解析】选D.因为{an}是等差数列,所以a3+a11=2a7,所以2a3-QUOTE+2a11=4a7-QUOTE=0,解得a7=0或4,因为{bn}为等比数列,所以bn≠0,所以b7=a7=4,b6b8=QUOTE=16.2.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于()A.n(2n+3) B.n(n+4)C.2n(2n+3) D.2n(n+4)【解析】选A.由题意可设f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n=n(2n+3).3.(2016·大同模拟)已知正项等差数列{an}满足:an+1+an-1=QUOTE(n≥2),等比数列{bn}满足:bn+1bn-1=2bn(n≥2),则log2(a2+b2)=()A.-1或2 B.0或2C.2 D.1【解析】选C.由题意可知,an+1+an-1=2an=QUOTE,解得an=2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数),又bn+1bn-1=QUOTE=2bn(n≥2),所以bn=2(n≥2),log2(a2+b2)=log24=2.4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的QUOTE是较小的两份之和,问最小的一份为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,所以a=20,由QUOTE(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,解得d=QUOTE,所以最小1份为a-2d=20-QUOTE=QUOTE.5.(2016·洛阳模拟)在1到104之间所有形如2n和3n(n∈N*)的数,它们各自之和的差的绝对值为()A.1631 B.6542C.15340 D.17424【解析】选B.由2n<104,得n<QUOTE≈QUOTE≈13.29,故数列{2n}在1到104之间的项共有13项,它们的和S1=QUOTE=16382;同理数列{3n}在1到104之间的项共有8项,它们的和S2=QUOTE=9840,所以|S1-S2|=6542.【加固训练】1.将正奇数数列QUOTE各项从小到大依次排成一个三角形数阵:135791113151719……………记M(s,t)表示该表中第s行的第t个数,则表中的奇数2007对应于()A.M(45,14) B.M(45,24)C.M(46,14) D.M(46,15)【解题提示】先求出2007在原数列中的位置后再求解.【解析】选A.由表知前n行共有1+2+3+…+n=QUOTE项,当n=44时有990项,又表中的奇数2007是原数列的第1004项,因此2007位于表中第45行的第14个位置.2.(2016·成都模拟)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|<QUOTE的最小整数n的值为()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】选C.由已知式子变形得3(an+1-1)=-(an-1),则{an-1}是以8为首项,-QUOTE为公比的等比数列,则|Sn-n-6|=|an-1+an-1-1+…+a1-1-6|=QUOTE=6×QUOTE<QUOTE,化简得3n-1>250,故满足条件的最小整数n的值为7.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·茂名模拟)各项都是正数的等比数列QUOTE的公比q≠1,且a2,QUOTEa3,a1成等差数列,则QUOTE的值为.【解析】{an}的公比为q(q>0且q≠1),由a3=a2+a1,得q2-q-1=0,解得q=QUOTE,而QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.(2016·常德模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*都有Sn=QUOTEan-QUOTE,若1<Sk<9(k∈N*),则k的值为.【解析】因为Sn=QUOTEan-QUOTE,所以S1=QUOTEa1-QUOTE=a1,a1=-1.an=Sn-Sn-1(n>1),即an=QUOTE-QUOTE=QUOTEan-QUOTEan-1,整理得:QUOTE=-2(n>1),所以{an}是首项为-1,公比为-2的等比数列,Sk=QUOTE=QUOTE,因为1<Sk<9,所以1<QUOTE<9,即4<(-2)k<28,仅当k=4时成立.答案:48.(2016·新乡模拟)如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项(如下表所示),按如此规律下去,则a2017+a2018+a2019=.a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6【解析】a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4等,这个数列的规律是奇数项为1,-1,2,-2,3,-3,…,偶数项为1,2,3,…,故a2017+a2019=0,a2018=1009.答案:1009(20分钟40分)1.(5分)(2016·福州模拟)已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则QUOTE+QUOTE等于()A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选C.由题意得b2=ac,2m=a+b,2n=b+c,则QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2.【一题多解】解答本题,还有以下解法:特殊值法:选C.因为a,b,c成等比数列,所以令a=2,b=4,c=8,又a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则m=QUOTE=3,n=QUOTE=6,因此QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=2.2.(5分)学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查表明,凡是在这星期一选A菜的,下星期一会有20%改选B菜;而选B菜的,下星期一会有30%改选A菜,用an表示第n个星期一选A菜的人数,如果a1=428,则a4的值为()A.324 B.316 C.304 D.302【解析】选B.依题意有:an=QUOTEan-1+QUOTE(500-an-1)=QUOTEan-1+150(n≥2,n∈N*),即an-300=QUOTE(an-1-300)(n≥2,n∈N*),an=128·QUOTE+300,因此a4=128·QUOTE+300=316.【加固训练】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(单位:万件)近似地满足Sn=QUOTE(21n-n2-5)(n=1,2,…,12).按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是()A.5月,6月 B.6月,7月C.7月,8月 D.8月,9月【解析】选C.设第n个月的需求量为an,因为从年初开始的n个月内累积的需求量为Sn(n=1,2,3,…,12).所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=QUOTE(21n-n2-5)-QUOTE[21·(n-1)-(n-1)2-5]=QUOTE(-n2+15n-9).当n=1时,a1=S1=QUOTE,适合上式,综上可知,an=QUOTE(-n2+15n-9).令an>1.5,即QUOTE(-n2+15n-9)>1.5,解得6<n<9.又n的取值为1,2,3,…,12,所以n=7或n=8.3.(5分)(2016·太原模拟)已知函数f(x)=log2x,若数列{an}的各项使得2,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+4成等差数列,则数列{an}的前n项和Sn=.【解析】设等差数列的公差为d,则由题意,得2n+4=2+(n+1)d,解得d=2,于是log2a1=4,log2a2=6,log2a3=8,…,从而a1=24,a2=26,a3=28,….易知数列{an}是等比数列,其公比q=QUOTE=4,所以Sn=QUOTE=QUOTE(4n-1).答案:QUOTE(4n-1)4.(12分)(2016·怀化模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=QUOTE,an=-2Sn·Sn-1(n≥2).求证:QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≤QUOTE-QUOTE.【证明】因为an=-2Sn·Sn-1(n≥2),所以Sn-Sn-1=-2Sn·Sn-1(n≥2).两边同除以Sn·Sn-1,得QUOTE-QUOTE=2(n≥2),所以数列QUOTE是以QUOTE=QUOTE=2为首项,以d=2为公差的等差数列,所以QUOTE=QUOTE+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n,所以Sn=QUOTE.将Sn=QUOTE代入an=-2Sn·Sn-1,得an=QUOTE因为QUOTE=QUOTE<QUOTE=QUOTE(n≥2),QUOTE=QUOTE,所以当n≥2时,QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE-QUOTE;当n=1时,QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE.综上,QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≤QUOTE-QUOTE.【加固训练】(2016·唐山模拟)已知公差不为0的等差数列QUOTE的前n项和为Sn,S5=25,且a2,a5,a14成等比数列.(1)求数列QUOTE的通项公式.(2)设bn=QUOTE,Tn=b1·b2·b3·…·bn,求证:Tn≥QUOTE.【解析】(1)设公差为d(d≠0),因为S5=25,所以5a1+QUOTEd=25,即a1+2d=5.因为a2,a5,a14成等比数列,所以(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,即6a1d-3d2=0.因为d≠0,所以d=2a1,所以a1=1,d=2.则an=a1+(n-1)d=2n-1.(2)因为bn=QUOTE=QUOTE,所以Tn=b1·b2·b3·…·bn=QUOTE×QUOTE×QUOTE×…×QUOTE.因为QUOTE>QUOTE,n∈N*,所以当n≥2时,QUOTE=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×…×QUOTE×QUOTE>QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×…×QUOTE×QUOTE=QUOTE.即Tn>QUOTE,n≥2.又当n=1时,T1=QUOTE≥QUOTE=QUOTE成立,综上,当n∈N*时,Tn≥QUOTE成立.5.(13分)(2016·宜昌模拟)我们在下面的表格内填写数值:先将第1行的所有空格填上1;再把一个首项为1,公比为q的数列QUOTE依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格.第1列第2列第3列…第n列第1行11