高考数学一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念与简单表示法课时提升作业 理试题

数列的概念与简单表示法(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列QUOTE的第k项为1+QUOTED.数列0,2,4,6,…可记为{2n}【解析】选C.根据数列的定义与集合定义的不同可知A,B不正确,D项{2n}中首项为2,故不正确,C中an=QUOTE,所以ak=1+QUOTE.【加固训练】已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3()A.不是数列{an}中的项B.只是数列{an}中的第2项C.只是数列{an}中的第6项D.是数列{an}中的第2项或第6项【解析】选D.令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6项.2.(2016·武汉模拟)数列0,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…的一个通项公式为()A.an=QUOTE(n∈N*)B.an=QUOTE(n∈N*)C.an=QUOTE(n∈N*)D.an=QUOTE(n∈N*)【解析】选C.将0写成QUOTE,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),n∈N*;分母为奇数列,可表示为2n-1,n∈N*.3.(2016·洛阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2等于()A.4 B.2 C.1 D.-2【解析】选A.由题可知Sn=2(an-1),所以S1=a1=2(a1-1),解得a1=2.又S2=a1+a2=2(a2-1),解得a2=a1+2=4.4.(2016·岳阳模拟)数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=()A.3×44 B.3×44+1C.44 D.44+1【解析】选A.由an+1=3Sn,得到an=3Sn-1(n≥2),两式相减得:an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,则an+1=4an(n≥2),又a1=1,a2=3S1=3a1=3,得到此数列除去第一项后,为首项是3,公比为4的等比数列,所以an=a2qn-2=3×4n-2(n≥2),则a6=3×44.【加固训练】数列{an}中,a1=1,对所有的n∈N*,都有a1a2a3…an=n2,则a3+a5=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为a1a2a3…an=n2,所以a1a2a3…an-1=(n-1)2(n≥2),所以an=QUOTE=QUOTE(n≥2),所以a3=QUOTE,a5=QUOTE,所以a3+a5=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE.5.在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则QUOTE的值是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由已知得a2=1+(-1)2=2.所以a3·a2=a2+(-1)3,所以a3=QUOTE.所以QUOTEa4=QUOTE+(-1)4,所以a4=3.所以3a5=3+(-1)5,所以a5=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.6.已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增,则k的取值范围是()A.(-∞,2] B.(-∞,3)C.(-∞,2) D.(-∞,3]【解析】选B.因为an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增,所以an+1-an>0对∀n∈N*都成立,又an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,所以由2n+1-k>0,即k<2n+1恒成立可知k<(2n+1)min=3.【误区警示】本题在求解过程中常犯“an是关于n的二次函数,若{an}单调递增,则必有QUOTE≤1,k≤2”的错误.出错的原因是忽视了数列作为函数的特殊性即自变量是正整数.【加固训练】已知数列{an}的通项公式是an=QUOTE,那么这个数列是()A.递增数列 B.递减数列C.摆动数列 D.常数列【解析】选A.因为an+1-an=QUOTE-QUOTE=QUOTE>0,所以an+1>an,数列{an}为递增数列.7.(2016·大同模拟)设数列QUOTE的前n项和为Sn,且a1=1,QUOTE为常数列,则an=()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解题提示】将Sn转化为an与an-1,再求解.【解析】选B.由题意知,Sn+nan=2,当n≥2时,Sn-1+(n-1)an-1=2,两式相减得(n+1)an=(n-1)an-1,即QUOTE=QUOTE,从而QUOTE·QUOTE·QUOTE·…·QUOTE=QUOTE·QUOTE·…·QUOTE,有an=QUOTE,当n=1时上式成立,所以an=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)8.数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=.【解析】a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把n换成n-1得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相减整理得an=3n.答案:3n9.(2016·常德模拟)在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),则a2016等于.【解析】由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,….由此可得a2016=a336×6=a6=-4.答案:-4【一题多解】本题还可以采用如下解法:an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1,两式相加可得an+3=-an,an+6=an.所以a2016=a336×6=a6=-4.答案:-4【加固训练】已知数列{an}中,a1=b(b为任意正数),an+1=-QUOTE(n=1,2,3,…),能使an=b的n的数值是()A.14 B.15 C.16 D.17【解析】选C.a1=b,a2=-QUOTE,a3=-QUOTE,a4=b,所以此数列的周期为3,故选C.10.已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则QUOTE的最小值为.【解析】因为an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2·(n-1)+2(n-2)+…+2×1+33=n·(n-1)+33,所以QUOTE=n+QUOTE-1≥2QUOTE-1,当且仅当n=QUOTE时,“=”成立.又因为n∈N*,因此当n=6时,QUOTE=6+5.5-1=10.5.答案:10.5【加固训练】(2016·龙岩模拟)如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第(n)个图案中需用黑色瓷砖块.(用含n的代数式表示)【解析】第(1),(2),(3)…个图案黑色瓷砖数依次为:15-3=12;24-8=16;35-15=20;…由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为:12+(n-1)×4=4n+8.答案:4n+8(20分钟40分)1.(5分)(2016·石家庄模拟)已知数列{an}满足:a1=QUOTE,对于任意n∈N*,an+1=QUOTEan(1-an),则a2017-a2016=()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选D.a1=QUOTE,a2=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,a3=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,a4=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,…,归纳可知,当n为大于1的奇数时,an=QUOTE;当n为正偶数时,an=QUOTE,故a2017-a2016=QUOTE-QUOTE=QUOTE.2.(5分)(2016·龙岩模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=-QUOTE,且满足Sn+QUOTE+2=an(n≥2),则S2016等于()A.-QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.因Sn+QUOTE+2=an=Sn-Sn-1(n≥2)⇒Sn-1+QUOTE=-2(n≥2),由已知可得,S1+QUOTE=-2⇒S2=-QUOTE,S2+QUOTE=-2⇒S3=-QUOTE,S3+QUOTE=-2⇒S4=-QUOTE,…可归纳出S2016=-QUOTE.3.(5分)(2016·揭阳模拟)设数列{an}满足:a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n=4,5,…),则a2017=.【解析】由于a1=1,a2=4,a3=9,则a4=a3+a2-a1=12,a5=a4+a3-a2=17,a6=a5+a4-a3=20,a7=a6+a5-a4=25,…,归纳可知an=an-2+8,即数列{an}的奇数项、偶数项均是以公差为8的等差数列,则a2017=a1+1008d=8065.答案:8065【加固训练】(2015·安阳模拟)某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点Pk(xk,yk)处,其中x1=1,y1=1,当k≥2时,T(a)表示非负实数a的整数部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案第2016棵树种植点的坐标应为.【解题提示】由已知分别利用累加法求出xk,yk,进而求x2016,y2016.【解析】根据题意,x1=1,x2-x1=1-5TQUOTE+5TQUOTE,x3-x2=1-5TQUOTE+5TQUOTE,x4-x3=1-5TQUOTE+5TQUOTE,…xk-xk-1=1-5TQUOTE+5TQUOTE,将上述k个式子相加得,xk=k-5TQUOTE,所以x2016=2016-5TQUOTE=2016-5×403=1,同理,由y1=1,y2-y1=TQUOTE-TQUOTE,y3-y2=TQUOTE-TQUOTE,y4-y3=TQUOTE-TQUOTE,…yk-yk-1=TQUOTE-TQUOTE,将上述k个式子相加得,yk=1+TQUOTE,所以y2016=1+TQUOTE=1+403=404,所以第2016棵树种植点的坐标为(1,404).答案:(1,404)4.(12分)已知数列{an}的通项an=(n+1)QUOTE(n∈N*).试问该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.【解析】因为an+1-an=(n+2)QUOTE-(n+1)QUOTE=QUOTE·QUOTE,所以当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an;故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>….所以数列{an}有最大项a9或a10,其值为10·QUOTE,其项数为9或10.【加固训练】若数列QUOTE中的最大项是第k项,求k的值.【解析】方法一:由题意知,解得QUOTE≤k≤1+QUOTE.因为k∈N*,所以k=4.方法二:设an=n(n+4)QUOTE,则an+1-an=(n+1)(n+5)QUOTE-n(n+4)QUOTE=QUOTE=QUOTE.当n≤3时,an+1-an>0,即an+1>an,当n≥4时,an+1-an<0,即an+1<an,故a1<a2<a3<a4,且a4>a5>a6>…所以数列中最大项是第4项,即k=4.【方法技巧】数列{an}的最大(小)项的求法:(1)函数法:借助数列的单调性或图象来解决.(2)利用转折项法:利用不等式组QUOTE找到数列的最大项;利用不等式组QUOTE找到数列的最小项.5.(13分)已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=QUOTEan.(1)求a2,a3.(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)由S2=QUOTE