上海市青浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题

上海市青浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题一、填空题1．点(2，−1)到直线x−y+3=0的距离为2．已知一组数据8.6，8.9，9.1，9.6，9.7，9.8，9.9，10.2，10.6，10.8，11.2，11.7，则该组数据的第80百分位数为．3．在空间直角坐标系中，点A(1，−2，4．(x+1x)10的二项展开式中5．已知正方形ABCD的边长为4，若BP=3PD，则PA⋅6．若双曲线x2−y2b27．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA8．设等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，若S9．有3男3女共6位高三同学在高考考场外合影留念．若从这6人中随机选取2人拍双人照，则选中的2人恰为1男1女的概率是．10．某校开展“全员导师制”．有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有种（用数字作答）．11．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体称作“阿基米德体”．若一个正四面体的棱长为12，则对应的“阿基米德体”的表面积为．12．对于项数为10的数列{an}，若{an}满足1≤|ai+1−ai|≤2（其中二、单选题13．设α、β是两个不同的平面，直线m⊂α，则“对β内的任意直线l，都有m⊥l”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件14．某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n为A．75 B．85 C．90 D．10015．点A为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>1A．(12，1) B．(2216．已知非常数列{an}满足aA．存在α，β，对任意a1，a2，都有B．存在α，β，对任意a1，a2，都有C．存在a1，a2，对任意α，β，都有D．存在a1，a2，对任意α，β，都有三、解答题17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．18．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）若圆雉的侧面积为8π，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M是线段AB的中点，如图．求直线19．已知，如图是一张边长为a的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为x的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．（1）试把无盖纸盒的容积V表示成裁去边长x的函数；（2）当x取何值时，容积V最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计）20．已知抛物线Γ：y2=4x的焦点为（1）若F为双曲线C：x2（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在Γ上，若|PF||PE|=2（3）经过点F且斜率为k(k≠0)的直线l′与Γ相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N．试探究：以线段MN为直径的圆C21．已知函数g(x)=ax（1）当a=1时，求函数y=g(x)（2）当a为正数且1≤x≤e时，f(x)（3）若f(x1)−f(x2

答案解析部分1．【答案】3【知识点】平面内点到直线的距离公式【解析】【解答】由直线距离公式得点(2，−1)到直线x−y+3=0的距离为d=2+1+312+−122．【答案】10.8【知识点】收集数据的方法【解析】【解答】由题知该一组数据有12个，∵12×80%=9.6，∴第80百分位数为第10位是10.8.

故答案为：10.8

【分析】根据百分位数求法，直接计算.3．【答案】（-1，-2，3）【知识点】空间直角坐标系【解析】【解答】点A(1，−2，3)关于yOz平面的对称点的坐标A'(−1，−24．【答案】210【知识点】二项式系数的性质【解析】【解答】∵(x+1x)10展开式通项公式为Tr+1=C10rx10−r1x=C10rx10−2r，令10−2r=2解得5．【答案】6【知识点】向量加减混合运算；平面向量的数量积运算【解析】【解答】由题意得PB→=−34BD→=−34AD→−AB→=−346．【答案】2【知识点】用斜率判定两直线平行；双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线x2−y2b2=1(b>0)的渐近线为y=±bax=±bx7．【答案】arccos【知识点】用空间向量研究二面角【解析】【解答】以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系如下，

易知平面ECD法向量为n1→=0，0，1，D10，0，1，E1，1，0，C0，2，0，

∴CD1→=0，−2，1，CE→=1，−1，0，设平面ECD1法向量为n2→=x，y，z，

则CD1→·n28．【答案】4【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和【解析】【解答】设等比数列首项为a1，公比q=2，∴Sn=a11−2n1−2=a12n−1，an=a11−29．【答案】3【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式【解析】【解答】设选中的2人恰为1男1女为事件A，随机选取两人有C62=15种选法，选取两人为1男1女有C31C31=9种选法，10．【答案】20【知识点】简单计数与排列组合【解析】【解答】先将5位学生分成2人和3人得两组有C52=10种分法，再将2名导师分到两组有A22=2种分法，∴共有10×2=2011．【答案】112【知识点】组合几何体的面积、体积问题【解析】【解答】由题意得“阿基米德体”的表面积是由4个全等正六边形和4个全等正三角形组成，

∵正四面体的棱长为12，则对应的“阿基米德体”表面的正三角形边长为4，面积为S1=34×42=43，正六边形边长为4，面积为S212．【答案】8【知识点】数列的递推公式；数列与不等式的综合；分析法和综合法【解析】【解答】∵1≤|ai+1−ai|≤2，设bi=ai+1−ai，则bi∈−2，−1∪1，2

要使a1=a10∈[−1，0]，则数列{an}的项有增也有减，

假设bi中有x个2，增量最大为2x，则必有9−x项是减少的，∴2x9−x∈1，2，x∈N，解得13．【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定【解析】【解答】因为α、β是两个不同的平面，直线m⊂α，若对β内的任意直线l，都有m⊥l，根据线面垂直的定义可知m⊥β，∵m⊂α，∴α⊥β，所以，“对β内的任意直线l，都有m⊥l”⇒“α⊥β”；若α⊥β，因为m⊂α，对β内的任意直线l，m与l的位置关系不确定，所以，“对β内的任意直线l，都有m⊥l”⇐“α⊥β”.因此，“对β内的任意直线l，都有m⊥l”是“α⊥β”的充分而不必要条件.故答案为：A.

【分析】根据空间线面垂直和面面垂直的关系，结合充分条件、必要条件的定义可得答案.14．【答案】C【知识点】分层抽样方法【解析】【解答】由分层抽样原理得10001400+1200+1000=25n，求得n=90.15．【答案】B【知识点】平面向量的数量积运算；椭圆的简单性质【解析】【解答】由题得Aa，0，设Px0，y0，则PA→=a−x0，−y0，PO→=−x0，−y0，x02a2+y02b2=1，

∴y02=1−b2x016．【答案】B【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的递推公式【解析】【解答】由题意得an+2=αan+1+βanα+β=αan+1α+β+βanα+β，令t=αα+β，则1−t=βα+β，

∴an+2=tan+1+1−tan，∴an+2−an+1=t−1an+1−an，即an+2−an+1=t−1an+1−an，

∵{an}为非常数列，

∴令bn=17．【答案】（1）设等差数列{an}的首项为a根据题意有9a解答a1=8d=−2所以等差数列{an}（2）由条件S9=−a5，得因为a1>0，所以d<0，并且有a5由Sn≥an得因为d<0，所以有n2−9n≤2n−10，即解得1≤n≤10，所以n的取值范围是：1≤n≤10(n∈【知识点】一元二次不等式的解法；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，从而解方程组求出首项和公差，再利用等差数列的通项公式，从而求出数列{an}的通项公式。

（2）由条件S9=−a5结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质，得出a5=0，因为a1>0，再利用等差数列的通项公式，所以d<0，并且有a5=a1+4d=018．【答案】（1）解：由题意可知圆锥的底面半径为2，所以底面圆的周长为：4π，所以侧面展开图扇形的弧长为4π，设半径为r，由于圆雉的侧面积为8π，所以12×4πr=8π，所以扇形的半径为r=4，所以圆锥的母线长为所以在直角三角形POB中，PO=16−4所以圆锥的体积为：13（2）解：由于PO为圆锥的高，所以PO⊥OA，且∠AOB=90°，所以分别以OA，OB，OP的方向为x轴，A(2，0，0)，B(0，2，设平面POB的法向量为m=(1所以cos〈所以直线PM与平面POB所成的角的正弦值为26所以直线PM与平面POB所成的角的大小为：arcsin2【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；用空间向量研究直线与平面所成的角【解析】【分析】(1)先根据圆雉的侧面积求出母线长4，再分析求解圆锥的体积；；

(2)分别以OA，OB，OP的方向为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系利用空间向量求直线19．【答案】（1）解：由题意，长方体的高为x，底面是正方形，正方形的边长为a−2x，则a−2x>0x>0，所以0<x<则V=（2）解：由（1）得V=4x则V′当0<x<a6时，V′>0，当所以函数V=4x3−4ax2所以当x=a6时，容积V最大，最大值为【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；组合几何体的面积、体积问题【解析】【分析】(1)利用长方体体积公式求解；

(2)求导，利用导数求出函数单调性，进而求容积V最大值.20．【答案】（1）解：抛物线Γ：y2=4x的焦点为双曲线C的方程为双曲线x2a2−2y由题意可知：c=a2+故双曲线C的方程2x（2）解：由（1）可知：E(−1，过点P作直线l的垂线，垂足为M，则|PF|=|PM|，∵sin∠MEP=|PM||PE|∴∠MEP=π故直线EP的倾斜角α=π4，斜率∴直线EP的方程为y=x+1，即x−y+1=0；（3）解：设直线l′联立方程y=k(x−1)y2=4x则可得：x1∵直线OA：y=y1x∴M(−1，同理可得：N(−1，∵(−=−k(2−|MN|=|(−=|k|[则线段MN为直径的圆C的圆心C(−1，2k)，半径故圆C的方程为(x+1)2整理得(x令y=0，则x2+2x−3=0，解得x=1或故以线段MN为直径的圆C过定点(1，【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)先求出焦点F(1，0)，结合c=a2+12求双曲线C；

(2)画图分析得sin∠MEP=|PM||PE|=|PF||PE|=221．【答案】（1）解：当a=1时，g(x)=x∴g′(x)=2x−3，g(1)=−2，∴y=g(x)在x=1处的切线方程为x+y+1=0.（2）解：函数f(x)=ax2−(a+2)x+当a>0时，f′令f′(x)=0，解得x=1①当0<1a≤1，即a≥1时，f′(x)>0所以f(x)在[1，e]上的最小值为②当1<1a<e当x∈[1，1a]时，f′故f(x)在[1，1a所以f(x)在[1，e]上的最小值为当1a≥e，即0<a≤1e，同理所以f(x)在[1，e]上的最小值为综上，实数a的取值范围是[1，故a的最小值为1.（3）解：设m(x)=f(x)+2x，则m(x)=ax因为0<x1所以对任意x1∈(0，+∞)，x2等价于m(x)在(0，+∞)上单调递