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文档简介

§2

收敛数列的性质本节首先考察收敛数列这个新概念有哪些优良性质？然后学习怎样运用这些性质.一、惟一性二、有界性三、保号性四、保不等式性五、迫敛性(夹逼原理)六、极限的四则运算七、一些例子前页后页返回一、惟一性收敛,则它只有一个极限.下面证明对于任何定理

2.2

若证

设定数若

a，b

都是{

an

}

的极限，则对于任何正数

>0,前页后页返回当n

>N

时(1),(2)同时成立,从而有前页后页返回二、有界性前页后页返回证对于正数若令则对一切正整数n

,都有定理

2.3

若数列即存在注

数列

是有界的,

但却不收敛.

这就说明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条件.前页后页返回三、保号性定理2.4对于任意两个实数b,c

,注我们可取这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.前页后页返回,

则存在

N,

当

n

>

N

时,证例1

证明前页后页返回证对任意正数

,所以由这就证明了定理2.4,四、保不等式性定理2.5均为收敛数列,

如果存在正证所以前页后页返回注

若将定理

2.5

中的条件前页后页返回改为也只能得到这就是说,

即使条件是严格不等式,

结论却不一定是严格不等式.例如,虽然五、迫敛性(夹逼原理)定理2.6设数列都以a

为极限,证

对任意正数前页后页返回所以分这就证得满足:

存在则的极限.所以由迫敛性，求得又因前页后页返回例2

求数列解有六、四则运算法则定理2.7(1)(2)当为常数c

时,(3)则也都是收敛数列,且有前页后页返回所以的任意性,得到证明(2)对于任意前页后页返回证明(1)证明(3)由(2),只要证明据保号性,前页后页返回于是的任意性,

证得又因为即前页后页返回七、一些例子例3

用四则运算法则计算(1) 当

m=k

时,

有前页后页返回分别得出:解(2)当m<k

时,有前页后页返回所以前页后页返回例4证根据极限的保不等式性,有对于任意前页后页返回于是可得:例5证根据极限的保号性,

存在N,当n>N

时,有又因为前页后页返回所以由极限的迫敛性,证得例6前页后页返回解所以由极限四则运算法则,得故得例7为m

个正数,证明证由以及极限的迫敛性,可得前页后页返回定义1注前页后页返回定理2.8证注前页后页返回例8证

(必要性)前页后页返回前页后页

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