高中数学培优讲义练习（必修一）：集合的概念-重难点题型检测（教师版）

专题1.2集合的概念-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•临夏县校级期中）下列集合中，表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} C．M＝{（x，y）|y＝1﹣x}，N＝{x|y＝1﹣x} D．M＝{3，2}，N＝{2，3}【解题思路】结合集合相同，元素完全相同的要求分别检验各选项即可判断．【解答过程】解：A：由于（3，2）与（2，3）为有序实数对，故M与N的元素不同，不是同一集合；B：M为数集，有2个元素，N为点集，有1个元素，不是同一集合；C：M为点集，N为数集，不是同一集合；根据集合的无序性可知，M＝{2，3}与N＝{3，2}表示同一集合．故选：D．2．（3分）（2021秋•河南月考）下列说法中，正确的是（）A．若a∈Z，则﹣a∉Z B．R中最小的元素是0 C．“3的近似值的全体”构成一个集合 D．一个集合中不可以有两个相同的元素【解题思路】由集合的含义及元素与集合的关系逐一判断即可．【解答过程】解：对于A，若a∈Z，则﹣a∈Z，故A错误；对于B，R是实数集，没有最小值，故B错误；对于C，3的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合，故C错误；对于D，由集合的互异性可知，一个集合中不可以有两个相同的元素，故D正确．故选：D．3．（3分）（2022•安徽模拟）已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}，则B＝（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}【解题思路】先化简集合A，再根据集合B的条件化简B即可得解．【解答过程】解：∵A＝[﹣2，2]，又B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}，∴x﹣1∈[﹣2，2]，∴x∈[﹣1，3]，又x∈N*，∴x＝1，2，3，∴B＝{1，2，3}，故选：C．4．（3分）（2022秋•垫江县校级月考）若用列举法表示集合A＝{（x，y）|2y−x=7A．{x＝﹣1，y＝3} B．{（﹣1，3）} C．{3，﹣1} D．{﹣1，3}【解题思路】先解方程组，然后用列举法表示所求集合，需要注意集合中的元素．【解答过程】解：2y−x=7x+y=2所以A＝{（x，y）|2y−x=7x+y=2}＝{（﹣1，3故选：B．5．（3分）（2022•河南模拟）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解题思路】通过x的取值，确定y的取值，推出B中所含元素的个数．【解答过程】解：由A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，当x＝3时，y＝1，2，满足集合B．当x＝2时，y＝1，3；满足集合B．当x＝1时，y＝2，3；满足集合B．共有6个元素．故选：C．6．（3分）（2022秋•汇川区校级月考）已知集合A中含有5和a2+2a+4这两个元素，且7∈A，则a3的值为（）A．0 B．1或﹣27 C．1 D．﹣27【解题思路】根据条件得“a2+2a+4＝7”，求出a的值，则易求a3的值．【解答过程】解：依题意得：a2+2a+4＝7，整理，得（a+3）（a﹣1）＝0解得a1＝﹣3，a2＝1．故a3＝﹣27或a3＝1．故选：B．7．（3分）（2021秋•桥东区校级月考）集合{1，3，5，7}用描述法表示出来应为（）A．{x|x是不大于7的非负奇数} B．{x|1≤x≤7} C．{x|x∈N且x≤7} D．{x|x∈Z且1≤x≤7}【解题思路】利用集合的表示法直接求解．【解答过程】解：集合{1，3，5，7}用描述法表示出来应为{x|x是不大于7的非负奇数}，故选：A．8．（3分）（2021秋•秦淮区校级月考）设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为（）A．4 B．5 C．19 D．20【解题思路】根据定义P※Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}和P、Q中元素，一一列举出所有的情况再得个数．【解答过程】解：由题意可以采用列举的方式易得：（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8）（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（2，8）（3，4），（3，5），（3，6），（3，7），（3，8）（4，5），（4，6），（4，7），（4，8）P*Q中元素的个数为19个．故选：C．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•武安市校级期末）下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数【解题思路】根据集合元素的确定性对四个选项依次判断即可．【解答过程】解：拥有手机的人具有确定性，能构成集合，故A正确；数学难题定义不明确，不符合集合的定义，故B不正确；有理数具有确定性，能构成集合，故C正确；小于π的正整数具有确定性，能构成集合，故D正确；故选：ACD．10．（4分）（2021秋•孝感期中）已知集合A＝{2，a2+1，a2﹣4a}，B＝{0，a2﹣a﹣2}，5∈A，则a为（）A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣1【解题思路】由已知对a2+1＝5与a2﹣4a＝5，分别求出a的值，再求出对应的集合A，B，进而可以判断求解．【解答过程】解：因为集合A＝{2，a2+1，a2﹣4a}，B＝{0，a2﹣a﹣2}，5∈A，则a2+1＝5，解得a＝2或﹣2，当a＝2时，集合A＝{2，5，﹣4}，集合B＝{0，0}与集合元素的互异性矛盾，故a≠2，当a＝﹣2时，集合A＝{2，5，12}，集合B＝{0，4}，故a＝﹣2成立，当a2﹣4a＝5时，解得a＝5或﹣1，当a＝5时，集合A＝{2，26，5}，集合B＝{18，0}，故a＝5成立，当a＝﹣1时，集合A＝{2，2，5}与集合元素的互异性矛盾，故a≠﹣1，综上，实数a的为﹣2或5，故选：BC．11．（4分）（2020秋•农安县月考）下面四个说法中错误的是（）A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C．方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1，1} D．0与{0}表示同一个集合【解题思路】结合集合的表示及元素与集合的基本关系分别检验各选项即可判断．【解答过程】解：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A正确；由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B正确；方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D错误，故选：CD．12．（4分）设M、N是两个非空集合，定义M⊗N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，则P⊗Q中元素的个数不可能是（）A．9 B．8 C．7 D．6【解题思路】根据定义，P⊗Q中元素为点集，且横坐标属于集合P，纵坐标属于集合Q，P、Q中的元素个数分别是3、3，即可求出P⊗Q中元素的个数．【解答过程】解：因为P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，所以a有3种选法，b有3种取法，可得P⊗Q中元素的个数是3×3＝9（个）．故选：BCD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021秋•黄梅县校级期末）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是{0}∪[94，+∞）【解题思路】分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．【解答过程】解：当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，解得x=1当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，解得a≥9综上所述，a的取值范围是{0}∪[94，+故答案为：{0}∪[94，+14．（4分）（2021秋•玉林期末）集合A={x∈N|83−x∈N∗}，用列举法可以表示为A＝【解题思路】由题意可知3﹣x是8的正约数，然后分别确定8的约数，从而得到x的值为1，2，即A＝{1，2}．【解答过程】解：由题意可知3﹣x是8的正约数，当3﹣x＝1，x＝2；当3﹣x＝2，x＝1；当3﹣x＝4，x＝﹣1；当3﹣x＝8，x＝﹣5；而x∈N，∴x＝1，2，即A＝{1，2}．故答案为：{1，2}．15．（4分）（2022•七星区校级开学）已知x∈{1，2，x2﹣x}，则实数x为0或1．【解题思路】将x依次等于集合中的值并验证即可．【解答过程】解：①若x＝1，则{1，2，x2﹣x}＝{1，2，0}，成立；②若x＝2，则2＝x2﹣x，不成立；③当x＝x2﹣x时，x＝0，或x＝2（舍去）．故答案为：1或0．16．（4分）（2021秋•开福区校级期中）设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是4．【解题思路】由已知写出集合P，Q，然后根据新定义求出新集合P+Q，进而可以求解．【解答过程】解：由已知可得集合P＝{0，2}，Q＝{1，6}，而0+1＝1，0+6＝6，2+1＝3，2+6＝8，所以集合P+Q＝{1，3，6，8}，故答案为：4．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）已知﹣3是由x﹣2，2x2+5x，12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．【解题思路】由已知可得x﹣2＝﹣3或2x2+5x＝﹣3，分别求出x的值，验证可得结论．【解答过程】解：当x﹣2＝﹣3时，x＝﹣1，此时这三个元素构成的集合为{﹣3，﹣3，12}，不满足集合元素的互异性；当2x2+5x＝﹣3时．x=−32或x＝﹣1（舍），此时这三个元素构成的集合为{−72综上，x的值为−318．（6分）（2021秋•长安区校级月考）用适当的方法表示下列集合①方程x（x2+2x+1）＝0的解集；②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；③不等式x﹣2＞6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．【解题思路】①根据方程根的个数为有限个，且个数不多，故解方程后用列举法表示；②③④利用描述法表示．【解答过程】解：①解方程x（x2+2x+1）＝0得：x＝0或x＝﹣1，故方程x（x2+2x+1）＝0的解集为{﹣1，0}；②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合可表示为：{x|x＝2n+1，n≤499，且n∈N}；③解不等式x﹣2＞6得：x＞8．故不等式x﹣2＞6的解集为{x|x＞8}；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合是：{x|0.5＜x≤6，且x∈N}．19．（8分）（2021秋•镜湖区校级月考）用适当的方法表示下列集合．（1）方程组2x−（2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；（3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；（4）所有三角形构成的集合．【解题思路】根据题意以及集合的表示法，选择恰当的方法表示各集合即可．【解答过程】解：（1）．解方程组2x−3y=143x+2y=8，得x=4y=−2，故解集为{（4，﹣（2）．集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x＝3k+2，k∈N且x＜1000}．（3）．集合的代表元素是点（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x＜0且y＞0}（4）．集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}．20．（8分）（2021秋•洮南市校级月考）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则11−a∈A，且1∉A（1）若3∈A，求A；（2）证明：若a∈A，则1−1a∈【解题思路】（1）根据集合A的定义，找出A的所有元素即可；（2）有集合A的定义证明即可．【解答过程】解：（1）因为3∈A，所以11−3=−所以11−(−12所以11−23=所以A＝{3，−12，2（2）证明：因为a∈A，有11−a∈A所以11−11−a=1−a21．（8分）已知由实数构成的集合A满足条件：若a∈A，则1+a1−a∈A（a≠0，且a≠±1），则集合【解题思路】由已知中若a∈A，则1+a1−a∈A（a≠0，且a≠±1），依次代入可得a、1+a1−a、−1a【解答过程】解：∵a∈A，则1+a1−a∴1+1+a进而有1+(−1∴又有1+a−1∵a∈R，∴a≠假设a=1+a1−a，则a2＝﹣∴a≠类似方法可证a、1+a1−a、−1a这就证得集合A中至少有四个元素．22．（8分）（2021秋•西城区期末）设A是实数集的非空子集，称集合B＝{uv|u，v∈A，且u≠v}为集合A的生成集．（Ⅰ）当A＝{2，3，5}时，写出集合A的生成集B；（Ⅱ）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；（Ⅲ）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，并说明理由．【解题思路】（Ⅰ）利用集合的生成集定义直接求解．（Ⅱ）设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，且0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，利用生成集的定义即可求解；（Ⅲ）不存在，理由用反证法说明．【解答过程】解：（Ⅰ）∵A＝{2，3，5}，∴B＝{6，10，15}，（Ⅱ）设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，不妨设0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，因为a1a2＜a1a3＜a1a4＜a1a5＜a2a5＜a3a5＜a4a5，所以B中元素个数大于等于7个，又A