考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于()A．—1B．0C．D．1正确答案：A解析：掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X+Y=n，从而Y=n—X。由方差的定义：D(X)=E(X2)一[E(X)]2，所以D(Y)=D(n—X)=E(n—X)2一[E(n—X)]2=E(n2—2nX+X2)—[n一E(X)]2=n2—2nE(X)+E(X2)一n2+2nE(X)—[E(X)]2=E(X2)一[E(X)]2=D(X)。由协方差的性质：Cov(X，c)=0(c为常数)；Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)，所以Cov(X，Y)=Cov(X，n—X)=Cov(X，n)—Cov(X，X)=0—D(X)=—D(X)，由相关系数的定义，得知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)且相关系数ρXY=1，则()A．P{Y=—2X—1}=1B．P{Y=2X—1}=1C．P{Y=一2X+1}=1D．P{Y=2X+1}=1正确答案：D解析：用排除法。设Y=aX+b。由ρXY=1，知X、Y正相关，得a＞0。排除A和C。由X～N(0，1)，Y～N(1，4)，得E(X)=0，E(Y)=1，E(aX+b)=aE(X)+b，即1=a×0+b，故b=1。从而排除B。故应选D。知识模块：概率论与数理统计3．将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为()A．1B．C．D．—1正确答案：D解析：设两段长度分别为X，Y，显然X+Y=1，即y=—X+1，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为—1。知识模块：概率论与数理统计4．随机试验E有三种两两不相容的结果A1，A2，A3，且三种结果发生的概率均为。将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X和Y的相关系数为()A．B．C．D．正确答案：A解析：二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律为则随机变量X、Y和XY的分布律分别为知识模块：概率论与数理统计5．设随机变量x～t(n)(n＞1)，Y=，则()A．Y～χ2(n)B．Y～χ2(n一1)C．Y～F(n，1)D．Y～F(1，n)正确答案：C解析：由题设知，X=，其中U～N(0，1)，V～χ2(n)，于是其中U2～χ2(1)。根据F分布的定义知Y=1/X2～F(n，1)。故应选C。知识模块：概率论与数理统计6．设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(0，1)的简单随机样本，为样本均值，S2为样本方差，则()A．B．C．D．正确答案：D解析：因X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(0，1)的简单随机样本，独立正态分布的线性组合也服从正态分布，故将其标准化有：故A错；～t(n—1)，故C错；而=(n—1)S2～χ2(n—1)，不能断定B是正确选项。又X12～χ2(1)，Xi2～χ2(n—1)，且Xi2与Xi2相互独立，于是～F(1，n—1)。故应选D。知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X～t(n)，Y～F(1，n)，给定a(0＜a＜0．5)，常数c满足P{X＞c}=a，则P{Y＞c2}=()A．aB．1—aC．2aD．1—2a正确答案：C解析：X～t(n)X2～F(1，n)，由于t分布的概率密度关于y轴对称，故P(X＜一c)=P(X＞c)，则P{Y＞c2}=P{X2＞c2}=P{X＞c}+P{X＜一c}=2P{X＞c}=2a。知识模块：概率论与数理统计8．设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是()A．(Xi—μ)2服从χ2分布B．2(Xn—X1)2服从χ2分布C．服从χ2分布D．n(—μ)2服从χ2分布正确答案：B解析：A项，因为Xi一μ～N(0，1)，所以(Xi—μ)2～χ2(n)。B项，因为Xn—X1～N(0，2)，所以C项，因为样本方差S2=，且(n—1)S2～χ2(n—1)，所以～χ2(n—1)。D项，因为—μ～N(0，)，所以一μ)～N(0，1)，从而n(—μ)2～χ2(1)。综上所述，选B。知识模块：概率论与数理统计填空题9．设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{|X—E(X)|≥2}≤________。正确答案：解析：根据切比雪夫不等式有知识模块：概率论与数理统计10．设X1，X2，…，Xm为来自二项分布总体B(n，p)的简单随机样本，和S2分别为样本均值和样本方差。若X+kS2为np2的无偏估计量，则k=________。正确答案：—1解析：二项分布B(n，p)的期望和方差分别为np，np(1—p)。若+kS2为np2的无偏估计，则E(+kS2)=np2，即np+knp(1—p)=np2，解得k=—1。知识模块：概率论与数理统计11．设总体X的概率密度为f(x；θ)=其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，若Xi2是θ2的无偏估计，则c=________。正确答案：解析：若Xi2是θ2的无偏估计，则E(Xi2)=θ2，其中知识模块：概率论与数理统计12．已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(μ，1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则μ的置信度为0．95的置信区间是________。(注：标准正态分布函数值Ф(1．96)=0．975，Ф(1．645)=0．95。)正确答案：(39．51，40．49)解析：由题设知，置信度为1—α=0．95，解得α=0．05，则P{X≤uα/2}一P{X≤u0．025}=1—0．025=0．975=Ф(uα/2)，即uα/2=1．96，代入到计算公式有，则μ的置信度为0．95的置信区间为(39．51，40．49)。知识模块：概率论与数理统计13．设X1，X2，…，Xn为来自总体N(μ，σ2)的简单随机样本，样本均值=9．5，参数μ的置信度为0．95的双侧置信区间的置信上限为10．8，则μ的置信度为0．95的双侧置信区间为________。正确答案：(8．2，10．8)解析：置信区间的中心X=9．5，则置信下限为9．5×2—10．8=8．2，所以双侧置信区间为(8．2，10．8)。知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14．设总体X服从证态分布N(μ，σ2)(σ＞0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n(n≥2)，其样本均值为的数学期望E(Y)。正确答案：因为样本方差S2=是总体方差的无偏估计，则E(S2)=σ2，即由于X1，X2，…，X2n(n≥2)相互独立同分布，则Xi与也独立(i=1，2，…，n)。而由独立随机变量期望的性质(若随机变量X，Y独立，且E(X)，E(Y)都存在，则E(XY)=E(X)E(Y))，所以E(XiXn+i)=E(Xi)E(Xn+i)=μ2，E(Xi)=E(Xi)E=μ2故有=(μ2一μ2—μ2+μ2)=0，即=(n—1)σ2+(n—1)σ2=2(n—1)σ2。令Yi=Xi+Xn+i，则Y1，Y2，…，Yn是来自总体N(2μ，2σ2)的简单随机样本。则Y=(Xi+Xn+i—是Y1，Y2，…，Yn的样本均值。由此可知S2=是该样本的样本方差。由于样本方差的期望等于总体的方差，可知=2σ2，从而E(Y)=2(n—1)σ2。涉及知识点：概率论与数理统计15．设总体X的概率密度为X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本。(Ⅰ)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求的方差D()。正确答案：(Ⅰ)E(X)=∫—∞∞xf(x)dx=∫0θ样本均值用样本均值估计期望有E(X)=解得θ的矩估计量涉及知识点：概率论与数理统计16．设某种元件的使用寿命X的概率密度为其中θ＞0为未知参数，又设x1，x2，…，xn是X的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值。正确答案：似然函数为L(θ)=L(x1，x2，…，xn；θ)=当xi≥θ(i=1，2，…，n)时，L(θ)＞0，所以而=2n＞0，所以L(θ)单调增加。要使得L(θ)值最大，θ是越大越好。又由于θ必须满足xi≥0(i=1，2，…，n)，因此当θ取x1，x2，…，xn中的最小值时，xi≥0(i=1，2，…，n)恒成立，且此时L(θ)取最大值，所以θ的最大似然估计值为=min{x1，x2，…，xn}。涉及知识点：概率论与数理统计17．设总体X的概率分布为其中θ(0＜θ＜)是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩阵估计值和最大似然函数估计值。正确答案：E(X)=0×θ2+1×20(1—θ)+2×θ2+3×(1—2θ)=3—4θ，故θ=[3一E(X)]。θ的矩估计量为根据样本观察值可知(3+1+3+0+3+1+2+3)=2。因此可得θ的矩估计值为给定的样本值似然函数为L(θ)=4θ6(1—θ)2(1—2θ)4，lnL(θ)=ln4+6lnθ+2ln(1—θ)+41n(1—2θ)，令=0，得方程12θ2—14θ+3=0，解得θ1=不合题意。于是θ的最大似然估计值为涉及知识点：概率论与数理统计18．设总体X的概率密度为其中θ＞0是未知参数。从总体X中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，记=min{X1，X2，…，Xn}。(Ⅰ)求总体X的分布函数F(x)；(Ⅱ)求统计量的分布函数F(x)；(Ⅲ)如果用作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。正确答案：(Ⅰ)(Ⅱ)=P{≤x}=P{min{X1，X2，…，Xn}≤x}=1—P{min{X1，X2，…，Xn}＞x}=1—P{X1＞x，X2＞x，…，Xn＞x}=1—[1—F(x)]n(Ⅲ)的概率密度为所以作为θ的估计量不具有无偏性。涉及知识点：概率论与数理统计19．设总体X的分布函数为其中未知参数β＞1，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本。求：(Ⅰ)β的矩估计量；(Ⅱ)β的最大似然估计量。正确答案：X的概率密度为所以参数β的矩估计量为是样本均值。(Ⅱ)设x1，…，xn为X1，…，Xn的观测值，则似然函数xi＞1(i=1，2，…，n)，取对数可得lnL(β)=nlnβ—(β+1)两边对β求导，得令因此β的最大似然估计量为涉及知识点：概率论与数理统计20．设总体X的概率密度为其中θ是未知参数(0＜θ＜1)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2，…，xn中小于1的个数，求θ的最大似然估计。正确答案：记似然函数为L(θ)，则两边取对数得InL(θ)=Nlnθ+(n—N)ln(1—θ)，令为θ的最大似然估计，即涉及知识点：概率论与数理统计21．设总体X的概率密度为其中参数θ(0＜0＜1)未知。X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，是样本均值。(Ⅰ)求参数θ的矩估计量；(Ⅱ)判断是否为θ2的无偏估计量，并说明理由。正确答案：(Ⅰ)E(x)=∫—∞∞xf(x；θ)dx=∫0θx/2θdx+∫θ1x/2(1—θ)dx令解方程得θ的矩估计量为所以不是θ2的无偏估计量。涉及知识点：概率论与数理统计22．设X1，X2，…，Xn是总体为N(μ，σ2)的简单随机样本。记(Ⅰ)证明T是μ2的无偏估计量；(Ⅱ)当μ=0，σ=1时，求D(T)。正确答案：(Ⅰ)首先T是统计量。其次对一切μ，σ成立。因此T是μ2的无偏估计量。对一切μ，σ成立。因此，T是μ2的无偏估计量。(Ⅱ)根据题意，有～X2(1)，(n—1)S2～χ2(n—1)，于是=2，D[(n一1)S2]=2(n—1)，所以涉及知识点：概率论与数理统计23．设总体X的概率密度为其中参数λ(λ＞0)未知，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本。(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；(Ⅱ)求参数λ的最大似然估计量。正确答案：(Ⅰ)E(x)=∫—∞+∞xf(x)dx=∫0+∞λ2x2e—λxdx=，解得，则λ的矩估计量为(Ⅱ)设X1，X2，…，Xn的观测值为x1，x2，…，xn(xi＞0，i=1，2，…，n)，则似然函数为L(x1，x2，…，xn；λ)=取对数可得令解得λ的最大似然估计值为，则λ的最大似然估计量为涉及知识点：概率论与数理统计24．设总体X的概率分布为其中θ∈(0，1)未知，以Ni表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i=1，2，3)，试求常数a1，a2，a3，使T=aiNi为θ的无偏估计量，并求T的方差。正确答案：由题知N1，N2，N3分别服从二项分布B(n，1—θ)，B(n，θ一θ2)，B(n，θ2)，则有E(N1)=n(1—θ)，E(N2)=n(θ—θ2)，E(N3)=nθ2，E(T)=E(aiNi)=aiE(Ni)=ain(1—θ)+a2n(θ—θ2)+a3nθ2=θ涉及知识点：概率论与数理统计25．设X1，X2，…，Xn为来自正态总体N(μ0，σ2)的简单随机样本，其中μ0已知，σ2＞0未知，和S2分别表示样本均值和样本方差。(Ⅰ)求参数σ2的最大似然估计；(Ⅱ)计算正确答案：(Ⅰ)似然函数L(x1，x2，…，xn；σ2)令=0可得σ2的最大似然估计为(Xi—μ0)2。(Ⅱ)由Xi～N(μ0，σ2)，则涉及知识点：概率论与数理统计26．设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ，σ2)与N(μ，2σ2)，其中σ是未知参数且σ＞0，设Z=X—Y，(Ⅰ)求Z的概率密度f(z；σ2)；(Ⅱ)设Z1，Z2，…，Zn为来自总体Z的简单随机样本，求σ2的最大似然估计量；(Ⅲ)证明为σ2的无偏估计量。正确答案：(Ⅰ)因为X～N(μ，σ2)，Y～N(μ，2σ2)，且X与Y相互独立，故Z=X—Y服从正态分布，且E(Z)=E(X—Y)=E(X)—E(Y)=μ—μ=0，D(Z)=D(X—Y)=D(X)+D(Y)=σ2+2σ2=3σ2，故Z=X—Y～N(0，3σ2)，所以Z的概率密度为f(z；σ2)=(一∞＜z＜+∞)。(Ⅱ)设Z1，…，Zn的观测值为z1，…，zn，则似然函数解得σ2最大似然估计值为最大似然估计量为(Ⅲ)证明：由于从而可知为σ2的无偏估计量。涉及知识点：概率论与数理统计27．设总体X的概率密度为其中θ为未知参数且大于零，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本。(Ⅰ)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量。正确答案：(Ⅰ)E(X)=∫0∞xf(x)dx=∫0∞令E(X)=，得到矩估计(Ⅱ)对于总体X的样本观测值为x1，x2，…，xn，其似然函数为l(θ)=f(x1；θ)f(x2；θ)…f(xn；θ)=θ2n(x1，x2，…，xn)—3L=ln[l(θ)]=2nlnθ—3ln(x1x2…xn)一得到即最大似然估计量为涉及知识点：概率论与数理统计28．设总体X的分布函数为其中θ为未知参数且大于零，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本。(Ⅰ)求E(X)，E(X2)；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量；(Ⅲ)是否存在实数a，使得对任意的ε＞0，都有正确答案：(Ⅰ)总体X的概率密度函数为(Ⅱ)似然函数为当所有的观测值都大于零时，有lnL(θ)=nln2+=0，得θ的最大似然估计值为从而θ的最大似然估计量为(Ⅲ)因为X1，X2，…，Xn独立同分布，显然对应的X12，X22，…，Xn2也独立同分布，又由(Ⅰ)可知E(Xi2)=θ，即Xi2的数学期望存在。根据辛钦大数定律可得而E(X2)=θ，所以存在常数a=θ，使得对任意的ε＞0，都有涉及知识点：概率论与数理统计29．设总体X的概率密度为：其中θ为未知参数，x1，x2，…，xn为来自该总体的简单随机样本。(Ⅰ)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量。正确答案：(Ⅰ)E(X)=∫—∞+∞xf(x；θ)dx=∫θ1x．解得θ=2E(X)—1，令，则θ的矩估计量为(Ⅱ)设x1，…，xn为X1，…，Xn的观测值，构造似然函数L(θ)=，则lnL(θ)=一nln(1—θ)，故＞0，故L是关于θ的单调递增函数，要使得L最大，θ应取可能的最大值，由于xi＞θ，i=1，…，n，可知θ的最大似然估计值为=min{x1，…，xn}，因此=min{X1，X2，…，Xn}为θ的最大似然估计量。涉及知识点：概率论与数理统计30．设总体X的概率密度为其中θ∈(0，+∞)为未知参数X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，T=max{X1，X2，…，Xn}。(Ⅰ)求T的概率密度；(Ⅱ)确定a，使得aT为θ的无偏估计。正确答案：(Ⅰ)设X的分布函数为F(x)。当0＜x＜θ时，F(x)=，所以则T的分布函数为FT(x)=P{T≤x}=P{X1≤x，X2≤x，X3≤x}=P{X1≤x}=[F(x)]3，于是T的概率密度为fT(x)=3[F(x)]2f(x)=(Ⅱ)E(aT)=a．E(T)=a∫—∞+∞xfT(x)dx=a∫0θ9x9/θ9dx=9a/10θ，令E(aT)=θ，则a=10/9。涉及知识点：概率论与数理统计31．某工程师为了解一台天平的精度