第06讲事件的相互独立性条件概率与全概率公式精讲

第06讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式目录TOC\o"12"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高考真题回归 2第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：相互独立事件的概率 4高频考点二：条件概率 7高频考点三：全概率公式的应用 13第一部分：知识点必背知识点一：相互独立事件对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutuallyindependent)，简称为独立．性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立则：，，知识点二：条件概率1、定义：一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．2、乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．3、条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则①；②如果和是两个互斥事件，则；③设和互为对立事件，则．④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：.知识点三：全概率公式1、定义：一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式.2、全概率公式的理解全概率公式的直观意义：某事件的发生有各种可能的原因（）,并且这些原因两两互斥不能同时发生，如果事件是由原因所引起的，且事件发生时，必同时发生，则与有关，且等于其总和.“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率,或已知各原因发生的概率及在发生的条件下发生的概率.通俗地说，事件发生的可能性，就是其原因发生的可能性与已知在发生的条件下事件发生的可能性的乘积之和.第二部分：高考真题回归1．（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（

）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，则此时连胜两盘的概率为则；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，则记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为则则即，，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D2．（多选）（2023·全国·统考高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，单次传输发送0，则译码为0的概率，而，因此，即，D正确.故选：ABD第三部分：高频考点一遍过高频考点一：相互独立事件的概率典型例题例题1．（2023秋·四川成都·高二统考期中）若，，，则事件与的关系为（

）A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．无法判断【答案】A【详解】因为，得，所以，故选：A.例题2．（2023秋·河南信阳·高二校考阶段练习）抛郑两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是（

）A．与为互斥事件 B．C．与为相互独立事件 D．与互为对立事件【答案】C【详解】由相互独立事件的定义知，A与B为相互独立事件，C正确；事件可以同时发生，则A与B不是互斥事件，也不是对立事件，A错误；D错误；，B错误.故选：C.例题3．（2023秋·广东佛山·高二校考阶段练习）一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（

）A．与不独立 B．与不独立C．与相互独立 D．与相互独立【答案】D【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，.其中事件包括：，，，，，，，.事件包括：，，，，，，，，，．事件包括：，，，，，，，.事件包括：，，，，，，，.因为，，而,因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立，故A错误；因为，，而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立，故B错误；因为,，而.因为，所以与不是相互独立.故C错误；因为，，而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.故D正确.故选：D练透核心考点1．（2023秋·河南新乡·高二河南师大附中校考阶段练习）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立【答案】B【详解】依题意可得P(甲)，P(乙)，两次取出的球的数字之和为8，有，，，，，共5种情况，则P(丙)，两次取出的球的数字之和为7，有，，，，，共6种情况，则P(丁)，对于A，P(甲丙)P(甲)·P(丙)，A错误；对于B，P(甲丁)P(甲)·P(丁)，B正确；对于C，P(乙丙)P(乙)·P(丙)，C错误；对于D，P(丙丁)P(丙)·P(丁)，D错误．故选：B．2．（多选）（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“第二次取出的球的数字是偶数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件D表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（

）A．A与B互斥 B．C与D对立C．B与C相互独立 D．B与D相互独立【答案】BCD【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，全部的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个，事件发生包含的基本事件有：，，有个，事件发生包含的基本事件有：，，，，，有个，事件发生包含的基本事件：，，，有个，事件发生包含的基本事件：，，，，，，，有个，显然当出现，时事件、同时发生，故事件与不互斥，故A错误；事件与不可能同时发生，即事件与互斥，又事件与包含所有的结果，所以C与D对立，故B正确；又，，，所以，所以事件与相互独立，故C正确；又，，，所以，所以事件与相互独立，故D正确.故选：BCD.3．（2023·全国·高一课堂例题）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件A，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件B．试判断是否为相互独立事件．【答案】是相互独立事件．【详解】解法1：样本空间为，，．若A发生，则B发生的概率为；若A不发生，则B发生的概率为．可见，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，因此，两者相互独立．解法2：样本空间为：，，，，所以，，，即．因此，两者为相互独立事件．高频考点二：条件概率典型例题例题1．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）杭州亚运会于月日至月日举办，组委会将甲、乙、丙、丁名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，每座体育馆至少派名志愿者，表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”；表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”；表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则（

）A．事件与相互独立 B．事件与为互斥事件C． D．【答案】D【详解】将名志愿者分配到三座体育馆，每座体育馆至少派名志愿者，共有种安排方案；志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中心，各有种方案，；志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心，有种方案，；志愿者甲派往黄龙体育中心且乙派往杭州奥体中心，有种方案，；对于A，，事件与不相互独立，A错误；对于B，，事件与不是互斥事件，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D.例题2．（多选）（2023秋·广东湛江·高三廉江市廉江中学校考阶段练习）将100个数据整理并绘制成频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（

）A．B．该组数据的平均数的估计值大于众数的估计值D．在该组数据中随机选取一个数据记为n，已知，则的概率为【答案】BC【详解】对于A选项：由阴影部分面积之和为1可知，解得，故A选项不符题意.对于B选项：不妨设众数和平均数分别为，由图可知显然有，，因此，即平均数的估计值大于众数的估计值，故B选项符合题意.对于C选项：设第90百分位数为，且注意到这100个数据落在区间的概率为，所以一定落在区间内，所以，解得，故C选项符合题意.对于D选项：记、分别为事件，则由图可知，，则由条件概率公式得，故D选项不符题意.故选：BC.例题3．（2023秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是．【答案】【详解】设小明迟到为事件A，小明自驾为事件B，则，.则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为.故答案为：例题4．（2023·河南·校联考模拟预测）A市天文台在该市朝阳区随机调查了100位天文爱好者的年龄，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．(1)估计该朝阳区100名天文爱好者年龄的分位数（精确到0.01）；(2)已知该朝阳区天文爱好者的占比为，且该朝阳区年龄位于区间的人口数占该区总人口数的．用样本的频率估计总体的概率，从该朝阳区任选1人，若此人的年龄位于区间，求此人是天文爱好者的概率．（计算结果精确到0.01）【详解】（1）记该朝阳区100名天文爱好者年龄的分位数为，则，解得，故估计该朝阳区100名天文爱好者年龄的分位数为28.21岁；（2）记事件为：“任选一人，此人年龄位于区间”，事件为：“任选一人，此人是天文爱好者”，由条件概率公式可得，，故此人是天文爱好者的概率约为0.12．练透核心考点1．（2023·四川雅安·统考一模）甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，，，所以，故选：B.2．（2023春·江苏南通·高二校考期中）已知随机事件，满足，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知可得，.因为，所以，.又,所以，.又，所以，.故选：A.3．（2023春·山东济宁·高二嘉祥县第一中学校考期中）抛掷甲､乙两枚骰子，若事件：“甲骰子的点数小于”，事件：“甲､乙两枚骰子的点数之和等于”，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知事件为甲骰子的点数小于，且甲､乙两枚骰子的点数之和等于，则事件包含的基本事件为，而抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子共有种情况，所以，因为甲骰子的点数小于的有，两种情况，所以，所以，故选：C4．（多选）（2023春·河南周口·高二统考期中）袋中装有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球，表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（

）A．事件与事件不相互独立B．事件与事件互斥C．在事件发生的前提下，事件发生的概率为D．在事件发生的前提下，事件发生的概率为【答案】ACD【详解】依题意，，，，，对于A，因为，则事件与事件不相互独立，A正确；对于B，“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件中，也在事件中，事件与事件不互斥，B错误；对于C，在事件发生的前提下，事件发生的概率，C正确；对于D，在事件发生的前提下，事件发生的概率，D正确.故选：ACD5．（2023秋·广东珠海·高三珠海市第二中学校考阶段练习）某地的中学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学爱好羽毛球或爱好乒乓球.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好乒乓球，则该同学也爱好羽毛球的概率为.【答案】/【详解】同时爱好两项的概率为，记“该同学爱好乒乓球”为事件，记“该同学爱好羽毛球”为事件，则，所以.故答案为：6，.(1)求该款芯片的次品率；(2)第三道工序中自动智能检测为次品的芯片会被自动淘汰；否则，进入流水线进行人工抽检.已知该款芯片自动智能检测显示合格率为98%，求人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率.【答案】(1)(2)【详解】（1）该款芯片的次品率为（2）设批次的芯片智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，由已知得，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品概率为：高频考点三：全概率公式的应用典型例题例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）长时间玩可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令“玩时间超过的学生”，“玩时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”，则，且互斥，，，依题意，，解得，所以所求近视的概率为.故选：B例题2和分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件表示从乙袋中取出的球是红球，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】易知，，所以.故选：A例题3．（2023秋·广西·高三统考阶段练习）已知某地居民中青少年、中年人、老年人暑期去广西桂林旅游的概率分别为0.1，0.2，0.15，且该地居民青少年、中年人、老年人的人数比例为4:3:3，若从该地居民（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，则此人暑期去桂林旅游的概率为．【详解】记该地居民为青少年、中年人、老年人的事件分别为，显然，且两两互斥，记任选一人去桂林旅游的事件为，则，,由全概率公式得例题4．（2023·全国·高二课堂例题）李老师7：00出发去参加8：00开始的教学会．根据以往的经验，他骑自行车迟到的概率是0.05，乘出租车迟到的概率是0.50．他出发时首选自行车，发现自行车有故障时再选择出租车．设自行车有故障的概率是0.01，试计算李老师迟到的概率．【答案】【详解】解:用B表示李老师迟到，用A表示自行车有故障，则是乘出租车迟到的概率，是骑自行车迟到的概率．根据题意，，．因为A，互斥，所以AB，互斥．利用概率的可加性得到．因为，，再由概率的乘法公式可知，李老师迟到的概率是．练透核心考点1．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）重庆某高校有橘园､桃园､李园3个食堂，根据大数据统计分析，某天上午下课后，在校学生进入橘园､桃园､李园食堂的学生人数分别占，但因为各种原因，进入橘园､桃园､李园食堂的学生中有一些同学未用餐，而选择出校就餐.其中进入橘园､桃园食堂未用餐而选择出校就餐的学生分别占，现从在校学生中任选一位学生，若发现这位学生是出校就餐的概率为，则推测进入李园食堂中但未用餐而选择出校用餐的学生占（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设A表示学生进入橘园､桃园､李园食堂而外出就餐人数，分别表示学生进入橘园､桃园､李园食堂人数，由全概率公式：