湖北省仙桃市田家炳实验高级中学2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题

2023年11月数学测试一、单选题1．集合，则（）A．B．C．D．2．设或，或，则是的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要3．“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组彩用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（）A．324B．297C．25D．1684．已知函数的定义域是，则的定义域是（）A．B．C．D．5．若，则的值为（）A．B．C．D．6．已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．7．已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知为定义在上的函数，其图象关于y轴对称，当时，有，且当时，，若方程（）恰有5个不同的实数解，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．10．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（）A．是奇函数B．的周期是C．的图象关于直线对称D．的图象关于对称11．设数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（）A．是等比数列B．是单调递减数列C．D．12．下列不等关系中，正确的是（）A．B．C．D．三、填空题13．在中，，则___________.14．已知数列，则数列的通项公式___________．15．已知两曲线f（x）＝2sinx，g（x）＝acosx，x∈相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为___________.16．设数列满足,且对任意,函数满足，若，则数列的前项和为___________.四、解答题17．已知函数.（1）求的单调减区间.（2）若是锐角，，求的值.18．已知数列满足.（1）求数列的通项公式（2）若，数列的前n项和为，证明：.19．已知函数,．（1）讨论函数的单调性；（2）当时,判断的零点个数．20．数列和满足，，.（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前项和.21．如图，在平面四边形中，，，，.（1）若，求的值；（2）求四边形面积的最大值.22．已知函数．（1）当时，求的最值；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数存在两个极值点，求的取值范围．参考答案：1．B【分析】求出，根据交集概念求出答案.【详解】，故.故选：B2．B【分析】根据条件的充分性必要性判断即可.【详解】取，此时条件成立，条件不成立，所以，不是的充分条件；对任意或者，都满足或者，所以，是的必要条件，故是的必要不充分条件，故选：B3．A【分析】根据题意得到，即可得到答案.【详解】由题知：，解得.故选：A4．D【分析】根据抽象函数的定义域可得满足，结合根式的意义即可求解.【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，又，即，所以，解得.所以函数的定义域为.故选：D.5．D【分析】根据诱导公式可得，结合二倍角公式即可求解.【详解】由可得，即所以，故选:D6．B【解析】根据指数函数、对数函数的性质借助中间值0和1比较可得．【详解】，，，故选：B．【点睛】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．7．D【分析】根据偶函数性质把不等式化为，再利用函数单调性得，最后利用对数函数单调性解不等式即可.【详解】因为是定义域为R的偶函数且，所以不等式等价，又函数在上单调递减，所以，所以或，所以或，即满足的的取值范围是.故选：D8．C【分析】由已知式得出函数的周期性，求出一个周期内函数的解析式，从而得出在整个定义域内的图象，观察图象得出参数范围．【详解】当时，有，所以，所以函数在上是周期为2的函数，从而当时，，有，又，，即，又易知为定义在R上的偶函数，所以可作出函数的图象与直线有5个不同的交点，所以，解得，故选：C．【点睛】方法点睛：函数零点个数与方程的解的个数问题，通常把方程进行变形，化为一个函数图象与一条直线的交点个数，然后利用函数的性质如奇偶性、单调性等作出图象，观察图象可得结论．9．ABD【分析】由不等式的性质和指数函数、幂函数的单调性即可判断.【详解】对于A，若，当时，则可能成立或，故A错误；对于B，若，则可能成立或，故B错误；对于C，若，则成立，故C正确；对于D，若，则，则可能存在故D错误.故选：ABD.10．AC【分析】根据图像平移和三角函数的诱导公式可得，由此即可得到结果.【详解】将函数的图象向左平移个单位，可得，所以是奇函数，且图象关于直线对称.故选：AC.【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换和诱导公式的应用，属于基础题.11．ACD【分析】构造法得、判断A，并可得，应用分组求和、等比数列前n项和公式求，根据通项公式判断单调性判断B、C、D.【详解】由题设，则，当，则，则，所以是首项、公比均为的等比数列，则，故，则，故不递减，，在上递增，所以，综上，A、C、D对，B错.故选：ACD12．ACD【分析】构造函数，利用函数导数及性质每项验证.【详解】对A，令，则，当e时，，此时在（0，e）上单调递增，当e时，，此时在（e，）上单调递减，所以，，所以，故A正确；对B，令，则，当e时，，此时在（0，e）上单调递增，当e时，，此时在（e，）上单调递减，由e，所以，故B错误；对C，由时，所以，令，当时，，此时在上单调递减，当时，，此时在上单调递增，所以，所以，当时取等号，所以，即，又，所以，所以，故C正确对D，由又（，当时取等号）所以即，即，故D正确故选：ACD.13．【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】.故答案为：14．【分析】取倒数后得为等差数列，再由等差数列的通项公式求解．【详解】由题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列，得，即，故答案为：15．【详解】设P（x0，y0），x0∈，则2sinx0＝acosx0，且f′（x0）g′（x0）＝2cosx0·（－asinx0）＝－1，联立以上两式，解得x0＝，则a＝＝.故答案为16．【分析】依题意，可求得，于是知数列是等差数列，设其公差为d，由，可求得，利用分组求和的方法即可求得答案．【详解】.因为，所以：，所以是一个等差数列.，又，，所以.故答案为:【点睛】本题考查数列的求和，利用确定数列是等差数列是关键，考查等差关系的确定与其通项公式的应用，突出分组求和的应用，属于难题.17．（1），；（2）.【解析】（1）由三角函数单调区间的求法，令求解即可；（2）由两角和的正弦公式及二倍角的余弦公式展开可得，再化简即可得解.【详解】解：（1）由函数，令，，得：，所以的单调减区间为，.（2）由，即，则，，因为是锐角，所以.所以，故得.【点睛】本题考查了三角函数单调区间的求法，重点考查了两角和的正弦公式及二倍角的余弦公式，属基础题.18．（1）（2）证明见解析【分析】（1）利用求出（），求出通项公式，检验也满足；（2）裂项相消法求和后得到答案.【详解】（1）∵①，当时，，故，时，②①②得（），而也满足上式，∴.（2），∴.19．（1）见解析；（2）2【分析】（1）对函数进行求导,利用分类讨论法求出函数的单调性；（2）设,求导,让导函数等于零,然后判断出函数的单调性,最后确定函数零点个数.【详解】（1）,故当时,,所以函数在上单调递增,当时,令,得,所以函数在上单调递增,令,得,所以函数在上单调递减,综上,当时,函数在上单调递增,当时,函数在上单调递增,在上单调递减.（2）设,则,令,解得,当时,；当时,；故最大值为，所以有且只有一个零点.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.20．（1），；（2）【分析】（1）由等比数列的定义求，由累加法求；（2）先求出，再由错位相减法求和即可【详解】（1）因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，又，则，所以由累加法得；所以，；（2）因为，所以，所以，所以所以21．（1）（2）【分析】（1）由余弦定理求出，再由正弦定理求出；（2）利用两次余弦定理得到，进而表达出四边形的面积为，结合的取值范围，求出最大值【详解】（1）在中，由余弦定理可得，∴，即，∴，又，∴.∵，，∴，在中，由正弦定理可得，即，∴.（2）由余弦定理可得：，，∴，∴四边形的面积.又∵，当，即时，四边形的面积取得最大值.22．（1）最小值是，无最大值；（2）；（3）.【分析】（1）由，得到，再利用导数法求解；（2）将恒成立，转化为恒成立，设，用导数法求其最大值即可；（3）求导，根据在两个极值点，得到，然后化简得到求解.【详