2023-2024学年浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷9

2023-2023学年浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷

一、选择题（每小题5分，共40分）

1.设a为，3+泥-后疏的小数部分，b为46+3叱-,6-班的小数部分•则看上的值为

（）

A.V6+V2_1B.A/G-V2+1C.Vs-V2_1D.V6+V2+1

2.如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶

点处,三角板PCD绕点P在平面内转动，且NCPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M,

PD交AB于点N,设AB=2,AN=x,BM=y,则能反映y与x的函数关系的图象大致是（）

3.如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH,正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的

对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S,旋转的角度为

S与。的函数关系的大致图象是（）

4.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共

需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔，练习本,

圆珠笔各1个，共需（）

A.1.2元B.1.05元C.0.95元D.0.9元

5.设关于x的方程ax?+（a+2）x+9a=0,有两个不相等的实数根xi、X2,且xi〈l〈X2,

那么实数a的取值范围是（）

A.B.1<a<|C.a>|D.-X<a<0

6.如图，正方形ABCD的边AB=1,而和京都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分

7.已知锐角三角形的边长是2,3,x,那么第三边x的取值范围是（）

A.l<x<V5B.\/5<X<713C.V13<X<5D.V5<X<V15

8.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度

的产值增长了X%,则第三季度的产值比第一季度增长了（）

A.2x%B.l+2x%C.（1+x%）*x%D.（2+x%）・x%

二、填空题（每小题5分，共40分）

9.方程组（幻市+旧=2的解是_____.

[x+y=26

10.若对任意实数x不等式ax>b都成立，那么a,b的取值范围为.

11.设-1WXW2,则|x-2|-L|x|+|x+2]的最大值与最小值之差为

2

12.两个反比例函数丫=5,y=@在第一象限内的图象如图所示.点Pl,P2,P3....P2023

XX

在反比例函数y=2上，它们的横坐标分别为XI、X2、X3......X2023,纵坐标分别是1,3,

X

5…共2023个连续奇数，过Pl,P2，P3......P2023分别作y轴的平行线，与y=3的图象

X

交点依次为Q（xj,y/）、Qi（X2'，y2’）、…、Q2（X2023'，y2023‘），

则P2023Q20231=.

13.如图，圆锥的母线长是3,底面半径是1,A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧

面一周，再回到A点的最短的路线长是.

14.有一张矩形纸片ABCD,AD=9,AB=12,将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕

长是.

15.已知3,a,4,b,5这五个数据，其中a,b是方程x?-3x+2=0的两个根，则这五

个数据的标准差是.

16.若抛物线y=2x2-px+4p+l中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为.

三、解答题(共70分)

17.(15分)设m是不小于-1的实数，关于x的方程X2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有

两个不相等的实数根XI、X2，

(1)XI2+X22=6,求m值；

22

/、」、mx1IDxn,,=।..

(2)求一1+—L的最大值.

1-xjl-x2

18.(15分)如图，开口向下的抛物线y=ax?-8ax+l2a与x轴交于A、B两点，抛物线

上另有一点C在第一象限，且使△OCASAOBC,

(I)求oc的长及型的值；

AC

(2)设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式.

19.（15分）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按

120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，旦冰箱至少生产60台，已知生产

这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

家电名称空调彩电冰箱

工时1

~2~3W

产值（千元）432

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千

元为单位）

20.（10分）一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；

（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率.

21.（15分）如图，已知。O和。0,相交于A、B两点，过点A作。0,的切线交00于

点C,过点B作两圆的割线分别交。0、于E、F,EF与AC相交于点P.

（1）求证：PA・PE=PC・PF；

（2）求证：巫1=空；

PC2PB

（3）当。O与。0,为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求4PEC与4FAP的面积

的比值.

答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共40分）

,•解：:A/3+泥-43-泥

=/6+2^5-,6-2>/5

V~2-V2-

-V5+1_V5-1

72V2

请也

，a的小数部分二«-1；

,.-76+35/3-^/6-373

^3+V5_3-V3

V2V2

二瓜,__

；.b的小数部分=5/^-2,

-2_12__L_

baV6~2V2-1

_2（V^+2）_

--6-42-1

=巫+2-&-1

=V6-V2+1.

故选B.

2.解：作PHJ_AB于H,如图,

VAPAB为等腰直角三角形，

ZA=ZB=45°,AH=BH」AB=1,

2

/.△PAH和△PBH都是等腰直角三角形，

.".PA=PB=A/2AH=V2'NHPB=45°,

NCPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M,PD交AB于点N,

而NCPD=45°,

.♦.1WANW2,即1WXW2,

,.,Z2=Zl+ZB=Zl+45°,ZBPM=Z1+ZCPD=Z1+45°,

/.Z2=ZBPM,

而NA=/B,

/.△ANP^ABPM,

•AP_AN即艮x

'"BFBP"、V7T

•••vy-—2—,

X

；.y与x的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为1WXW2.

故选：A.

3.解：如右图，过点E作EM1.BC于点M,EN_LAB于点N,

•.•点E是正方形的对称中心，

，EN=EM,

由旋转的性质可得NNEK=NMEL,

rZNEK=ZEML

在RtZ\ENK和RtZ\EML中，EN=EM，

ZENK=ZEML

故可得AENK之4EML,即阴影部分的面积始终等于正方形面积的工.

4

故选B.

D

4.解：设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元,

根据题意得：俨+7y+z=3.15①，

4x+l0y+z=4.2②

②-①得：x+3y=L05③，

①-3③可得：2y=z,

故可得：x+y+2y=x+y+z=1.05.

故选B.

5.解：方法1、•••方程有两个不相等的实数根，

则△>(),

/•(a+2)2-4aX9a=-35a2+4a+4>0,

解得-2<a<2,

75

*.'xi+X2=-X1X2=9,

a

又VX1<1<X2,

二•xi-1VO,X2-l>0,

那么(xi-1)(X2-1)<0,

•**X1X2-(X1+X2)+l<0,

即9+空2+ivo,

a

解得_J_<a<0,

11

最后a的取值范围为：—ZvaVO.

11

故选D.

方法2、由题意知，aWO,☆y=ax?+(a+2)x+9a,

由于方程的两根一个大于1,一个小于1,

二抛物线与x轴的交点分别在1两侧，

当a>0时，x=l时，yVO,

/.a+(a+2)+9a<0,

.,.a<-A(不符合题意，舍去)，

11

当aVO时,x=l时,y>0,

/.a+(a+2)+9a>0,

/.a>--A.,

11

--2-<a<0,

11

故选D.

6.解：如图:

正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①

两个扇形的面积=2S3+SI+S2；②

冗信二

②-①，得：s3-s4=s扇彩-S正方形=9°12-1=2L_].

3602

7.解：因为三角形是锐角三角形，所以22+32>X2；22+X2>32,所以5<X2<13,即

V5<x<V13.

故选B.

8.解：根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了（2+x%）・x%,

故选D

二、填空题（每小题5分，共40分）

9.解：设x+l=a,y-l=b,则原方程可变为1%+折=2①，

1a+b=26②

由②式又可变化为（%+如）（源-=+娇）=26，

把①式代入得（立一遍+货尸3,这又可以变形为（%+讥）2-3际13,

再代入又得-3灯瓦=9,

解得ab=-27,

又因为a+b=26,

所以解这个方程组得卜=27或卜二T,

lb=-llb=27

于是⑴卜+1=27,解得卜=26；

⑵[x+l=T,解得卜=-2.

ly-l=27ly=28

x.=26fx=-2

故答案为1和29.

yj=Oy2=28

10.解：•..如果aWO,不论a大于还是小于0,对任意实数x不等式ax>b都成立是不

可能的，

a=0,则左边式子ax=O,

.•.bVO一定成立,

...a,b的取值范围为a=0,b<0.

11.解：1-14W2,.•.x-2W0,x+2>0,

.•.当2，x»0时，lx-2|-L|x|+|x+2|=2-x-Lx+x+2=4-Lx；

222

当-IWXVO时，|x-2|-』X|+|X+2|=2-X+LX+X+2=4+L,

222

当x=0时，取得最大值为4,x=2时取得最小值，最小值为3,

则最大值与最小值之差为1.

故答案为：1

12.解：由题意可知：P2023的坐标是(PX2023,4013),

又•:P2023在y=2上，

而QX2023（即PX2023）在y=W上，所以Qy2023=­--=—~~=12坦

x0x2007/一2

4013

/•P2023Q20231=IPy2023-Qy20231=4013-4°12|三事"」-.

22

故答案为：幽W.

2

13.解：\•图中扇形的弧长是2兀，根据弧长公式得到2尸缚

180

...n=120。即扇形的圆心角是120°

•••弧所对的弦长是2X3sin6（r=3会

o

p

14.解：如图，由勾股定理易得AC=15,设AC的中点为E,折线FG与AB交于F,(折

线垂直平分对角线AC),AE=7.5.

VZAEF=ZB=90°,NEAF是公共角，

/.△AEF^AABC,

•••E”F—_—BC_•""，9♦

AEAB12

EF=2Z：3”

4

折线长"2EF="

4

故答案为变.

4

故这组数据是3,1,4,2,5

其平均数工工(3+1+4+2+5)=3

x5

方差S2=_l[(3-3)2+(1-3)2+(4-3)2+(2-3)2+(5-3)2]=2

5

故五个数据的标准差是S=薛近

故本题答案为：

16.解：y=2x?-px+4p+l可化为y=2x?-p(x-4)+1,

分析可得：当x=4时，y=33；且与p的取值无关；

故不管p取何值时都通过定点(4,33).

三、解答题(共70分)

17.解：•.•方程有两个不相等的实数根，

/.A=b2-4ac=4(m-2)2-4(m2-3m+3)=-4m+4>0»

，mVl,

结合题意知：-lWm<l.

(1)VXI2+X22=(XI+X2)2-2xiX2=4(m-2)2-2(m2-3m+3)=2m2-10m+10=6

•一5±7T7

•・nr2-，

V-

•5诉.

••nFn----，

⑵ex/|inx22_m[xi2+x22-xix2(xi+x2)]

1-Xjl-x2(1-Xj)(l-x2)m2-m

=2Mm：)(,加1)=2包2-3时l)=2(nrf)2~1(-lWm<l)•

...当m=-1时，式子取最大值为10.

18.解:

(1)由题设知a<0,

且方程ax2-8ax+12a=0有两二根，

两边同时除以a得，x2-8x+12=0

原式可化为(x-2)(x-6)=0

xi=2,X2=6

于是0A=2,0B=6

VAOCA^AOBC

/.OC2=OA«OB=12即OC=2«

而®=强=^^二打故迎/

0A0A2AL，

(2)因为C是BP的中点

/.OC=BC从而C点的横坐标为3

又0C=2«，C(3,V3)

设直线BP的解析式为y=kx+b,

因其过点B(6,0),C(3,炳),

则有0=6k+b

V3=3k+b

Ib=2V3

厂^^x+2依

o

又点C（3,我）在抛物线上

**•V3=9a-24a+12a

19.解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，则有

%+7+2=360①

z>60③

①-②义4得3x+y=360,

总产值A=4x+3y+2z=2(x+y+z)+(2x+y)=720+(3x+y)-x=10