2022年四川省成都市中考数学真题（学生版+解析版）

2022年四川省成都市中考数学试题

A卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）

1.一3巳的相反数是（）

7

3377

A.-B.一一C.一一D.—

7733

2.2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前己

建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家.将数据160万用科学

记数法表示为（）

A.1.6X102B.1.6X1O5C.1.6x1()6D.1.6xl07

3.下列计算正确的是（）

Am+m=m2B.2[m-n)=2m-n

C.（m+2n）2=m2+4n2D.(m+3)(/M-3)=z?72-9

4.如图，在AABC和中，点A,E，B,。在同一直线上，AC//DF,AC^DF,只添加一

个条件，能判定△ABC/△。及1是（）

C.ZA=ZDEFD.ZABC^ZD

5.在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读

服务活动，报名人数分别为：56,60,63,60,60,72,则这组数据的众数是（）

A.56B.60C.63D.72

6.如图，正六边形ABC0EE内接于。O，若。。的周长等于6%,则正六边形的边长为（）

E

D

A.V3B.76C.3D.2百

7.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买

苦果七，十一文钱九个甜,甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其

中四文钱可以买苦果七个,十一文钱可以买甜果九个.问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y

个，则可列方程组为（）

x+y=1000x+y=1000

A.<411B

—x+—)，=999-"y=909

79-

x+y=1000x+y=1000

C.<D.<

7x+9^=9994x+lly=999

8.如图，二次函数>=依2+反+，图像与X轴相交于A（—1,0）,B两点，对称轴是直线x=l,下列说

A.a>0B.当x>-l时，>的值随x值的增大而增大

C.点B的坐标为（4,0）D.4a+2/?+c>0

第n卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5个小题）

9.计算：(-«3)2=

m—2

10.关于X的反比例函数y=——的图像位于第二、四象限，则〃2的取值范围是.

X

II.如图，AABC和△。所是以点。为位似中心的位似图形.若Q4:A£>=2:3,则AABC与△。石户的

周长比是—

3-x1

12.分式方程——+——=1的解是.

x-44-x

13.如图，在AABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和。为圆心，以大于‘BC的长为半径作弧，两

2

弧相交于点例和N；②作直线MN交边于点E.若AC=5，BE=4,ZB=45°,则AB的长为

三、解答题（本大题共5个小题）

<］、T

14.计算：—一囱+3tan30°+|百一

3（x+2）>2x+5①

（2）解不等式组：\x%—2厂、.

123

15.2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳

动从综合实践活动课程中独立出来.某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体

验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如

下不完整的统计图表.

等级时长：（单位：分钟）人数所占百分比

A0<t<24X

B2<r<420

C4<r<636%

Dt>616%

根据图表信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生总人数为,表中X的值为;

（2）该校共有500名学生，请你估计等级为B学生人数；

（3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，

请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

16.2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边

缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图，当张角44。8=150。时，顶部边缘A处离

桌面的高度AC的长为10cm,此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄

金比知识，发现当张角NA'08=108。时（点A是A的对应点），用眼舒适度较为理想.求此时顶部边缘

A处离桌面的高度AO的长.（结果精确到1cm；参考数据:sin72°«0.95,cos72°«0.3b

tan72°®3.08）

CDOB

17.如图，在RtaABC中，NACB=90°,以BC为直径作。0,交AB边于点、D,在CO上取一点

E，使BE=CD，连接。E，作射线CE交AB边于点F.

(1)求证：ZA=ZACF；

4

(2)若AC=8，cosZACF=-,求及£>E的长.

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-2x+6的图象与反比例函数），=七的图象相交于

X

A（a,4）,B两点.

（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C,连接BC,当线段AC被y轴分成长度比为

1:2的两部分时，求的长；

（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”.设P是

第三象限内的反比例函数图象上一点，。是平面内一点，当四边形A8PQ是完美筝形时，求p,。两点

的坐标.

B卷

一、填空题（本大题共5个小题）

19.已知2a2—7=2。，则代数式一网二^十@二的值为_______

Ia）a

20.若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程％2_6x+4=（）的两个实数根，则这个直角三

角形斜边的长是.

21.如图，已知。。是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆.现假设可以随意在图中取点，则这个点

取在阴影部分的概率是.

22.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度分（米）与物体运动的时间，

（秒）之间满足函数关系〃=-5/+/加+〃，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从

发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到/秒时h的值的“极差”（即0秒到1秒时h的最大值与最小

值的差），则当OWfWl时，w的取值范围是；当2W1W3时，卬的取值范围是.

23.如图，在菱形ABC。中，过点。作。EJ_C。交对角线AC于点E，连接8E,点P是线段8E上一

动点，作尸关于直线的对称点尸'，点。是AC上一动点，连接P'Q,DQ.若AE=14，

CE=18,则DQ-P'Q的最大值为

二、解答题

24.随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道

骑行成为市民的一种低碳生活新风尚.甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是

18km/h,乙骑行的路程s（km）与骑行的时间（h）之间的关系如图所示.

（1）直接写出当0wrw0.2和t>0.2时，•，与r之间的函数表达式;

（2）何时乙骑行在甲的前面？

25.如图，在平面直角坐标系中，直线丁=E一3（左。0）与抛物线y=相交于A,B两点（点A

在点8左侧），点B关于y轴的对称点为8'.

（1）当4=2时，求A,8两点的坐标；

（2）连接。4,OB,AB',BB'，若VB'AB的面积与AOAB的面积相等，求R的值；

（3）试探究直线AM是否经过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

26.如图，在矩形A8CD中，40=出3（〃>1）,点E是AO边上一动点（点E不与A，。重合），连

接8E,以防为边在直线8E的右侧作矩形EBFG,使得矩形EBFGs矩形ABC。，EG交直线CD于

（1）【尝试初探】在点£的运动过程中，AABE与△£>即始终保持相似关系，请说明理由.

(2)【深入探究】若咒=2,随着E点位置的变化，”点的位置随之发生变化，当H是线段CO中点时，

求tanNABE的值.

(3)【拓展延伸】连接8"，FH，当△3EH是以为腰的等腰三角形时，求tanNABE的值(用含

”的代数式表示).

2022年四川省成都市中考数学试题及答案数学

A卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）

3

1.一二的相反数是（）

7

3377

A.-B.一一C.一一D.—

7733

【答案】A

【解析】

【分析】直接根据相反数的求法求解即可.

【详解】解：任意一个实数a的相反数为-a

由-士的相反数是士；

77

故选A.

【点睛】本题主要考查相反数，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键.

2.2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已

建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家.将数据160万用科学

记数法表示为（）

A.I.6xl02B.1.6xl05C.1.6xl06D.1.6xl07

【答案】C

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中6间＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数

变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃是非负

数；当原数的绝对值＜1时，"是负数.

【详解】解答：解：160万=1600000=1.6x1（）6,

故选：C.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中6同＜10,〃为

整数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.

3.下列计算正确的是（）

A.m+m=rrrB.2（m-n）=2m-n

C.(m+2«)2-irr+4«2D.(/«+3)(m-3)-m2-9

【答案】D

【解析】

【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一

判定.

【详解】解：A.m+m=2m,故该选项错误，不符合题意;

B.2(m-n)=2m-2n,故该选项错误，不符合题意;

C.(m+2n)2-nr+4mn+4n2,故该选项错误，不符合题意;

D.(m+3)(/M-3)-m2-9,故该选项正确，符合题意;

故选：D.

【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和

运用各运算法则和公式是解决本题的关键.

4.如图，在AABC和ADEF中，点A,E，B,。在同一直线上，AC//DF,AC^DF,只添加一

个条件，能判定△ABC会△。耳'的是()

AE=DBC.ZA=ZDEFD.ZABC=ZD

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可.

【详解】A、BC=DE,不能判断△ABC丝选项不符合题意;

B、AE=DB，利用SAS定理可以判断△ABC且△£＞七厂，选项符合题意;

C、ZA=ZDEF，不能判断ZvlBC且△DEF,选项不符合题意;

D、ZABC^ZD,不能判断/XABC会△。耳选项不符合题意;

故选:B.

【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS.ASA,A4S判断三角形全等，找出三角形全等的条

件是解答本题的关键.

5.在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校团委招募志愿者到六个社区开展“书香成都”全民阅读

服务活动，报名人数分别为：56,60,63,60,60,72,则这组数据众数是（）

A.56B.60C.63D.72

【答案】B

【解析】

【分析】结合题意，根据众数的性质分析即可得到答案.

【详解】根据题意，56,60,63,60,60,72这组数据的众数是：60

故选:B.

【点睛】本题考查了众数的知识；解题的关键是熟练掌握众数的定义：众数是指在统计分布上具有明显集

中趋势点的数值，也就是一组数据中出现次数最多的数值.

6.如图，正六边形46。。七户内接于。。，若0。的周长等于6乃，则正六边形的边长为（）

A.⑺B.76C.3D.2百

【答案】C

【解析】

【分析】连接。8,OC,由。。的周长等于6兀，可得的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得

答案.

【详解】解：连接OB,OC,

;。。的周长等于6兀,

二。。的半径为：3,

VZBOC=-x360°=60°,

6

"?OB=OC,

...△OBC是等边三角形,

:.BC=OB=3,

，它的内接正六边形A8CDEF的边长为3,

故选：C.

【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

7.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买

苦果七，十一文钱九个甜,甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其

中四文钱可以买苦果七个,十一文钱可以买劭果九个.问：苦、甜果各有几个？设苦果有X个，甜果有y

个，则可列方程组为（)

x+y=1000x+y=1000

A.〈411B.79

—x+—y=999-x+—y=909

79411

x+y=1000x+y-1000

C.<D.

7x+9y=9994x+lly=999

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题.

【详解】解：设苦果有x个，甜果有y个，由题意可得,

x+y=1000

411

—x+-y=999

.79-

故选：A.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是解决本题的关

键.

8.如图，二次函数y=Qc2+-+c的图像与x轴相交于A（-l,0）,B两点，对称轴是直线x=l,下列说

法正确的是（）

B.当》>-1时，y的值随x值的增大而增大

C.点8的坐标为(4,0)D.4a+2Z?+c>0

【答案】D

【解析】

【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可.

【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即a<0,故该选项不符合题意；

B、根据图像开口向下，对称轴为1=1,当x>i,y随x的增大而减小；当x<l,y随x的增大而增

大，故当T<X<1时，y随X的增大而增大；当X>1,y随X的增大而减小，故该选项不符合题意；

C、根据二次函数y=+必+C的图像与X轴相交于A(—l,0),8两点，对称轴是直线％=1,可得对

称轴X=&乎11=1,解得4=3,即3(3,0),故该选项不符合题意;

D、根据8(3,0)可知，当x=2时，y=4a+2b+c>Q,故该选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与无轴

交点A(—1,0)得至I]8(3,0)是解决问题的关键.

第n卷(非选择题)

二、填空题(本大题共5个小题)

9.计算：(―*')=_"

【答案】a6

【解析】

【分析】根据哥的乘方可直接进行求解.

【详解】解：(一/丫=。6；

故答案为“6.

【点睛】本题主要考查幕的乘方，熟练掌握幕的乘方是解题的关键.

；77—2

10.关于X的反比例函数y=----的图像位于第二、四象限，则〃，的取值范围是一

x

【答案】m<2

【解析】

【分析】根据反比例函数的性质即可确定m-2的符号，从而求解.

【详解】根据题意得：m-2<0,

解得：m<2.

故答案为：m<2.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y=±(k#0),(1)k>0,反比例函数图象在

x

一、三象限；(2)k<0,反比例函数图象在第二、四象限内.

11.如图，AABC和△£>£"是以点。为位似中心的位似图形.若。4:45=2:3,则AABC与△£)石厂的

周长比是.

【答案】2:5

【解析】

【分析】根据位似图形的性质，得到△OC4~AOEO,根据。4:A£>=2:3得到相似比为

OAOA2

—=—=---=—,再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论.

FDODOA+AD5

【详解】解：・.・A/WC和△£>防是以点。为位似中心的位似图形，

AOCA-AOFD,

CAOA

...-----=-----,

FDOD

•••OA:AD=2:3,

.CA__OA__OA_2

FD~OD~OA+AD~

QCA2

根据AABC与ADEF的周长比等于相似比可得当1=y=£，

CQDEFFD5

故答案为：2:5.

【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的

关键.

3—尤1

12.分式方程^+——=1的解是________.

x-44-x

【答案】x=3

【解析】

【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去

括号，移项合并，将x的系数化为1,求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得

到原分式方程的解.

3-r|

【详解】解：--+——=1

x-44-x

解：化整式方程为：3-x-l=x-4,

解得：x=3,

经检验x=3是原方程的解，

故答案为：尤=3.

【点睛】此题考查了分式方程的解法.注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键.

13.如图，在AABC中，按以下步骤作图：①分别以点8和。为圆心，以大于的长为半径作弧，两

2

弧相交于点M和N；②作直线MN交边A8于点E.若AC=5,BE=4,NB=45°,则A8的长为

【答案】7

【解析】

【分析】连接EC,依据垂直平分线的性质得EB=EC.由已知易得NBEC=NCEA=90°,在RtAAEC

中运用勾股定理求得AE,即可求得答案.

【详解】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，

连接EC,如图，

所以BE=CE,

所以NECB=/B=45°,

所以NBEC=ZCEA=90°,

因为AC=5,BE=4,

所以CE=4,

在中，AE=JACEC。=收-4?=3，

所以AB=AE+BE=3+4=7,

因此A8的长为7.

故答案为：7.

【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一

点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得AE即可.

三、解答题（本大题共5个小题）

14.计算：-V9+3tan30°+|V3-2|.

3（x+2）>2x+5①

（2）解不等式组：,%—2否•

--1<----②

123

【答案】（1）1；（2）-l<x<2

【解析】

【分析】（1）本题涉及负整数指数塞、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简4个考点.在计算

时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

（2）分别解出两个不等式的解集再求其公共解.

【详解】解:

(1)出-V9+3tan30°+|^-2|

=2-3+3x3+2-75

3

=-1+石+2-0

=1.

3（%+2）>2x+5①

（2）<xr-2

--1<—②

123

不等式①的解集是应-1；

不等式②的解集是x<2：

所以原不等式组的解集是

【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型，解决此类题目的关键是

熟练掌握负整数指数幕、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式等考点的运算.求不等式组的解集应遵

循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

15.2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳

动从综合实践活动课程中独立出来.某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体

验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如

下不完整的统计图表.

等级时长：（单位：分钟）人数所占百分比

A0<r<24X

B2<r<420

C4<r<636%

Dt>616%

根据图表信息，解答下列问题：

(1)本次调查的学生总人数为，表中X的值为;

(2)该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；

(3)本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，

请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

【答案】⑴50,8%

(2)200(3)-

3

【解析】

【分析】(1)利用概率计算公式先求出总人数，再求出等级为A的学生人数；

(2)利用概率计算公式先求出等级为B的学生所占的百分比，再求出等级为5的学生人数；

(3)记两名男生为a,b,记两名女生为c,d,通过列出表格列出所有可能的结果，用恰有一男一女的结

果数除以总的结果数，即可得到恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

【小问1详解】

解：组人数为8人，所占百分比为16%,

.•.总人数为8+16%=50人，

%=4+50=8%.

【小问2详解】

解：等级为3的学生所占的百分比为20+50=40%,

，等级为B的学生人数为500x40%=200人.

小问3详解】

解：记两名男生为“，b,记两名女生为c,d,列出表格如下：

弟—人——abcd

abacada

babcbdb

cacbede

dadbdcd

，一共有12种情况，其中恰有一男一女的有8种，

Q9

•••恰好抽到一名男生和一名女生的概率2=丘=§.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法，概率计算公式的熟练应用是解答本题的关键.

16.2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边

缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图，当张角NAOB=150。时，顶部边缘A处离

桌面的高度AC的长为10cm,此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄

金比知识，发现当张角NA05=108。时（点A是A的对应点），用眼舒适度较为理想.求此时顶部边缘

A'处离桌面的高度4。的长.（结果精确到1cm；参考数据：sin72°»0.95,cos72°«0.31，

tan72°«3.08)

A'

【答案】约为19cm

【解析】

【分析】在出△AC。中，根据正弦函数可求。4=20cm,在中，根据正弦函数求得的值.

【详解】解：在&ZviCO中，ZAOC=180°-ZAOB=30°,AC=10cm,

OC10“

：.0A=sin3001，

2

在放△A'OO中，?A®C180?2AOB72?,Q4'=Q4=20cm,

：.A^)=OA.sin72盎20?0.9519cm.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

17.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,以8c为直径作。0,交A8边于点。，在CO上取一点

E，使BE=CD，连接。E，作射线CE交AB边于点F.

（1）求证：ZA=ZACF；

4

（2）若AC=8，cosZACF=-,求及OE的长.

42

【答案】（1）见解析（2）BF=5,DE=—

25

【解析】

【分析】⑴根据Rt/XABC中，4C3=90°，得至|JNA+/8=NACP+N8CF=9O°,根据跳：=CD，得

至|JNB=/BC凡推出/A=/ACF：

（2）根据NB=/BCF,ZA=ZACF,得至ljAFXT,BF=CF,ffi.'BAB,根据

4c4_________

cosZACF=cosA=——=-,AC=8,得到AB=10,得到BF=5,BC-JAB2-AC2=6,得到

AB5

Be3

sinA=——=—,连接CD,根据BC是。。的直径，得到NBOC=90。，推出/B+NBCD=90。，推出NA=

AB5

DjT\O1Q7

ZBCD,得到sin/BCD=——=一，推出8。=一，得到。尸=8/一8。=一，mZFDE=ZBCE,

BC555

DEDF42

ZB=ZBCE,得到NFCE=NB,推出QE〃BC,得到△FQEs^FBC,推出——=——，得到。E=—.

BCBF25

【小问1详解】

解：,••RtZXABC中，ZACB^90°,

：.ZA+ZB=ZACF+ZBCF=W°,

"­"BE=CD，

NB=/BCF,

：.NA=/4CF；

【小问2详解】

VZB=ZBCF,ZA=ZACF

:・AF=CF,BF=CF,

：.AF=BF=^AB,

AC4

cosZACF=cosAA=-----=—,AC=8,

AB5

Z.AB=10,

JBF=5,

■­■BC=yjAB2-AC2=6-

sinT3

AB5

连接C。，是。。的直径,

ZBDC=90°,

：.NB+/BCD=90。,

ZA=ZBCD,

RDa

:.sinZ.BCD==—,

BC5

7

・•・DF=BF—BD=—,

5

•：/FDE=/BCE,NB=NBCE,

:・/FDE=NB,

：.DE//BC9

MFDEs^FBC,

.DEDF

BCBF

c

FD

【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆

周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质.

18.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+6的图象与反比例函数y="的图象相交于

A(a,4),8两点

(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；

(2)过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C,连接当线段AC被y轴分成长度比为

1:2的两部分时，求5c的长；

(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”.设P是

第三象限内的反比例函数图象上一点，。是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求p,。两点

的坐标.

4

【答案】(1)反比例函数的表达式为y=一，点8的坐标为(2,2)

x

(2)4丘或当-

⑶(-4,-1),(-1,5)

【解析】

【分析】(1)首先把点A的坐标代入y=-2x+6,即可求得点A的坐标，再把点A的坐标代入丁=人，即

X

可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点3的坐标；

(2)设直线AC的解析式为产履+b,点C的坐标为直线AC与y轴的交点为点£),把点4、C的

坐标分别代入产丘+A可求得点。的坐标为(o,4+2)可求得4。、CD的长，再分两种情况分别计

算，即可分别求得；

4

(3)方法一：如图，过点B作依_LAB,交丁=一的另一支于点P，过点尸作x轴的平行线，过点B作x

x

轴的垂线，交于点。，作AO_L8C交于点。，设BQ,4P交于点〃，根据△ADBSABCP,求得点P的

坐标，进而求得AP的解析式，设点。的坐标为(小b),根据定义AQ=A5以及”在直线北上，建立方

程组，即可求得点。的坐标.

【小问1详解】

解：把点A的坐标代入y=—2x+6,

得4=-2。+6,解得〃=1，

故点A的坐标为(1,4),

k

把点A的坐标代入y=一,

x

得:4,

4

故反比例函数的表达式为y=一,

x

y=-2x+6

<4，

y=一

Ix

得x?-3x+2=0>

解得％=1,x,=2,

故点A的坐标为(1,4),点8的坐标为(2,2)；

【小问2详解】

解：设直线AC的解析式为广"+〃，点。的坐标为（九直线AC与），轴的交点为点。,

把点A、C的坐标分别代入产米+6,得

k+b=4

,4，

mk+b=一

、m

'k—

解得m.，

、m

故点o的坐标为（o,4+\j,

,•,3">+(4+\一4)二.,

CZ)=.(m-o)2+|—-4-—I=Jn?+16，

V\mm)

得加*+12m2-64=0,

解得病=4或加=-16（舍去）,

故加=—2或加=2（舍去），

故此时点C的坐标为G2,-2）,

BC=J(-2-2)2+(-2-2)2=4正,

如图：当CD:AD=1:2时,连接BC,

得m4+63m2-16=0，

解得病［或病一6（舍去）,

故m=一'或加=’（舍去）,

22

故此时点C的坐标为（一3,一8）,

••BC=jD+（—8—2）2=乎,

综上，8c的长为4夜或上乎；

【小问3详解】

4

解：如图，过点B作依_LAB，交＞=—的另一支于点尸，过点尸作x轴的平行线，过点B作x轴的垂

x

线，交于点。，作ADLBC交于点。，设30,4P交于点M,如图

VA（1,4）,B（2,2）

•••0(2,4)

设m＜0,则PC=2—，〃,30=2—4,03=2,40=1

•.•NAB尸=90°

ZABD=90°-ZPBC=ZBPC

又/D=NC

・'•AADBS^BCP

ADDB

~BC~~PC

1_2

即c42-m

解得m=-4或根=2(舍去)

则点P(-4,—l)

设直线R4的解析式为y=sx+f,将点A(1,4),尸(-4,-1)

Ys+/=—1

V

s+f=4

=J

解得＜sc

[t=3

•・•直线24的解析式为y=x+3

设Q(。,。)，根据题意，8Q的中点M在直线PB上，则

"­'QA=AB=yjAD2+DB2=722+12=A/5

Q+2.Z?+2

------+3=------

则J22

(a-1)，9-4『二5

a—-\fa=0

解得〈厂或＜/(在直线A3上,舍去)

b=5[b=6

，Q(T,5).

综上所述，P(-4,-l),G(-l,5).

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平

面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求

解析式是解决本题的关键.

B卷

、填空题（本大题共5个小题）

2a-1a—\

19.已知26-7=2。，则代数式「一的值为

7

【答案】一##3.5##3；

22

【解析】

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简

结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；

2。一1

【详解】解:

a12。一1

aa

_-2。+1u—\

aa2

3—1)2a2

=----------x-------

aa-1

=a(a-l)

2a2-7=2。，

移项得21—2a=7，

左边提取公因式得2(〃一。)=7,

两边同除以2得,。=—7,

2

7

.,.原式=一.

2

7

故答案为：一.

2

【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程为2一6彳+4=0的两个实数根，则这个直角三

角形斜边的长是.

【答案】2币

【解析】

【分析】由题意解一元二次方程6x+4=0得到x=3+6或x=3-6，再根据勾股定理得到直角

三角形斜边的长是2J7.

【详解】解：,•・一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程f_6x+4=0的两个实数根，

由公式法解一元二次方程/一6x+4=0可得x=但36二16=6±275=3土也,

22

•••根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是,(3+南+(3—南=屈=2疗，

故答案为：2币.

【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键.

21.如图，已知。。是小正方形外接圆，是大正方形的内切圆.现假设可以随意在图中取点，则这个点

取在阴影部分的概率是.

71—2

【答案】

4

【解析】

【分析】如图，设OA=m则。8=0C=a,根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和

圆的面积，再根据概率公式计算即可.

【详解】解：如图，设。4=。，则OB=OC=a,

由正方形的性质可知NAOB=90。，

AB—VCT4-CT—'

由正方形的性质可得CD=CE=OC=a,

DE=2af

i2

S阴影=S[Ri-S小正方形=乃〃2=7ro-2a?=（万—2