数学八年级下册期中优化评（苏科版）专题10平行四边形

专题10平行四边形知识讲解平行四边形的概念与性质（一）平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条。（二）平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.【微点拨】（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.平行四边形的判定与平行线间的距离（三）平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.【微点拨】（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.（四）平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.同步练习1．如图，在平面直角坐标系中，以A（1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（）A．（3，1） B．（4，1） C．（1，1） D．（3，1）【答案】B【分析】作出图形，结合图形进行分析可得.【详解】如图所示：①以AC为对角线，可以画出▱AFCB，F（3，1）；②以AB为对角线，可以画出▱ACBE，E（1，1）；③以BC为对角线，可以画出▱ACDB，D（3，1），故选B.2．在平行四边形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（）A．∠D=60° B．∠A=120° C．∠C+∠D=180° D．∠C+∠A=180°【答案】D【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝60°．故A正确；∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝180°－∠B＝120°，故B正确；∵AD∥BC，∴∠C＋∠D＝180°，故C正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A＝120°，故D不正确，故选D．3．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．无数【答案】C【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解.【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形.故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线.4．如图，是边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD=∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A不符合题意；根据平行线的性质得到∠DEF=∠CBF，根据全等三角形的性质得到EF=BF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B不符合题意；根据平行线的性质得到∠AEB=∠CBF，求得∠CBF=∠BCD，求得CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C符合题意；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，推出∠BDE=∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D不符合题意．【详解】∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴四边形为平行四边形，故A不符合题意；∵，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴四边形为平行四边形，故B不符合题意；∵，∴，∵，∴,∴，同理，，∴不能判定四边形为平行四边形；故C符合题意；∵，∴，∵，∴，∴四边形为平行四边形，故D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．5．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形．下列错误的是（

）A．BC∥AD B．BC=AD C．AB=CD D．∠A+∠B=180°【答案】B【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【详解】解：根据平行四边形的判定，A、AB∥CD，BC∥AD，能判定四边形ABCD是平行四边形；C、AB∥CD，AB=CD，能判定四边形ABCD是平行四边形；D、AB∥CD，由∠A+∠B=180°，∴BC∥AD，能判定四边形ABCD是平行四边形；B、添加BC=AD，则不能判定是平行四边形．故选：B．【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．6．已知，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，给出下列四个条件①AB∥CD，②OA＝OC，③AD＝BC，④∠A＝∠C，任取两个条件，可得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有（）A．5种 B．4种 C．3种 D．2种【答案】D【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．【详解】①②组合可证明△ABO≌△CDO，进而得到AB＝CD，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④组合可利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；∴有2种可能使四边形ABCD为平行四边形．故选：D．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．7．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2s D．1s【答案】B【详解】解：设运动时间为t秒，则CP=123t，BQ=t，根据题意得到123t=t，解得：t=3，故选B．【点睛】本题考查一元一次方程及平行四边形的判定，难度不大．8．在▱ABCD中，AB＜BC，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，若▱ABCD的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质解答即可．【详解】∵对角线AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE＝CE，∵▱ABCD的周长为20cm，∴AD+DC＝10cm，∴△CDE的周长＝DE+CE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝10cm，故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE．9．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66° B．104° C．114° D．124°【答案】C【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°∠2∠BAC=180°44°22°=114°，故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．10．如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，ABC的周长为28cm，则对角线AC的长为（）A．28cm B．18cm C．10cm D．8cm【答案】C【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）＝36，则AB+BC＝18cm，而△ABC的周长＝AB+BC+AC＝28，继而即可求出AC的长．【详解】解：∵▱ABCD的周长是36cm，∴AB+AD＝18cm，∵△ABC的周长是28cm，∴AB+BC+AC＝28cm，∴AC＝（AB+BC+AC）﹣（AB+AC）＝28﹣18＝10（cm）．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键．11．如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠BAD=127°，则∠BCE=____．【答案】37°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD=180°，可得∠B的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE=90°∠B即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠BAD=127°∴∠B=53°，∵CE⊥AB，∴∠E=90°，∴∠BCE=90°∠B=90°53°=37°，故答案为：37°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形两锐角互余．熟练掌握平行四边形的性质，求出∠B的度数是解决问题的关键．12．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连结OE.下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的结论有______．(填序号)【答案】①②④【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故答案为①②④．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．13．如图，为的对角线，M、N分别在上，且则_____（填“＜”、“＝”或“＞”）【答案】＝【分析】连结，根据平行四边形的性质可得，，由已知条件根据等底同高的三角形面积相等可得，即可得出答案．【详解】连结，如图四边形是平行四边形，，，,，,，．故答案为：=【点睛】本题考查了平行四边形的性质，通过找到等底同高的三角形是解题的关键．14．如图，分别是的边上的点．将四边形沿翻折，得到四边形交于点则的周长为________．【答案】24【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF，根据折叠的性质得到，推出△GEF是等边三角形，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG=∠EGF，∵将四边形沿翻折，得到，∴，∴∠AEG=60°，∴∠EGF=60°，∴△EGF是等边三角形，∵EF=8，∴△GEF的周长=24，故答案为：24．【点睛】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握基本性质是解题关键．15．如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,3),B(2,1),直角坐标系中存在点C,使得O,A,B,C四点构成平行四边形,则C点的坐标为______________________________.

【答案】(3,4)或(1,2)或(1,2)【分析】由平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，即可求得点C的坐标；注意三种情况．【详解】如图所示：∵以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（1，3），B（2，0），∴三种情况：①当AB为对角线时，点C的坐标为（3，4）；②当OB为对角线时，点C的坐标为（1，2）；③当OA为对角线时，点C的坐标为（1，2）；故答案是：（3，4）或（1，2）或（1，2）．【点睛】考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．解题的关键是要注意数形结合思想的应用．16．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．【详解