§6 距离的计算、看

§6

距离的计算空间两点间的距离公式或dA,B＝理解运用向量求空间中点到直线的距离及点到平面的距离的方法；（重点）会用直线的方向向量和平面的法向量求空间中的各种距离；（难点）进一步体会向量方法在解决立体几何问题中的作用.探究点1

点到直线的距离因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一个平面内点到直线的距离问题.lPAAlP空间一点A到直线l的距离的算法框图如下在直线l上任取一点P确定直线l的方向向量s计算向量PA计算向量PA在向量s上的投影PA

s0计算点A到直线l的距离dCDBxyA1B1C1D1例1

如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=1，BC=2，AA1=3，z求点B到直线A1C的距离.解：因为

AB=1，BC=2，AA1=3,所以1A

(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0)

(A)

OCD(A)

OBxyzA1B1C1D1CD(A)

OBxyzA1B1C1D1已知点A(1,-1,2),直线l过原点O，且平行于向量=(0,2,1).求点A到直线l的距离d.【变式练习】探究点2.点到平面的距离设

是过点P垂直于向量的平面,

A是平面

外一定PA1An的距离d

等于设AA1⊥

,垂足为A1

,则点A到平面线段AA1的长度,PA1An空间一点A到平面的距离的算法框图如下在平面

上任取一点P找到平面的法向量n计算向量PA计算PA在向量n上的投影PA

n0计算点A到平面的距离d例2.如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)证明

是平面A1BD的法向量；(2)求点C1到平面A1BD的距离.(A)CDOBxyzA1B1C1D1解：据题意有A1(0,0,1),

B(1,0,0)，D(0,1,0),C1(1,1,1).(A)CDOBxyzA1B1C1D1(A)CDOBxyzA1B1C1D1已知点M(-1,2,3),平面C(0,2,2).求点M到平面经过点A(1,2,0),B(-2,0,1的距离.【变式练习】解析：求点M到平面

的距离思考：如何将线面距、面面距等转化为点面距？提示：直线与平面平行时，直线上的点到平面的距离均相等；平面与平面平行时，一个平面上的点到另一个平面的距离均相等，而异面直线间的距离可以构造线面平行转化为点到平面的距离，因此，寻找一个特殊点，求此点到另一个平面的距离是解答的基本思路.【拓展总结】其中

为斜向量，为法向量.问题1：如何求与平面平行的直线到该平面的距离？l问题2.如何求平面间的距离？1.已知向量=(1,0,-1)与直线l垂直，且l经过点解析：

=(-2,0,-1),又

与l垂直，∴P与l的距离为A(2,3,1)，则P(4，3，2)到l的距离为(B

)2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是棱AB,BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离是(D

)3.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是

.解析：分别以PA，PB，PC所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，平面ABC的一个法向量是

=(1,1,1),练习：4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.解析:以D为原点建立空间直角坐标系,则E(0,

,1),A1(1,0,

1),B(1,1,0),B1(1,1,1).设面A1BE的法向量n=(x,y,z),由=(1,2,2).因为所以回顾本节课你有什么收获？AlPPA1An3.利用法向量来解决立体几何题目，最大的优点就是不用像在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题.但是也有局限性，用