专题01锐角三角函数（知识串讲9大考点）原卷版

专题01锐角三角函数考点类型知识一遍过（一）锐角三角函数在Rt△ABC中，∠C=90°。则∠A的三角函数为定义表达式取值范围关系正弦sinA=cosA=余弦正切tanA＞（二）特殊角三角函数三角函数30°45°60°1考点一遍过考点1：锐角三角函数概念典例1：（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠CA．cosA=BCAB B．tanA=BCAC C．sinA【变式1】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于A．ADAB B．BDAD C．BDBC【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，A．a=b·tanA B．a=【变式3】（2023·上海·九年级假期作业）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD为斜边A．sinA=ADC．tanA=AB考点2：定义法求三角函数典例2：（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，AB=3，A．34 B．35 C．45【变式1】（2020秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1A．sinA=32 B．tanA=【变式2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3A．23 B．53 C．25【变式3】（2023秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若BC=6，ACA．35 B．45 C．43考点3：由三角函数值求边长典例3：（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3A．6 B．8 C．10 D．12【变式1】（2023春·吉林长春·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，若∠AA．4sinα B．4sinα C．【变式2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=3A．3 B．6 C．9 D．12【变式3】（2023秋·九年级课前预习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanAA．12 B．255 C．5考点4：求特殊角三角函数典例4：（2022秋·福建泉州·九年级校考期中）三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则sin2∠AOB的值为（A．32 B．22 C．1【变式1】（2020秋·上海杨浦·九年级校考阶段练习）△ABC中，∠A=30°A．∠A的余切值为33 B．∠C．∠B的余弦值12 D．【变式2】（2022·福建福州·福建省福州第十六中学校考模拟预测）如图，要测量小河两岸A，B两点的距离，可以在小河边取AB的垂线BC上的一点C，测得BC=100米，∠ACB=30°，则小河宽ABA．50米 B．503米 C．200米 D．100【变式3】（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，△ABC放在小正方形边长为1网格中，点A，B，C在格点上，则sinC=（A．52 B．22 C．2 D考点5：特殊角三角函数应用——求度数典例5：（2023·北京海淀·校考模拟预测）在锐角△ABC中，若sinA-A．60° B．45° C．75° D．105°【变式1】（2022秋·黑龙江绥化·九年级校考期中）如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB=2，AC=1，DEA．60° B．75° C．90° D．105°【变式2】（2022·福建龙岩·九年级统考自主招生）已知有公式：cosα-β=cosA．75° B．60° C．30° D．15°【变式3】（2023秋·九年级课时练习）李红同学遇到了这样一道题：3tanα+20°=1，你猜想锐角αA．40° B．30° C．20° D．10°考点6：特殊角三角函数应用——三角形形状典例6：（2022秋·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=32，A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【变式1】（2022秋·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且(sinA．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定【变式2】（2022春·九年级课时练习）若3tanA-32+A．含有60°直角三角形 B．等边三角形C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形【变式3】（2022秋·广西贺州·九年级统考期末）在△ABC中，2cosA-32+A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形考点7：同角三角函数值证明与求解典例7：（2022春·九年级单元测试）若sinα-cosα=A．1+m2 B．1-m2 C．【变式1】（2023·湖南娄底·统考中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的△ABC的面积为S△ABC=12a2b2-a2+b2-c222．△A．cosC=aC．cosC=a【变式2】（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知α是锐角，sinα=cos30°，则A．60° B．45° C．30° D．无法确定【变式3】（2022春·九年级课时练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ba.则下列关系式中不成立的是(A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1考点8：互余两角三角函数关系典例8：（2023春·上海普陀·九年级统考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，已知sinAA．23 B．32 C．53【变式1】（2022春·九年级单元测试）在△ABC中，∠C=90°，则sinA．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不确定，与∠A【变式2】（2023·四川成都·成都实外校考一模）已知sin42°≈23，则cosA．53 B．13 C．32【变式3】（2022·福建南平·统考二模）如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若∠DCE=β，则矩形ABCDA．22cosβC．22sinβ考点9：三角函数综合——构造Rt△典例9：（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在平直角坐标系中，OB=10，cos∠AOB=4(1)求点B的坐标；(2)求sin∠【变式1】（2023秋·九年级单元测试）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时(1)sad60°=___________，sad90°=(2)如图，已知sinA=35，其中【变式2】（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）（1）如图1，∠A=60°,AC=1，AB=2求BC的长;（2）如图2，在△ABC中，试证明:BC2=AC2+AB22AC⋅ABcosA．【变式3】（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第二十二中学校考期末）【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形．(1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC(2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点D,N和E,C，DN和EC相交于点P，结合下面的分析，直接写出tan【分析】观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法实现角的转移，从而解决此类问题，比如连接格点M,N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠(3)如图，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，则sin∠CPN的值为同步一遍过一、单选题1．（2022春·九年级单元测试）若sinα=0.5，则锐角α等于（A．15° B．30°C．45° D．60°2．（2022春·九年级课时练习）正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点O，A，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则cos∠AOBA．12 B．22 C．323．（2022·九年级统考课时练习）不能判断ΔABC是直角三角形的条件是（

）．A．∠A:∠BC．sin2A+sin4．（2022春·九年级单元测试）如图，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值为()A．12 B．22 C．325．（2022春·九年级单元测试）在Rt△ABC中，∠C=90∘，bA．35 B．45 C．346．（2022春·九年级单元测试）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=32，则∠A的度数是(

A．30° B．45° C．60° D．90°7．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则A．97 B．9130130 C．38．（2022春·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于DA．2 B．22 C．63 D9．（2022春·广西防城港·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,ABA．1.5 B．1.8 C．2 D．310．（2023·广西河池·校考模拟预测）在菱形ABCD中，连接AC、BD，若sin∠ABD=23，且ACA．413 B．813 C．45二、填空题11．（2022秋·安徽·九年级校联考阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为6cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于cm．12．（2022春·上海·九年级校考阶段练习）计算：sin30°﹣（﹣3）0=．13．（2022秋·江苏扬州·九年级校考期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝8，sinA＝45，则AC＝14．（2022春·九年级单元测试）在直角坐标平面内有一点A(3，4)，点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．15．（2022秋·九年级上海市民办文绮中学校考期中）在RtΔABC中，∠C=90°，AC=BC，若点O是ΔABC16．（2022·山东临沂·校联考一模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC若AB＝8，tan∠ACB＝23，则BD的长是三、解答题17．（2022秋·江苏苏州·九年级苏州市平江中学校校考期中）计算：(1)2(2)2cos18．（2023春·全国·九年级专题练习）已知，Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=12，求19．（2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中）（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，∠ACB为90°的Rt（2）根据（1）中所画图形证明sin220．（2023秋·广西崇左·九年级统考期末）如图，将矩形纸片ABCDAD>DC沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB(1)若BE=1，EC=2，求(2)若BE:EC=1:4，CD21．（2022秋·上海静安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC、AB上，BD平分∠(1)求CD的长；(2)求tan∠22．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）在△ABC中，AB=6，∠B为锐角且cos(1)求∠B(2)求BC的长．(3)求△ABC23．（辽宁省部分学校20222023学年九年级上学期期末数学试题）计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）：sin60°24．（20