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释疑类微课垂径定理求弦长从2012年宁波卷第18题说起宁波市镇海区澥浦初级中学刘勇适用对象：浙教版初中数学九年级上册第三章《圆》复习课知识点：

垂径定理、圆周角定理内容分析：本微课所选取例题是2012年宁波市中考数学试卷第18题,通过对该题目的解析,重点探究垂径定理与圆周角定理在试题中的呈现方式.考虑到实际应用中的需要,重点侧重垂径定理的讲解.垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦,且平分这条弦所对的两条弧.如图1,直径CD垂直于弦AB,则AE=EB,劣弧AD=劣弧BD,优弧AC=优弧BC.①平分弦所对的优弧；②平分弦所对的劣弧；③平分弦（不是直径）；④垂直于弦；⑤经过圆心.知识回顾：

知二推三图1图3例题讲解：2012年宁波第18题题目：如图3,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为

．试题分析：

本题以圆为背景,要求在动点问题的基础上求线段长度的最值,主要考查的是垂径定理、圆周角定理、解直角三角形等知识.图3试题分析：

图3

线段EF是圆周角∠BAC所对的弦,圆周角为定值60°,要使所对的弦最短,则圆最小,即圆的直径AD最短.

由垂线段的性质可知,当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短,此时线段EF最短.再根据垂径定理构造直角三角形求解即可.图4例题解答：如图4,连接OE,OF,过O点作OH⊥EF于H，∵在Rt△ADB中,∠ABC=45°,AB=2，∴AD=BD=2,即此时圆的直径为2.半径半弦弦心距∠ABC=45°↓等腰直角三角形ABD图4由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°,∴在Rt△EOH中，由垂径定理可知EF=2EH=.故答案为：

．弦EF←半弦←半径半弦弦心距图5弦EF←半弦←半径半弦弦心距←含直径的直角三角形P解题反思（1）最值问题：定性判断；

（2）动点问题：化动为静；

（3）隐性条件：特殊角度和数值是暗示；（4）残缺模块：补充完整用结论.45°角→等腰直角三角形30°角→含30°的直角三角形60°角→等

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