九年级数学上册第24章圆243正多边形和圆习题课件(新版)新人教版

第二十四章圆24.3正多边形和圆第二十四章圆24.3

正多边形和圆考场对接题型一圆内接正多边形的判断考场对接例题1已知：如图24-3-6,△ABC是⊙O的内接等腰三角形,顶角∠BAC=36°,弦BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．分析要证明五边形AEBCD是正五边形,就是证明这个五边形的五条边所对的劣弧相等．

证明∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°.又∵BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°,∴BC=BE=AE=DA=CD,∴五边形AEBCD是正五边形．锦囊妙计证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法(1)证明圆内接多边形的每个内角相等,每条边也相等,二者缺一不可.(2)证明圆内接多边形的各边所对的劣弧相等.技巧：当边数是奇数时,各个内角相等的圆内接多边形是正多边形.题型二正多边形的有关计算例题2有一边长为6的正n边形,它的一个内角为120°,则其半径为(

).A．12

B．6

C．4

D．6B分析因为正多边形的内角是120°,所以该正多边形是正六边形.又因为该正六边形的边长为6,正六边形的半径等于边长,所以正六边形的半径为6.锦囊妙计正多边形的相关计算技巧(1)正n边形的半径、中心到一边的垂线段、边的一半构成一个直角三角形.有关正n边形的计算问题都可以转化为直角三角形的问题,常作半径、边心距构造直角三角形.(2)正六边形的边长等于它的半径,正三角形的边长等于它的半径的

倍,正方形的边长等于它的半径的

倍.题型三作正多边形例题3[镇江中考]图24-3-7①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形—正八边形.如图24-3-7②,AE是⊙O的直径,用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹).分析(1)过点O作GC⊥AE,与⊙O相交于点G,C；(2)连接AG,过点O作HD⊥AG,与⊙O相交于点H,D；(3)连接GE,过点O作FB⊥GE,与⊙O相交于点F,B；(4)顺次连接点A,B,C,D,E,F,G,H,八边形ABCDEFGH为所求作的正八边形.解如图24-3-8所示,八边形ABCDEFGH为所求作的正八边形.锦囊妙计作正多边形的方法(1)在圆中,用直尺和圆规作两条互相垂直的直径,就可以把圆四等分,从而作出正方形；再继续作与正方形相邻两边垂直的直径,即可作出正八边形,重复上面的作法可作出正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.(2)因为正六边形的边长等于半径,所以在半径为R的圆上依次截取长度等于R的弦,就可以把圆六等分,顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形.在正六边形的基础上可作出正十二边形和正三角形.题型四正多边形旋转的运用例题4如图24-3-9,将正六边形ABCDEF的中心角(为60°)绕中心O旋转,记旋转后的角为∠MON.试证：无论中心角旋转到什么位置,所形成的阴影部分的面积总等于这个正六边形面积的.分析证明如图24-3-9,连接OA,OB.∵∠AOM+∠AON=60°,∠AON+∠BON=60°,∴∠AOM=∠BON.∵∠OAM+∠OAB=120°,∠OBA+∠OAB=120°,∴∠OAM=∠OBN.又∵OA=OB,∴△OAM≌△OBN,∴S阴影=S△OAB=S正六边形ABCDEF.锦囊妙计正多边形常见的两种辅助线的作法(1)添加正多边形的半径和中心到一边的垂线段,通过构造直角三角形解题；(2)添加辅助圆,利用正多边形和圆的关系解题.题型五借助外接圆解答正多边形问题例题5如图24-3-10,正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M.求证：(1)AC∥ED；(2)ME=AE．

分析证明

(1)如图24-3-10,作正五边形ABCDE的外接圆⊙O,则弧ED的度数=弧DC的度数=×360°=72°．∵∠EAC的度数等于弧EDC的度数的一半,∴∠EAC=×72°×2=72°．∵∠AED==108°,∴∠EAC+∠AED=180°,∴AC∥ED.(2)∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠EAB=∠AED=108°,AE=AB,∴∠AEB=∠ABE=36°.由(1)知∠EAC=72°,∴∠EMA=180°－∠AEB－∠EAC=72°,∴∠EAM=∠EMA,∴ME=AE．

锦囊妙计特殊的辅助线——圆辅助圆是特殊的辅助线,当有共圆条件时,可作出辅助圆,利用圆的性质解决问题.题型六正多边形的实际应用例题6如图24-3-11,正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是_________cm．分析如图24-3-12,过正六边形的中心O作一边的垂线,垂足为B,连接OA,则∠O=30°,OA=2,AB=1,∴OB=(cm),∴a=2OB