人教版九年级数学上册 24.21 圆的切线证明方法（知识讲解）

专题24.21圆的切线证明方法专题（知识讲解）在圆这一章中，圆与直线的位置关系很重要。直线与圆有三种位置关系，分别为相离、相切与相交，尤其是相切，不仅要掌握基本定义外，还需要掌握切线的性质定理与判定定理。证明切线的方法有四种，我们需要熟练掌握两种证明切线的技巧，其中有三种思路也需要理解。方法一：有点（点在圆上）连线，证垂直已知（切）点（该点在未确定前不能称之为切点），即当直线与圆有公共点时，选择作半径，即连接圆心与该公共点，证明垂直，常见证明垂直的思路有三种。思路一：利用两个锐角互余证明垂直；思路二：利用全等证明垂直；思路三：利用勾股定理的逆定理证明垂直；思路四：利用等腰三角形的性质证明垂直。这三种思路在证明垂直时能经常用到，当选择用“作半径，证垂直”时可以考虑用这三种思路。方法二：无点（点不确定在圆上），作垂直，证相等当切点未知时，选择作半径，即过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长度等于圆的半径。【典型例题】类型一、有点连线、证垂直1．如图，AC是□ABCD的对角线，．O是BC垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O．求证：AB为⊙O的切线．【分析】连接BO，并延长BO交CD于E，由O在BC垂直平分线上，得到，即OB是⊙O的半径．再运用平行四边形性质及，证明，从而证得AB为⊙O的切线．证明：连接BO，并延长BO交CD于E，∵O在BC垂直平分线上，∴，∴OB是⊙O的半径，，∵AC是□ABCD的对角线，∴，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，又∵OB是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线．【点拨】本题考查了切线的判定，运用垂直平分线性质、平行四边形的性质及已知角的等量关系证得是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB是的直径，点C是圆上一点，于点D，点E是圆外一点，CA平分．求证：CE是的切线．【分析】先根据题意可知∠CAD+∠ACD=90°，由角平分线定义得∠ACE=∠ACD，再根据“等边对等角”得∠CAO=∠ACO，进入得出∠ACE+∠ACO=90°，可知∠ECO=90°，即可得出答案．解：在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°．∵CA平分∠ECD，∴∠ACE=∠ACD．∵AO=CO，∴∠CAO=∠ACO，∴∠ACE+∠ACO=90°，∴∠ECO=90°，∴CE⊥CO，∴CE是圆O的切线．【点拨】本题主要考查了切线的证明，掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）试判断直线BC与OD的位置关系，并说明理由.（2）若BD＝，BF＝3，求⊙O的半径.【答案】（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由见分析；（2）⊙O的半径是3．【分析】（1）连接OD，由OA＝OD得到∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠CAB得到∠OAD＝∠CAD，则∠ODA＝∠CAD，求出OD//AC，进而得到OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD//AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，∵OD为半径，∴线BC与⊙O的位置关系是相切；（2）设⊙O的半径为R，则OD＝OF＝R，在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，即(R+3)2＝()2+R2，解得：R＝3，即⊙O的半径是3．【点拨】本题考查圆与直线的位置关系和勾股定理，解题的关键是掌握圆与直线的位置关系和勾股定理.2．如图，中，，⊙O是的外接圆．过点作，判断与⊙O的位置关系，并证明．【答案】AD与圆O的相切，证明见分析【分析】连接OA，OC，先证明△OAB≌△OAC得到∠OAB=∠OAC，则由三线合一定理可得AO⊥BC，再由，得到OA⊥AD，由此即可证明．解：AD与圆O的相切，证明如下：连接OA，OC，在△OAB和△OAC中，∴△OAB≌△OAC（SSS），∴∠OAB=∠OAC，∴由三线合一定理可得AO⊥BC，∵，∴OA⊥AD，∴AD与圆O的相切．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，切线的判定，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握切线的判定条件．举一反三：【变式1】如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，C是⊙O外一点．若，直线BC与⊙O相交，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】相交，理由见分析【分析】根据平行线的性质即圆的性质，证明，从而得，根据已知条件直线BC与⊙O相交，即可判断与⊙O的位置关系解：相交，理由如下：如图，连接，，，，，，，，，（SAS），，直线BC与⊙O相交，，．直线与⊙O相交．线CD与⊙O的位置关系是：相交．【点拨】本题考查了圆的性质，三角形全等的性质与判定，直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．【变式2】如图，AC与⊙O相切于点C，AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．求证：AB是⊙O的切线；若BD＝8，CE＝12，求AC的长．【答案】(1)见分析(2)12【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质得出∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，根据等腰三角形的性质得出∠OED＝∠ODE，即可得出∠AOC＝∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO＝∠ACB＝90°，即可证得结论；（2）在Rt△ODB中，根据勾股定理求得BO，得到BC＝16，然后，在Rt△ACB中，根据勾股定理列出关于AC的方程，解方程即可．（1）证明：连接OD．∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∵DE//OA，∴∠OED＝∠AOC，∠ODE＝∠AOD，∴∠AOC＝∠AOD．在△AOD和△AOC中，，∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACO．∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OD是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．（2）解：∵CE＝12，∴OE＝OD＝OC＝6，在Rt△ODB中，BD＝8，OD＝6，BD2＋OD2＝BO2，∴BO＝10，∴BC＝BO＋OC＝16．∵⊙O与AB和AC都相切，∴AD＝AC．在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，即：AC2＋162＝（AC＋8）2，解得：AC＝12．【点拨】本题主要考查了切线的判定和性质、平行线的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理，熟练应用相关性质定理是解答本题的关键．类型二、无点作垂直、证相等3．如图，在平面直角坐标系中，的半径为，则直线与的位置关系怎样？【答案】相切，理由见详解【分析】首先画出直线，并过点作，垂足为，再根据函数关系式求得，，进而利用勾股定理得到，然后根据直角三角形的面积求得，从而得到结论圆心点到直线的距离等于的半径，可见直线与的位置关系是：相切．解：结论：直线与的位置关系是：相切理由：画出直线，过点作，垂足为，如图：∵直线的解析式为∴令，解得；令，解得∴，∴，∴在中，根据勾股定理得∵∴∵的半径为∴圆心点到直线的距离等于的半径，即∴直线与的位置关系是相切．【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理、利用三角形的面积求线段长等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，O为菱形ABCD对角线上一点，⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，只要证明OM=ON即可得出结论．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于垂足为N，∵⊙O与BC相切于点M，

∴OM⊥BC，OM为半径，

∴∠OMC=∠ONC=90°，∵AC是菱形ABCD的对角线，

∴∠ACB=∠ACD，∵OC=OC，∴△OMC≌△ONC（AAS），

∴ON=OM=半径，∠ONC=90°，∴CD与⊙O相切．【点拨】本题考查了切线的判定定理，菱形的性质，熟知无交点，作垂直，证半径是解题的关键．【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，D为AB上的一点，OD＝OC，以O为圆心，OB的长为半径作⊙O．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若AB＝6，BD＝2，求线段AC的长．【答案】(1)见分析(2)8【分析】（1）过O作OE⊥AC于E，先证Rt△ABO≌Rt△AEO，OB＝OE，即OE为圆的半径，即可求证；（2）利用切线的性质可得AB=AE，再证Rt△BOD≌Rt△COE，即有BD＝CE＝2，则AC可求．(1)证明：过O作OE⊥AC于E．∵AO平分∠BAC，且∠ABC＝90°，OE⊥A