八年级数学上册(浙教版)课件：专题训练：(四)-等腰三角形中四种常用的作辅助线的方法-

八年级数学上册（浙教版）专题训练(四)等腰三角形中

四种常用的作辅助线的方法一、作“三线”中的“一线”“三线合一”是等腰三角形中特殊线段具有的性质，在解决等腰三角形边角问题时，常添加底边上的高或中线或顶角平分线中的一条线段，实现异曲同工之妙的作用．1．如图，AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAC＝2∠CBD.2．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.证明：作AM⊥BC于点M.∵AB＝AC，∴BM＝CM.又∵BD＝CE，∴DM＝EM.又∵AM⊥BC，∴AM是DE的垂直平分线，∴AD＝AE3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF.证明：连结AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.又∵AE＝AF，∴DA垂直平分EF，∴DE＝DF二、作平行线法作平行线利用平行线的性质得到角相等，与“等边对等角”或“等角对等边”结合来将分散的条件集中起来解决问题．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①，求证：PD＝QD；(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．三、截长补短法在等腰三角形中证明线段的和差关系时，常需将其转化为相等，利用等腰三角形的性质求解，其方法是将两短线补合成一条线段或将长线段截成与所证两短线段相等，简称“截长补短”法．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.证明：延长BD至点E，使BE＝AB，连结CE，AE.∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE为等边三角形，∴∠AEB＝60°.又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC，∴∠DCE＝∠DEC，∴DC＝DE，∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，即BD＋DC＝AB6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点E.若∠A＝100°.求证：BC＝BE＋AE.证明：在BC上截取BD＝BE，连结DE.∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°.又∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝80°.又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，∴∠CED＝40°＝∠C，∴DE＝DC.过点E分别作EM⊥BA，交BA的延长线于点M，EN⊥BC于点N.∵BE平分∠ABC，∴EM＝EN.∵∠BAC＝100°，∴∠EAM＝180°－100°＝80°.在△EMA和△END中，∵∠EAM＝∠EDN，∠AME＝∠DNE，EM＝EN，∴△EMA≌△END(AAS)，∴EA＝DE.又∵DE＝DC，∴EA＝DC，∴BC＝BD＋DC＝BE＋AE四、加倍折半法在三角形中，若需要证线段的倍分关系，可构成等腰三角形并采用加倍折半法，将条件或结论转化为相等来解决．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．解：在DC上截取DE＝BD，连结AE.∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AED.∵AB＋BD＝CD，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD，而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.设∠EAC＝∠C＝x°，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x°，∴∠B＝2x°，∠BAE＝180°－4x°.∵∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝120°，∴180－4x＋x＝120，解得x＝20，则∠C＝20°8．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.证明：延长CE到点F，使EF＝CE，连结FB.则CF＝2CE.∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC中，∵BE＝AE，∠BEF＝∠AEC，EF＝EC，∴△BEF≌△AEC(SAS)，∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD.又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.在△CBF和△CBD中，∵CB＝CB，∠CBF＝∠CBD，BF＝BD，∴△CBF≌△CBD(SAS)，∴CF＝CD，∴CD＝2CE谢谢！墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人，一说宋人，战国初期思想家，政治家，教育家，先秦堵子散文代表作家。曾为宋国大夫。早年接受儒家教育，后聚徒讲学，创立与儒家相对立的墨家学派。主张•兼爱”“非攻“尚贤”“节用”，反映了小生产者反对兼并战争，要求改善经济地位和社会地位的愿望，他的认识观点是唯物的。但他一方面批判唯心的宿命论，一方面又提出同样是唯心的“天志”说，认为天有意志，并且相信鬼神。墨于的学说在当时影响很大，与儒家并称为•显学”。《墨子》是先秦墨家著作，现存五十三篇，其中有墨子自作的，有弟子所记的墨子讲学辞和语录，其中也有后期墨家的作品。《墨子》是我国论辩性散文的源头，运用譬喻，类比、举例，推论的论辩方法进行论政，逻辑严密，说理清楚。语言质朴无华，多用口语，在先秦堵子散文中占有重要的地位。公输，名盘，也作•“般”或•“班”又称鲁班，山东人，是我国古代传说中的能工巧匠。现在，鲁班被人们尊称为建筑业的鼻祖，其实这远远不够．鲁班不光在建筑业，而且在其他领域也颇有建树。他发明了飞