第2章 信号及其描述

第2章信号及其描述目录信号的分类与描述周期信号与离散频谱瞬变非周期信号与连续频谱2.12.22.3随机信号2.4在生产实践和科学实验中，需要观测大量的现象及其参量的变化。这些变化量可以通过测量装置变成容易测量、记录和分析的电信号。一个信号包含着反映被测系统的状态或特性的某些有用的信息，它是人们认识客观事物内在规律、研究事物之间相互关系、预测未来发展的依据。这些信号通常用时间的函数（或序列）来表述该函数的图形称为信号的波形。2.1信号的分类与描述2.1.1信号的分类确定性信号与随机信号若信号可表示为一个确定的时间函数，因而可确定其任何时刻的量值，这种信号称为确定性信号。确定性信号又分为周期信号和非周期信号。（１）周期信号周期信号是按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号，可表达为想x(t)＝x(t+nT０)

(ｎ＝１，２，３，…)（２）非周期信号将确定性信号中那些不具有周期重复性的信号称为非周期信号。它有两种：准周期信号和瞬变非周期信号。准周期信号是由两种以上的周期信号合成的，但其组成分量间无法找到公共周期，因而无法按某一时间间隔周而复始重复出现。除准周期信号之外的其他非周期信号，是一些或在一定时间区间内存在，或随着时间的增长而衰减至零的信号，并称为瞬变非周期信号。2.1信号的分类与描述2.连续信号和离散信号若信号数学表示式中的独立变量取值是连续的，则称为连续信号。若独立变量取离散值，则称为离散信号。３.能量信号和功率信号在非电量测量中，常把被测信号转换为电压或电流信号来处理。电压信号x(t)加到电阻Ｒ上，其瞬时功率P(t)＝x2(t)/R。当R=1时，P(t)＝x2(t)。瞬时功率对时间积分就是信号在该积分时间内的能量。依此，人们不考虑信号实际的量纲，而把信号x(t)的二次方x2(t)。及其对时间的积分分别称为信号的瞬时功率和能量。当x(t)满足时，则认为信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称能量信号，如矩形脉冲信号、衰减指数函数等。2.1信号的分类与描述若信号在区间（－∞，∞）的能量是无限的，即但它在有限区间（t1，t2）的平均功率是有限的，即则这种信号称为功率有限信号或功率信号。图２-１所示的振动系统，其位移信号x(t)就是能量无限的正弦信号，但在一定时间区间内其功率却是有限的。如果该系统加上阻尼装置，其振动能量随时间而衰减（见图２-２），这时的位移信号就变成能量有限信号了。2.1信号的分类与描述2.1.2信号的时域描述和频域描述直接观测或记录到的信号，一般是以时间为独立变量的，称其为信号的时域描述。信号时域描述能反映信号幅值随时间变化的关系，而不能明显揭示信号的频率组成关系。为了研究信号的频率结构和各频率成分的幅值、相位关系，应对信号进行频谱分析，把信号的时域描述通过适当方法变成信号的频域描述，即以频率为独立变量来表示信号。在信号分析中，将组成信号的各频率成分找出来，按序排列，得出信号的“频谱”。若以频率为横坐标、分别以幅值或相位为纵坐标，便分别得到信号的幅频谱或相频谱。图２-５示出了该周期方波的时域波形、幅频谱和相频谱三者的关系。2.1信号的分类与描述图２-５2.1信号的分类与描述表２１列出两个同周期方波及其幅频谱、相频谱。不难看出，在时域中，两方波除彼此相对平移Ｔ０／４之外，其余完全一样。但两者的幅频谱虽相同，相频谱却不同。平移使各频率分量产生了ｎπ／２相角，ｎ为谐波次数。总之，每个信号有其特有的幅频谱和相频谱。故在频域中，每个信号都需同时用幅频谱和相频谱来描述。信号时域描述直观地反映出信号瞬时值随时间变化的情况；频域描述则反映信号的频率组成及其幅值、相角的大小。为了解决不同问题，往往需要掌握信号不同方面的特征，因而可采用不同的描述方式。例如，评定机器振动烈度，需用振动速度的方均根值来作为判据。若速度信号采用时域描述，就能很快求得方均根值。而在寻找振源时，需要掌握振动信号的频率分量，这就需采用频域描述。实际上，两种描述方法能相互转换，而且包含同样的信息量。2.1信号的分类与描述2.2周期信号与离散频谱2.2.1傅里叶级数的三角函数展开式在有限区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数（信号）x(t)都可以展开成傅里叶级数。傅里叶级数的三角函数展开式为2.2周期信号与离散频谱Ｔ０———周期；ω０———圆频率，ω０＝２π/Ｔ０；ｎ＝１、２、３、…。式中Ａｎ———第ｎ次谐波的幅值；φｎ———第ｎ次谐波的初相角。从式可见，周期信号是由一个或几个乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成。以圆频率为横坐标，幅值Ａｎ或相角φｎ为纵坐标作图，则分别得其幅频谱和相频谱图。由于ｎ是整数序列，各频率成分都是ω０的整倍数，相邻频率的间隔Δω＝ω０＝２π／Ｔ０，因而谱线是离散的。通常把ω０称为基频，并把成分Ansin(nω0t＋φｎ)称为ｎ次谐波。2.2周期信号与离散频谱2.2.2傅里叶级数的复指数函数展开式傅里叶级数也可以写成复指数函数形式。根据欧拉公式，有因此式(2-7)可改写为2.2周期信号与离散频谱这就是傅里叶级数的复指数函数形式。将式（２-８）代入式（２-14a）和式（２-14b）中，并令ｎ＝０、±１、±２、…，即得2.2周期信号与离散频谱在一般情况下，Cn是复数，可以写成把周期函数x(t)展开为傅里叶级数的复指数函数形式后，可分别以|Cn|－ω和φn－ω绘制幅频谱图和相频谱图也可以分别以ｃｎ的实部或虚部与频率的关系绘制幅频图，并分别称为实频谱图和虚频谱图（参阅例２-２）。比较傅里叶级数的两种展开形式可知：复指数函数形式的频谱为双边谱（ω从－∞～＋∞），三角函数形式的频谱为单边谱（ω从０～＋∞）；两种频谱各谐波幅值在量值上有确定的关系，即｜ｃｎ｜＝１２Ａｎ，｜ｃ０｜＝ａ０。双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。2.2周期信号与离散频谱在式（２-15）中，ｎ取正、负值。当ｎ为负值时，谐波频率nω0为“负频率”。出现“负”的频率似乎不好理解，实际上角速度按其旋转方向可以有正有负，一个矢量的实部可以看成是两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影之和，而虚部则为其在虚轴上投影之差（见图２-８）。图2-82.2周期信号与离散频谱2-2-3周期信号的强度表述周期信号的强度特征可以用峰值、绝对均值、有效值和平均功率等来表述（见图2-10）。峰值ｘｐ是信号可能出现的最大瞬时值，即峰峰值ｘｐ－ｐ是在一个周期中最大瞬时值与最小瞬时值之差。对信号的峰值和峰峰值应有足够的估计，以便确定测试系统的动态范围。一般希望信号的峰峰值在测试系统的线性区域内，使所观测（记录）到的信号正比于被测量的变化状态。如果进入非线性区域，则信号将发生畸变，结果不但不能正比于被测信号的幅值，而且会增生大量谐波。周期信号的均值μｘ为它是信号的常值分量。2.2周期信号与离散频谱周期信号全波整流后的均值就是信号的绝对均值μ|X|，即有效值是信号的方均根值Xrms，即有效值的二次方———均方值就是信号的平均功率Pav，即它反映信号的功率大小。2.2周期信号与离散频谱2.3瞬变非周期信号与连续频谱非周期信号包括准周期信号和瞬变非周期信号两种，其频谱各有特点。如前所述，周期信号可展开成许多乃至无限项简谐信号之和，其频谱具有离散性且各简谐分量的频率具有一个公约数———基频。但几个简谐信号的叠加，不一定是周期信号。也就是说，具有离散频谱的信号不一定是周期信号。只有其各简谐成分的频率比是有理数，因而它们能在某个时间间隔后周而复始，合成后的信号才是周期信号。若各简谐成分的频率比不是有理数，例如:各简谐成分在合成后不可能经过某一时间间隔后重演，其合成信号就不是周期信号。但这种信号有离散频谱，故称为准周期信号。多个独立振源激励起某对象的振动往往是这类信号。2.3瞬变非周期信号与连续频谱通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号。常见的这种信号如图２-11所示。图2-11a为矩形脉冲信号，图２-11b为指数衰减信号，图2-11c为衰减振荡，图２-11d为单一脉冲。下面讨论这种非周期信号的频谱。图2-112.3瞬变非周期信号与连续频谱2.3.1傅里叶变换周期为T0的信号x(t)其频谱是离散的。当x(t)的周期T0趋于无穷大时，则该信号就成为非周期信号了。周期信号频谱谱线的频率间隔Δω＝ω０＝２πＴ０，当周期Ｔ０趋于无穷大时，其频率间隔Δω趋于无穷小，谱线无限靠近，变量ω连续取值以致离散谱线的顶点最后演变成一条连续曲线。所以非周期信号的频谱是连续的，可以将非周期信号理解为无限多个、频率无限接近的频率成分所组成。设有一个周期信号X(t),在区间以傅里叶级数表示为2.3瞬变非周期信号与连续频谱当T0趋于∞时，频率间隔Δω成为ｄω，离散频谱中相邻的谱线紧靠在一起，ｎω０就变成连续变量ω，求和符号∑就变为积分符号∫了，于是这就是傅里叶积分。式（2-25）中中括号里的积分，由于时间ｔ是积分变量，故积分之后仅是ω的函数，记作Ｘ（ω）。这样当然，式（2-25）也可写成2.3瞬变非周期信号与连续频谱在数学上，称式（2-26）所表达的Ｘ（ω）为x(t)的傅里叶变换；称式（2-27）所表达的x(t)为X(ω)的傅里叶逆变换，两者互称为傅里叶变换对，可记为把ω＝2πｆ代入式（2-25）中，则式（2-26）和式（2-27）变为这样就避免了在傅里叶变换中出现的常数因子，使公式形式简化，其关系是一般X(f)是实变量f的复函数，可以写成2.3瞬变非周期信号与连续频谱式中

|X(f)|——信号x(t)的连续幅值谱;

φ(f)——信号x(t)的连续相位谱。必须着重指出,尽管非周期信号的幅值谱|X(f)|和周期信号的幅值谱|cn|很相似,但两者是有差别的,表现在|cn|的量纲与信号幅值的量纲一样,而|X(f)|的量纲则与信号幅值的量纲不一样,|X(f)|是单位频宽上的幅值,所以更确切地说,X(f)是频谱密度函数。本书为方便起见,在不会引起紊乱的情况下,仍称X(f)为频谱。2.3瞬变非周期信号与连续频谱2.3.2傅里叶变换的主要性质１.奇偶虚实性一般Ｘ（ｆ）是实变量ｆ的复变函数。它可以写成2.3瞬变非周期信号与连续频谱余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。由式（2-35）可知，如果x(t)是实函数，则X(f)一般为具有实部和虚部的复函数，且实部为偶函数，即ReX(f)＝ReX(-f)；虚部为奇函数，即ImX(f)＝-ImX(-f)。如果x(t)为实偶函数，则ImX(-f)=0，X(f)将是实偶函数，即X(f)＝ReX(f)＝X(-f)。如果x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)将是虚奇函数，即X(f)＝-jImX(f)=-X(-f)。如果x(t)为虚函数，则上述结论的虚实位置也相互交换。2.3瞬变非周期信号与连续频谱2.对称性若则应用这个性质，利用已知的傅里叶变换对即可得出相应的变换对。图2-14是对称性应用举例。2.3瞬变非周期信号与连续频谱3.时间尺度改变特性４.时移和频移特性当在频域中信号沿频率轴平移一常值ｆ０时，则2.3瞬变非周期信号与连续频谱2.3瞬变非周期信号与连续频谱5.卷积特性两个函数x1(t)与x2(t)的卷积定义为∫∞-∞x1

(τ)x2(ｔ-τ)dτ，记作x1(t)*x2(t)。在很多情况下，卷积积分用直接积分的方法来计算是有困难的，但它可以利用变换的方法来解决，从而使信号分析工作大为简化。因此，卷积特性在信号分析中占有重要的地位。若2.3瞬变非周期信号与连续频谱6.微分和积分特性在振动测试中，如果测得振动系统的位移、速度或加速度中之任一参数，应用微分、积分特性就可以获得其他参数的频谱。2.3瞬变非周期信号与连续频谱2.2.3几种典型信号的频谱1.矩形窗函数的频谱矩形窗函数的频谱已在例２-３中讨论了。由此可见，一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。若在时域中截取信号的一段记录长度，则相当于原信号和矩形窗函数的乘积，因而所得频谱将是原信号频域函数和sincθ函数的卷积，它将是连续的、频率无限延伸的频谱。从其频谱图（见图２-12）中可以看到，在f=0～±1/T之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣。两侧其他各谱峰的峰值较低，称为旁瓣。主瓣宽度为2/T，与时域窗宽度Ｔ成反比。可见时域窗宽Ｔ越大，即截取信号时长越大，主瓣宽度越小。2.3瞬变非周期信号与连续频谱２.δ函数及其频谱(1)δ函数的定义

在ε时间内激发一个矩形脉冲Sε(t)(或三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等),其面积为1(见图2-16)。当ε→0时,Sε(t)的极限就称为δ函数,记作δ(t)。δ函数也称为单位脉冲函数。δ(t)的特点有:2.3瞬变非周期信号与连续频谱(2)δ函数的采样性质

如果δ函数与某一连续函数f(t)相乘,显然其乘积仅在t=0处为f(0)δ(t),其余各点(t≠0)之乘积均为零。其中f(0)δ(t)是一个强度为f(0)的δ函数;也就是说,从函数值来看,该乘积趋于无限大,从面积(强度)来看,则为f(0)。如果δ函数与某一连续函数f(t)相乘,并在(∞,-∞)区间中积分,则有同理,对于有延时t0的δ函数δ(t-t0),它与连续函数f(t)的乘积只有在t=t0时刻不等于零,而等于强度为f(t0)的δ函数;在(∞,-∞)区间内,该乘积的积分为2.3瞬变非周期信号与连续频谱式(2-49)和式(2-50)表示δ函数的采样性质。此性质表明任何函数f(t)和δ(t-t0)的乘积是一个强度为f(t0)的δ函数δ(t-t0),而该乘积在无限区间的积分则是f(t)在t=t0时刻的函数值f(t0)。这个性质对连续信号的离散采样是十分重要的,在第6章中得到广泛应用。(3)δ函数与其他函数的卷积

任何函数和δ函数δ(t)卷积是一种最简单的卷积积分。例如,一个矩形函数x(t)与δ函数δ(t)的卷积为(见图2-17a)2.3瞬变非周期信号与连续频谱2.3瞬变非周期信号与连续频谱可见函数x(t)和δ函数的卷积结果,就是在发生δ函数的坐标位置上(以此作为坐标原点)简单地将x(t)重新构图。(4)δ(t)的频谱

将δ(t)进行傅里叶变换,有其逆变换为2.3瞬变非周期信号与连续频谱故知时域的δ函数具有无限宽广的频谱，而且在所有的频段上都是等强度的（见图２-１８），这种频谱常称为“均匀谱”。根据傅里叶变换的对称性质和时移、频移性质，可以得到下列傅里叶变换对：2.3瞬变非周期信号与连续频谱2.3瞬变非周期信号与连续频谱３.正、余弦函数的频谱密度函数由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，因此不能直接应用式（２-28）进行傅里叶变换，而需在傅里叶变换时引入δ函数。根据式（2-11）、式（2-12），正、余弦函数可以写成应用式（2-55），可认为正、余弦函数是把频域中的两个δ函数向不同方向频移后之差或和的傅里叶逆变换。因而可求得正、余弦函数的傅里叶变换为（见图2-19）2.3瞬变非周期信号与连续频谱2.3瞬变非周期信号与连续频谱４.周期单位脉冲序列的频谱等间隔的周期单位脉冲序列称为梳状函数，用S(t，Ts)表示。因为此函数是周期函数，所以可以把它表示为傅里叶级数的复指数函数形式，即2.3瞬变非周期信号与连续频谱因为在(-Ts/2,Ts/2)区间内,式(2-58)只有一个δ函数δ(t),而当t=0时,所以：这样,式(2-59)可写成根据式(2-55)可得可得S(t,Ts)的频谱(见图2-20)S(f,fs),也是梳状函数,即2.3瞬变非周期信号与连续频谱由图2-20可见,时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。若时域周期为Ts,则频域脉冲序列的周期为1/Ts;时域脉冲强度为1,频域中强度为1/Ts。2.4随机信号2.4.1概述随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。描述随机信号必须用概率和统计的方法。对随机信号按时间历程所做的各次长时间观测记录称为样本函数，记作xi(t)（见图2-21）。样本函数在有限时间区间上的部分称为样本记录。在同一试验条件下，全部样本函数的集合（总体）就是随机过程，记作｛x(t)｝，即2.4随机信号2.4随机信号随机过程的各种平均值（均值、方差、均方值和方均根值等）是按集合平均来计算的。集合平均的计算不是沿某单个样本的时间轴进行，而是将集合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值取平均。为了与集合平均相区别，把按单个样本的时间历程进行平均的计算叫作时间平均。随机过程有平稳过程和非平稳过程之分。所谓平稳随机过程是指其统计特征参数不随时间而变化的随机过程，否则为非平稳随机过程。在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机过程叫各态历经（遍历性）随机过程。工程上所遇到的很多随机信号具有各态历经性，有的虽不是严格的各态历经过程，但也可以当作各态历经随机过程来处理。2.4随机信号事实上，一般的随机过程需要足够多的样本函数（理论上应为无限多个）才能描述它，而要进行大量的观测来获取足够多的样本函数是非常困难或做不到的。实际的测试工作常把随机信号按各态历经过程来处理，进而以有限长度样本记录的观察分析来推断、估计被测对象的整个随机过程。也就是说，在测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程，以其时间平均来估计集合平均。随机信号广泛存在于工程技术的各个领域。确定性信号一般是在一定条件下出现的特殊情况，或者是忽略了次要的随机因素后抽象出来的模型。测试信号总是受到环境噪声污染的，故研究随机信号具有普遍、现实的意义。2.4随机信号2.4.2随机信号的主要特征参数描述各态历经随机信号的主要特征参数有：１）均值、方差和均方值。２）概率密度函数。３）自相关函数。４）功率谱密度函数。2.4随机信号各态历经信号的均值μｘ为式中x(t)——样本函数；Ｔ——观测时间。均值表示信号的常值分量。方差σ2x描述随机信号的波动分量，它是x(t)偏离均值μｘ的二次方的均值，即2.4随机信号方差的正二次方根叫作标准偏差σｘ，是随机数据分析的重要参数。均方值ψ２ｘ描述随机信号的强度，它是ｘ（ｔ）二次方的均值，即均方值的正二次方根称为方均根值ｘｒｍｓ。均值、方差和均方值的相互关系是当均值μｘ＝０时，则σ２ｘ＝ψ２ｘ。对于集合平均，则ｔ１时刻的均值和均方值为2.4随机信号式中Ｍ——样本记录总数；ｉ——样本记录序号；ｔ１——观察时刻。2.概率密度函数随机信号的概率密度函数是表示信号幅值落在指定区间内的概率。对图2-22所示的信号，x(t)值落在（x，x+Δx）区间内的时间为2.4随机信号当样本函数的记录时间Ｔ趋于无穷大时，Ｔｘ/Ｔ的比值就是幅值落在（ｘ，ｘ＋Δｘ）区间的概率，即定义幅值概率密度函数ｐ（ｘ）为2.4随机信号概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息，是随机信号的主要特征参数之一。不同的随机信号有不同的概率密度函数图形，可以借此来识别信号的性质。图2-23是常见的四种随机信号（假设这些信号的均值为零）的概率密度函数图形。2.4随机信号2.4.3样本参数、参数估计和统计采样误差从式（2-62）～式（2-64）中可看到，用时间平均法计算随机信号特征参数，需要进行Ｔ→∞的极限运算，它意味着要使用样本函数（观测时间无限长的样本记录）。这是一个无法克服的困难。实际上只能从其中截取有限时间的样本记录来计算出相应的特征参数（称为样本参数），并用它们来作为随机信号特征参数的估计值。显然这使得样本参数随所采用的样本记录而异，因而它们本身也是随机变量。若把参数Φ的估计值记为，则随机信号的均值μｘ、均方值ψ２ｘ的估计值计算式为2.4随机信号用集合平均法计算随机信号特征参数时，也同样存在这种困难。其困难表现在要求使用无限多个样本记录，即如式（2-66）、式（2-67）中Ｍ→∞的极限运算。实际上也只能使用有限数目的样本记录来计算相应样本参数，并作为随机信号特征参数的估计值。例如，t1样本均值、均方值的估计值计算式为2.4随机信号式中Ｍ、ｉ———所采用的样本记录总数目和样本记录序号。总之，随机信号特征参数分析无非就是由有限样本记录获取样本参数，而后以样本参数作为随机信号特征参数的估计值。显然，这样做必定带来误差。这类误差称为统计采样误差，其大小和样本记录的长度、样本记录的数目有关。设被估计参数Φ，其估计值为。在多次估计过程中，估计值和被估计参数的关系如图2-24所示。为随机变量的