三角函数的和差角公式二倍角公式

两角差与和的余弦、正弦、正切公式（一）请同学们思考:某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A、C两点间距离约为67米,从A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.ABCD306745°α课题引入：一、新课引入问题1:cos15°＝？sin75°=？问题2:cos15°＝cos（45°－

30°）＝

cos45°－

cos30°

?sin75°＝sin（45°

+30°）＝sin45°－

sin30°？

cos(α-β)=?探究：如何用任意角α，β的正弦、余弦值表示？思考1：设α，β为两个任意角,你能判断cos(α

－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?例:cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°因此，对角α，βcos(α－β)＝cosα－cosβ一般不成立.sin60°sin120°cos60°cos120°cos(120°－60°)sin30°sin60°cos30°cos60°cos(60°－30°)思考2：我们知道cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？从表中,可以发现:cos(60°－

30°)=cos60°cos30°+sin60°sin30°cos(120°－

60°)=cos120°cos60°+sin120°sin60°现在，我们猜想，对任意角α，β

有：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβxyPP1MBOAC+11〖探究2〗借助三角函数线来推导cos（α-β）公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ又OM＝OB＋BMOM＝cos(α-β)

OB＝cosαcosβBM＝sinαsinβ〖探究3〗两角差的余弦公式有哪些结构特征？注意：1.公式的结构特点：等号的左边是复角α-β的余弦值，等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘积的和。2.公式中的α,β是任意角。上述公式称为差角的余弦公式，记作简记“CCSS，符号要改”分析：注意到，结合两角差的余弦公式及诱导公式，将上式中以

代

得上述公式就是两角和的余弦公式，记作。思考：由如何求:

探索新知一1、cos(α+β)

=cosαcosβ－sinαsinβcos

cos

–sin

sin

cos(

–

）=cos

cos

+sinsin

复习二、公式的推导-两角和与差的正弦公式简记：简记：两角和的正切公式：上式中以

代

得

注意：1

必须在定义域范围内使用上述公式。

2注意公式的结构，尤其是符号。即：tan

，tan，tan(±

)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。如:已知tan=2,求不能用

两角和与差的正切公式探索六个公式之间的逻辑关系解：三、公式应用解：

tan15

=tan(45

30

)=

三、公式应用练习解:由sinα＝,α∈(,),得542

分析:由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β),还应求什么？

又由cosβ=，β是第三象限的角，得135-所以cos(α-β)＝cosβcosα+sinβsinα小结：要求cos(α-β)应先求出α,β的正余弦，解：∵sinα=，α∈(,π)，π223∴cosα=∵34cosβ=–,β∈(π，),3π2∴sinβ=∴

sin(α–β)=sinαcosβ+cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ∴tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)例3：cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)公式的逆用应用练习课本P1312、3、4、5小结1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、推导及应用;2、利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角函数式和证明三角恒等式,灵活使用使用公式.二倍角的三角函数

两角和与差的正弦两角和与差的正切两角和与差的余弦知识回顾探究新知

以上所学习的公式中，若α=β，公式会有怎样的变化？

你能否从两角和的正弦、余弦、正切公式中推导出二倍角公式吗?二倍角公式：

例1（公式巩固性练习）求值：数学应用①．sin22

30＇cos22

30＇=②．③．④．公式变形：例2化简④．②．①．③．例3已知求:sin2

，cos2，tan2的值.∴sin2

=2sin

cos

=cos2

=∴解:∵

tan2

=例4在△ABC中，已知AB=AC=2BC(如下图示)，求∠A的正弦值.解：作AD⊥BC于D，设∠BAD=θ，则∠A=2θ.∵BD=BC=AB∴sinθ=1/2BC=1/4AB∵0＜2