13.3.2等边三角形教案人教版八年级数学上册

第十三章三角形13.3等腰三角形13.3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定学习目标：1．探索等边三角形的性质和判定．2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．重点：等边三角形的性质和判定难点：运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明自主学习自主学习一、知识链接1.三条边都_________的三角形叫作等边三角形.等腰三角形：图形定义性质判定等腰三角形有_______相等的三角形叫做等腰三角形两____相等两____相等等边对_______等角对____三线合一:_______、_______、_______轴对称图形二、新知预习类比学习一：等边三角形的性质性质等腰三角形等边三角形边两条边相等______条边都相等角两个底角相等______角相等，且都是______三线合一底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合______上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合对称轴1条______条要点归纳：等边三角形的三个内角都__________,并且每一个角都等于________.类比学习二：等边三角形的判定判定等腰三角形等边三角形边______条边相等的三角形是等腰三角形______条边都相等的三角形是等边三角形角______个角相等的三角形是等腰三角形______个角都相等的三角形是等边三角形要点归纳：_______个角都相等的三角形是等边三角形.三、自学自测1.已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°2.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.3.△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=______度.四、我的疑惑____________________________________________________________________________________________________________________________________________________课堂探究课堂探究要点探究探究点1：等腰三角形的性质典例精析例1：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.变式训练：如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．例2：△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.探究点2：等边三角形的判定想一想：小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？为什么？ABABC如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形.证明：2.底角为60°的等腰三角形：证明：要点归纳：有一个角是_____的等腰三角形是等边三角形.典例精析ADEBADEBCDE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.ADEADEBC例4：等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.针对训练△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为（）A.9B.8C.6D.132.如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中与BD相等的线段有（）ABABCDE第2题图第3题图3.如图，△ABC是等边三角形,DE∥BC,则∠ADE=__________.4.如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．【变式题】△ABC为等边三角形，且DE⊥BC，垂足为D，EF⊥AC，垂足为E，FD⊥AB，垂足为F，则△DEF是等边三角形吗？为什么？二、课堂小结等边三角形性质判定三边相等，三个角都等于_______.三边相等每一条边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三角相等3条对称轴有一个角等于____的等腰三角形当堂检测当堂检测1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A．105°B．120°C．135°D．150°2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（）ACACBDEOACBACBDE第2题图第3题图第4题图3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC=2cm,则△ADE的周长是__________cm.5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．6.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.拓展提升7.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．第十三章轴对称13.3等腰三角形13.3.2等边三角形第2课时含30°角的直角三角形的性质学习目标：1．探索含30°角的直角三角形的性质.2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．重点：含30°角的直角三角形的性质．难点：运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．自主学习自主学习知识链接1.等边三角形的性质有哪些？2.如何判定一个三角形是等边三角形？课堂探究课堂探究要点探究探究点：含30°角的直角三角形的性质拼一拼：如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？A（D）BC（F）A（D）BC（F）EDFEABC填一填：∠A=∠D=_______，∠BAC=___________;AB=DE,△ABE是__________三角形；2BC=BE=________.要点归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.证一证：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB.方法一：倍长法ABC【提示：延长ABC证明：方法二：截半法【提示：在BA上截取BE=BC，连接EC】证明：方法总结:在证明线段之间的和差倍分关系时，倍长法与截半法是常用的两种作辅助线的方法.典例精析例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．例2：如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于()A．3B．2C.1.5D．1方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．例4：已知:等腰三角形的底角为15°，腰长为20.求腰上的高.方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.针对训练1.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AC的长是()A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝____．第2题图第3题图3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h＝____m.4.如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°.求证：AB=4BD证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30∴BC=AB∠B=又∵△BCD中,CD⊥AB∴∠BCD=∴BD=BC∴BD=AB即.5.如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4.求PD的长.二、课堂小结含30°角的直角三角形的性质：应用的前提在三角形中，结论是30°角所对的直角边是的一半，而不是任一直角边是斜边的一半．当堂检测当堂检测1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米B．9米C．12米D．15米第1题图第2题图2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元CABDC3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=CABDCBABA第3题图第5题图在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,则BC