17.1 一元二次方程（原卷版）

17.1一元二次方程学习目标：1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.知识点一一元二次方程1.一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程必须同时满足的条件(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2例如3x2-x+1=0,即学即练下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）判断一元二次方程的方法先看方程等号两边是不是整式，如果是整式，再移项、合并同类项，使方程等号右边为0,最后观察其是否还同时具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若同时具备了，则方程是一元二次方程，否则不是.定义中“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并(整理合并是指去分母、去括号、移项和合并同类项)”之后都是整式，定义中“只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)”这句话，是对将方程“整理合并”之后而言的，当方程中二次项系数含有字母时，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程。知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a≠0):其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项注意：（1）a≠0是一元二次方程的必要条件.（2）如果明确指出方程ax²+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么就隐含了a≠0这一重要条件。学生：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？老师：即学即练将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.(1)一元二次方程一般形式的特点为方程右边是0,方程左边是关于x的二次整式(2)“a≠0”是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，也是考查一元二次方程的定义的重点，但b,c可以为0.(3)要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项，必须先将一元二次方程化为一般形式，二次项系数、一次项系数与常数项都包括它们前面的符号.如4x²-3x-2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为4,-3,-2.(4)通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数.知识点三一元二次方程的解(根)1.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.2.判断一个数是不是一元二次方程的解的方法将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解。即学即练下面哪些数是方程x2–x–6=0的解?-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4x–4–3–2–101234x2

–

x

–

6题型一一元二次方程的定义例1（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x2=5x-1C．x-3x+1=x举一反三1（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2=2 B．1x2+x=2 C举一反三2（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（

）．A．ax2+bx+c=0（其中a、b、c是常数）C．2x2+5x-7=x题型二一元二次方程的一般形式例2（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）当m时，方程mx举一反三1（2021秋·上海杨浦·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m的值为．举一反三2（2020秋·上海·八年级统考期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（

）A．x-1x+3=0 B．ax2+bx+c=0（其中aC．1x2-题型三一元二次方程的解例3（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）若x=-1是方程x2-mx-3=0的一个根，则m举一反三1（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）关于x的方程2x2-(m+4)x+m-6=0有一个根为零，那么举一反三2（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m-3=0的一个根是0，那么题型四一元二次方程的解的估算例4（2023秋·陕西西安·九年级西安市第八十五中学校考开学考试）根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是x3.233.243.253.26a-0.06-0.020.030.09A．3<x<3.23 B．3.23<x<3.24 C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.26举一反三1（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）根据如表中代数式ax2+bx的取值情况，可知方程ax……-3-2-10123……a……12620026……x1=0，x2=1 B．x2C．x1=-2，x2=3 D．x1举一反三2（2023春·广东茂名·八年级统考期末）根据下列表格对应值：x3.243.253.26a-0.020.010.03判断关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0的一个解xA．x<3.24 B．3.24<x<3.25C．3.25<x<3.26 D．3.25<x<3.28一、单选题1.（2022秋·上海宝山·八年级统考期末）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x-1x-1=0C．x2=0 D2．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）下列方程是一元二次方程的是（

）A．ax2+2x+1=0（a为常数）C．x(2x-1)=2x2-2x-13．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）下列方程中不是一元二次方程的是（

）A．x2-2x+3=0 BC．3x2+x-1=04．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（

）A．3x2=-3x； BC．3y2-3=3x；5．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（

）A．3x2=2-12x； C．x2=0； D．二、填空题1．（2022秋·上海宝山·八年级统考期末）若关于x的方程(a-2)x4-a+7x-1=0是一元二次方程，则a2．（2022秋·上海·八年级