2022年广东省惠州市高考数学一模试卷及答案解析

2022年广东省惠州市高考数学一模试卷

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号

条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在

试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1.已知集合A={x|x2l},B={M?-x=0},则ADB=()

A.{]}B.{0}C.{0,1}D.{1,2}

2.已知i为虚数单位，复数z满足z・i=1+i,贝!||z|=()

A.1B.2C.V2D.0

1

3.若随机变量X满足X〜B(6,-),则E(X)=(

11

A.-B.2C.-D.3

23

4.已知点尸(一噂，半)是角a的终边与单位圆的交点，则sin2a=()

33

A.-B.-C.WD.更

3333

5.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现奇数点”,B为“第二次出现偶数点”,

则有()

A.A与B相互独立B.P(AUB)=P(A)+P(B)

C.A与B互斥D.P(AB)=|

6.已知函数f(x)=/+1,g(x)=sinx,如图所示，图象对应的函数解析式可能是()

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A.y=f(x)+g(x)-1B.y=f(x)-g(x)-1

c.y=/(x)g(x)D.产需

7.如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的

圆形轨道I上绕月球飞行，然后在尸点处变轨进以p为一个焦点的椭圆轨道n绕月球飞

行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道HI绕月球飞行，设圆形轨道I的半径

为R,圆形轨道HI的半径为r,则下列结论中正确的序号为()

①轨道II的焦距为R-r；

②若R不变，厂越大，轨道H的短轴长越小；

③轨道II的长轴长为R+r；

④若r不变，R越大，轨道H的离心率越大.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

8.如图，点M、N分别是正四面体ABCQ棱AB、上的点，设直线MN与直线

BC所成的角为0,则()

第2页共25页

A.当ND=2CN时，0随着x的增大而增大

B.当ND=2CN时，。随着x的增大而减小

C.当CN=2N£>时，。随着x的增大而减小

D.当CN=2N。时，。随着x的增大而增大

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

(多选)9.若直线y=+b与圆7+f=i相切，则人的取值可以是()

A.-2B.A/2C.2D.V5

(多选)10.对一组数据进行回归分析，作出散点图如图所示，在5个坐标数据中去掉异常

数据。(3,10)后，下列说法不正确的是()

•ZX3,10)*£(10,12)

W45)

•3(2,4)

M(U)

6x

A.残差平方和变小

B.相关系数7•变小

C.相关指数解变小

D.解释变量x与预报变量y的相关性变弱

(多选)11.关于双曲正弦函数或出1(乃=幺pX*一_p-和X双曲余弦函数005九。)=匕pXi^p-,X下歹」

结论正确的是()

A.sinh(-x)=-sinh(x)B.[cosh(x)]'=一sinh(x)

C.cosh(-1)<cosh(2)D.[sinh(x)]2-[cosh(x)]2=1

(多选)12.已知函数/(x)=xi+ax+b,其中a,bER,则下列选项中的条件使得/(x)仅

有一个零点的有()

A.a<b,f(x)为奇函数B.a—In(b2+1)

3

C.a=-3,b2-42oD.a<0,b2+^-X)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分.

13.若△ABC是边长为1的等边三角形，则n-BC=.

第3页共25页

14.（x-1）（2x+l）5展开式中x3的系数为.

15.请从正方体ABCO-AiBiCi。］的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个

三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是.（只需写出一组）

16.将正三角形（I）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然

后去掉底边，得到图（2）；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向

外作正三角形，然后去掉底边，得到图（3）；如此类推，将图（〃）的每条边三等分，并

以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图（«+1）.上述作图过

程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线.若图（1）中正三角形的边长为1,

则图（〃）的周长为,图（〃）的面积为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防

和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗

开展临床对比试验.若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效.在已经接种疫苗的群体

中随机抽取的100个样本，其中有60个接种了灭活疫苗，剩余40个接种了核酸疫苗.根

据样本数据绘制等高条形图（如图所示），其中两个深色条的高分别表示接种灭活疫苗和

核酸疫苗样本中抗体呈阳性的频率.现从这100个样本中随机抽取1人，已知事件“该

样本接种了灭活疫苗且抗体呈阳性”发生的概率为0.54.

（1）求等高条形图中”的值；

（2）请在答题卷中完成下面的列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.10的前提下认为

两种疫苗的预防效果存在差异？

灭活疫苗核酸疫苗总计

抗体为阳性

抗体为阴性

总计6040100

2

参考公式：依=（a+b）普d）（上）（b+d），其中

P依）0.150.100.01

ko2.0722.7066.635

■抗体Y阳性

0.85口抗体阴性

0

接的灭接痔核

1活疫苗液疫苗

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18.(12分)AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知反osC=(2a-c)cosB.

(1)求B；

(2)若匕=3,sinC=2sinA,求△ABC的面积.

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19.(12分)已知数列｛金｝是公差大于1的等差数列，“2=3,前〃项和为S”且______.

请在下列三个条件中任选一个，补充到上述题目的条件中，并求解下面的问题.

①小+1,“3-1,46-3成等比数列；②S5是43和423的等差中项；③｛。2“｝的前6项和是

78.

(1)求数列｛板｝的通项公式；

(2)若加=2",Cn=4〃•加，求数列｛Cn｝的前〃项和Tn.

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20.(12分)如图，S为圆锥的顶点，。为底面圆心，点A，B在底面圆周上，且NAO8=

60。，点C,。分别为SB,的中点.

(1)求证：ACLOB；

(2)若圆锥的底面半径为2,高为4,求直线4C与平面SO4所成的角的正弦值.

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21.(12分)如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点为。(-1,0),C2(1,0),且离心

率e=T,

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M(-2,0),过点M的直线/与椭圆C相交于E、F两点、,当线段EF的中点

落在由四点C1(-1,0)、C2(1,0)、Bi(0,-1)、B2(0,1)构成的四边形内(包

括边界)时，求直线/斜率的取值范围.

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22.(12分)已知函数/(x)=姬一等一a(e为自然对数的底数)有两个零点.

(1)若a=l,求f(x)在x=l处的切线方程；

(2)若f(x)的两个零点分别为XI,证明：x1x2>-^+^.

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2022年广东省惠州市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1.已知集合A=3工21},3={4?-x=0},则AA8=()

A.{1}B.{0}C.{0,1}D.{1，2}

解：因为集合4={Mr21},B={x|x2-x=0}={0,1},

则AG8={1}.

故选：A.

2.已知i为虚数单位，复数z满足z・i=l+i,则|z|=（）

A.1B.2C.V2D.0

解：

.z=i+i=a+0i=1_i,

A|Z|=712+(-1)2=V2.

故选：c.

3.若随机变量X满足X〜B(6,-),则E(X)=)

2

11

A.-B.2c.D.3

23

1

解：因为随机变量X〜5（6,-)

2

所以E(X)=6x1=3,

故选：D.

4.已知点尸（一噂，半）是角a的终边与单位圆的交点，则sin2a=

()

J3

1「242V6

A.-BC一丁D.

3-3

解：：点P（-冬，半）是角a的终边与单位圆的交点，|0尸|=1,

J3

.73.V6

.・cosa=—丁，sina=丁，

2y2

则sin2a=2sinacosa=——二

故选：C.

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5.将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现奇数点”,8为“第二次出现偶数点”,

则有()

A.A与8相互独立B.P(AUB)=P(A)+P(B)

1

C.A与B互斥D.P(AB)=1

解：对于A,由题意可知，事件A的发生与否对事件B没有影响，所以A与B相互独立，

故选项A正确；

对于B,C,由于事件A与事件B可以同时发生，所以事件A与B不互斥，则选项B,C

错误；

对于D,由于事件A与B相互独立，所以P(4B)=P(A)P(fi)=A1x1i=1i,故选

项。错误.

故选：A.

6.已知函数f(x)=/+1,g(x)=sinx,如图所示，图象对应的函数解析式可能是()

C.y=f(%)g(x)D.产犬考

解：由图象可知函数关于原点对称，所以函数为奇函数，

A中，y=f(.V)+g(x)-l=x2+sinx,在R上不是奇函数，排除，

B中，y=f(x)-g(x)-1=/-sinx,在R上不是奇函数；

C中，y=f(x)・g(x)=(x2-l)*sinx,所以/i(-x)=[(-x)2-l]*sin(-x)=-

(x2-1)*sinx=-h(x),

但是y'=cosx(1+7)+2xsiar,

n

xE(0,-y>o,

n

所以在(0,-)时，函数单调递增，而图象中先增后减，不符合，排除，

故选：D.

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7.如图所示，'‘嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的

圆形轨道I上绕月球飞行，然后在尸点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道H绕月球飞

行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月球飞行，设圆形轨道1的半径

为心圆形轨道HI的半径为r,则下列结论中正确的序号为（）

①轨道II的焦距为R-r；

②若R不变，r越大，轨道I[的短轴长越小；

③轨道II的长轴长为R+r；

④若r不变，R越大，轨道H的离心率越大.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

解：由题意可得知，圆形轨道I的半径为R,

x2y2

设轨道II的方程为=+三=1，则a+c=R,

a2b2

因为圆心轨道川的半径为r,则a-c=r,

联立『+c=R,解得2c=R-r,

—c=r

所以轨道U的焦距为2c=R-r,故①正确；

由工于。=”R+一r，c—R-r

故焦距为2c=R+r,

2b=2yJa2—c2=2y[Rr,

所以R不变，，・增大，。增大，轨道II的短轴长增大，故②不正确；

长轴2〃=R+r,故③正确；

所以离心率r不变，R越大，e越大，即轨道H的离心率越大，故④正确

ap+1

所以①③④正确，

故选：C.

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8.如图，点〃、N分别是正四面体ABCQ棱AB、CQ上的点，设BV=x,直线MN与直线

8c所成的角为。，则（）

A.当NO=2CN时,e随着x的增大而增大

B.当M)=2CN时,0随着x的增大而减小

C.当CN=2N。时,e随着x的增大而减小

D.当CN=2N£)时,e随着x的增大而增大

解：当NO=2CN时，作NF//BC交BD于F点"如图所示,

直线MN与直线BC所成的角即为直线MN与直线NF所成的角,即ZMNF=Q,

设正四面体的棱长为3,则CN=8F=1,FN=2,

在中，由余弦定理可得MF2=BM2+BF2-28M•BQcos/MB尸=/+1-2x・cos60°

=x2+l-x,

MF=Vx2—x+1,

同理在△BCN中，由余弦定理可得BN=V7,

AB2+BN2-AN2_BM2+BN2-MN2

在△A8N中，由余弦定理可得cosNABN=2AB-BN=2BM-BN

化简可得MN=Vx2-3x+7,

所以在△中，有。=-7

FNMcos=11+.铲2/：(xe[0,3]),

2jx2_3x+72、X-3X+7

18-7x7x2-36x4-5

令f(x)=则/'(%)=9

/—3%+7’2

(X2-3X+7)

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当x（0,3］时，r（x）=宜二迄±|有正有负，函数有增有减,

（X2—3%+7）

所以A与B错误,

当CN=2ND时，作NE//BC交3。于E点，如图所示,

，直线与直线BC所成的角即为直线MN与直线NE所成的角，即NMNE=6,

同样设正四面体的棱长为3,则CN=8尸=2,FN=2,

可求得ME=Vx2-2x+4,AN=BN=y/7,

在△ABN中，有cos乙48N==~m=f，

2x3x772/7

_Q__________

所以MN?=X2+7—2XXXV7X-^-==x2—3x+7,即MN=vx2—3%+7,

4-x

所以在△MNE中，有cos。=1+白券…3］），

2jx2—3%+7

令/⑺二丁2等,则/'（X）5X2-18X-8

=-72<0,

(%2—3x+7)

所以/Xx）在定义域内单调递减，即X增大，f（x）减小，即cos。减小，从而。增大,

故。正确，C错误,

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

（多选）9.若直线y=gx+b与圆7+9=1相切，则人的取值可以是（）

A.-2B.V2C.2D.V5

解：：直线y=V3x+b与圆/+尸=1相切,

二圆心O（0,0）到直线我x-y+b=0的距离等于1,

，隔=£1,即g±2.

故选：AC.

（多选）10.对一组数据进行回归分析，作出散点图如图所示，在5个坐标数据中去掉异常

第15页共25页

数据。(3,10)后，下列说法不正确的是()

•ZX3.10)•£(10.12)

•(W)

•«2,4)

M3)

Ox

A.残差平方和变小

B.相关系数/•变小

C.相关指数R2变小

D.解释变量x与预报变量y的相关性变弱

解：从散点图可得，只有。点偏离直线，去掉。点，

变量x与变量y的线性相关性变强，相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小.

故选：BCD.

(多选)11.关于双曲正弦函数sin/i(x)=竺号二和双曲余弦函数cosh(x)=g二，下列

结论正确的是()

A.sinh(-x)=-sinh(x)B.[cosh(x)]'=-sinh(x)

C.cosh(-1)<cosh(2)D.[sinh(x)]2-[cosh(x)]2=1

p-X^.pX

解：sinh(-x)=—2—=------q—=—sinh(x),对；

ex+e~xpx^p-x

[cosh(x)]r=(----------)'=————=sinh(x)#-sinh(x),/.B错；

22

22-14243

L/C、」/i、e+e~e-ee+l1-ee+l-e+e、八.u

cosh(2)-cosh(-1)=—------------2----=~2e^--------2e-=-----2e^-----，**cos^

(2)>cosh(-1),・・・C对;

e"-e一“ex+e-x

[sinh(x)]2-[cosh(x)]2=(-----—)2-<---)--2=m=-1,错.

2

故选：AC.

(多选)12.已知函数/(x)=/+〃x+b,其中小/元R,则下列选项中的条件使得/(x)仅

有一个零点的有()

A.a<b,f(x)为奇函数B.a=ln(Z?2+l)

9Q3

C.a=-3,b2-4^0D.a<0,反+^K)

解：由题知，(x)=37+a,

第16页共25页

对于A,由/(x)是奇函数，知匕=0,因为“V0,

所以f(x)存在两个极值点，易知/(x)有三个零点，A错误；

对于8,因为/+121,所以”20,/(x)20,所以『CO单调递增，则/(x)仅有

一个零点，B正确；

对于C,若取h=2,则/(x)的极大值为/(-1)=4,极小值为/(I)=0,此时f(x)

有两个零点，C错误；

对于D,f(x)的极大值为了(—J^)=:—竽J—三,极小值为=♦+竽J-等

因为“<0,所以后+警>/+*>0,所以房〉一誓，则心一竽或y学「I，

从而f(一「|)<0或/(『I)可知/(X)仅有一个零点，。正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一空2分，第二空3分.

13.若△A8C是边长为I的等边三角形，则48・BC=.

一L-

TT11

解：AABC是边长为I的等边三角形，则AB-BC=lxlx(-1)=-1.

故答案为：-会

14.(x-I)(2x+l)5展开式中。的系数为-40.

解：(2x+l)5展开式的通项公式为

41=CJ•⑵)5,,

令5-r=2,解得r=3,

所以74=医・(2x)2=40/；

令5-r=3,解得r=2,

所以乃二第《2x)3=80小；

所以(x-1)(2x+l)5展开式中丁的系数为

40X1+80X(-I)=-40.

故答案为：-40.

15.请从正方体ABC£>-48ICIOI的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个

三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是4、4、C、£>.(只需写出一组)

第17页共25页

解：•.•正方体ABC。-481clz)1中，。。_1_平面4。£)14,

：.A\DYCD,ADLCD,AA\±CD,

■:正方体ABC。-AiBiCiDi中，AAi_L平面ABC。，

：.AAi±AD,AAiLAC,

.,.从正方体A8CO-A181C1D1的8个顶点中，找出4个点4、A、C、D,

构成一个三棱锥Ai-ACD,这个三棱锥的4个面都是直角三角形.

故答案为：4、4、C、D.

16.将正三角形(1)的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然

后去掉底边，得到图(2)；将图(2)的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向

外作正三角形，然后去掉底边，得到图(3)；如此类推，将图(〃)的每条边三等分，并

以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图(»+1).上述作图过

程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线.若图(1)中正三角形的边长为1,

第18页共25页

解：由题可设第"个图形的边数为a,”

递推公式为帆=4即-1'n>2f所以｛加｝为等比数列，其通项公式为斯=3・4””

=3

1

由题知：每个图形的边长都相等，且长度变为原来的9

1

所以从而设边长从，加的递推公式为与二?b-1'n-2,

4=1

，周长=〃"％〃=3，（W）”—%

当由第”-1个图形生成到第〃个图形时，每条边上多了一个面积为fbj的小等边三

4

角形，共有。”一1个.

可设第〃个图形的面积为5〃，

.C„..8,2⑸2

6-1

34

s17373X+++

-甲4--

49n-lA

3

S2731

/片5

n-，

2V33V341

即第"个图形的面积为弓一-+（-）n-1.

5209

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防

和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗

开展临床对比试验.若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效.在已经接种疫苗的群体

中随机抽取的100个样本，其中有60个接种了灭活疫苗，剩余40个接种了核酸疫苗.根

据样本数据绘制等高条形图（如图所示），其中两个深色条的高分别表示接种灭活疫苗和

核酸疫苗样本中抗体呈阳性的频率.现从这100个样本中随机抽取1人，己知事件“该

样本接种了灭活疫苗且抗体呈阳性”发生的概率为0.54.

（1）求等高条形图中a的值；

（2）请在答题卷中完成下面的列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.10的前提下认为

两种疫苗的预防效果存在差异？

灭活疫苗核酸疫苗总计

抗体为阳性

第19页共25页

抗体为阴性

总计6040100

参考公式：套=g+b芯烷?；（b+d），其中〃=0+%■+△・

P（公，依）0.150.100.01

to2.0722.7066.635

活疫苗液疫苗

解：（1）依题意“1名受访者接种灭活疫苗且接种后抗体呈阳性”发生的概率为0.54,

一60

所以---xa=0.54,

100

解得4=0.9.

（2）列联表如下:

灭活疫苗核酸疫苗总计

抗体为阳性543488

抗体为阴性6612

总计6040100

零假设为"0：接种两种疫苗效果无差异，

2

根据列联表中的数据，得到K2=1。蟋篇E潟6）=na0.568,

因为O.568<2.7O6=xo.i,

所以不能在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异.

18.（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知反osC=（2a-c）cosB.

（1）求B；

（2）若。=3,sinC=2sinA,求△ABC的面积.

解：（1）由正弦定理，得sin8cosC=2sinAcosB-cosBsinC,..................1分

即sinBcosC+cos8sinC=2sinAcos8,

第20页共25页

sin(B+C)=2sinAcosB,.................3分

又因为A+8+C=ii,

sinA=2sinAcosB,又sinAWO,

.*.cosB=i,BE(0,IT),..........5分

•,«B=................6分

(2)VsinC=2sin>4,：.c=2a,................7分

:.由余弦定理，得h2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-2a2»即3a2=9,

：.a=V3,c=2V3,......10分

**.S^ABC=^acsinB=xV3X2A/3x亭=........12分

19.(12分)己知数列｛板｝是公差大于1的等差数列，及=3,前〃项和为S〃，且______.

请在下列三个条件中任选一个，补充到上述题目的条件中，并求解下面的问题.

①m+L43-1,46-3成等比数列；②S5是43和。23的等差中项；③｛。2〃｝的前6项和是

78.

(1)求数列｛〃〃｝的通项公式；

(2)若加=2",Cn=a八加,求数列｛Cn｝的前几项和丁〃.

解：(1)设｛〃〃｝的公差为d,

选条件①：因为m+1,。3-1,46-3成等比数列，

2

所以(。3—1)2=(%+1)(。6—3),即(d+2)2=(4-d)4d,解得d=2或g,

因为d>l,所以d=2,

所以4"=〃2+(n-2)4=3+2(n-2)=2n-1.

选条件②：因为S5是“3和423的等差中项，

所以2s5=。3+“23,即2(5%+~2-d)=a，2+d+ci2+21d,

化简得10(02-d)+20d=2ai+22d,解得d=2,

所以劭=。2+(n-2)"=3+2(«-2)=2〃-1.

选条件③：因为伍2"｝的前6项和是78,

所以+。4+。6+…+%,2=6a2—2-x2d=18+30d=78,解得d=2,

所以an=a2+(n-2)d=3+2(n-2)—In-1.

n

(2)由题意知I,cn=(2n-1)X2,

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所以7；=1x21+3x22+5x23+...........+(2n—1)x2n,27；=lx22+3x23+

5X24+-+(2n-3)x2n+(2n-1)x2n+1,

1n+1

两式相减得,-Tn=2+2(22+23+...+2«)-(2n-1)x2

=2+2x22。言I-(2n-1)X2n+1=(-2〃+3)-2n+l-6,

所以7；=(2n-3)-2n+1+6.

20.（12分）如图，S为圆锥的顶点，。为底面圆心，点A,B在底面圆周上，且/AOB=

60°,点C,。分别为SB,OB的中点.

（1）求证：ACA.OB；

（2）若圆锥的底面半径为2,高为4,求直线4c与平面SO4所成的角的正弦值.

OB,ZAOB=60°,.♦.△408是等边三角形,

•.•。是。8的中点，：.AD1.OB,

,：C,。分别是SB,OB的中点，C.CD//SO,

；5。_1_平面408,：.SOLOB,

：.CD±OB,

又CDHAD^D,

二08_1_平面4。，又ACu平面AC。，

：.CD±OB.

(2)解：：SO_L平面AO8,SO//CD,

.•.C£)_L平面AOB,

以。为原点，以D4，DB,OC所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系£>-xyz,如图所

示：

则A(V3,0,0),O(0,-1,0),S(0,-L4),C(0,0,2),

：.AC=(-V3,0,2),OA=(V3,1,0),OS=(0,0,4),

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设平面SAO的法向量为1=(x,y,z),则，1空，即｛f=°，

令x=l可得九=(1,—V3,0),

--二、n-AC-V3A/21

・・cosVh，AC>==--=-—

\n\\AC\2x〃

设直线AC与平面SOA所成的角为。，则sin6=|cosV汇后＞|=若，

V21

故直线AC与平面SOA所成的角的正弦值为一.

14

21.(12分)如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点为。(-1,0),C2(1,0),且离心

士72

率e=~2'

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M(-2,0),过点M的直线/与椭圆C相交于E、F两点,当线段EF的中点

落在由四点C1(-1,0)、C2(1,0)、Bi(0,-1)、Bi(0,1)构成的四边形内(包

括边界)时，求直线/斜率的取值范围.

解：(1)由题可知：c=l,e=g=孝，

所以a=VL又/=/-02=1,

x2

所以椭圆的方程为万+y2=1,

(2)由题意可知过点M的斜率一定存在,

设直线方程为y=《(x+2),E(xi,yi),F(x2>y2),线段EF的中点G(xo>yo).

y-k(x+2)

联立方程/,消去y整理可得：(1+2正)，+8&+8必-2=0,

后+y=1

则由4=643-4(1+2必)(8必-2)>0,解得一?VkV孝①,

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