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文档简介

§1

定积分的概念在很多数学和物理问题中，经常需要求一类特殊和式的极限:这类特殊极限问题导出了定积分的概念.前页后页返回三个典型问题求曲边梯形A

的面积1.

设S

(A), 其中yxO前页后页返回2.已知质点运动的速度为求从时刻这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”

的情前页后页返回a

到时刻b,质点运动的路程s.3.已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为求线状物体的质量m.显然,可以用简单的乘法进行计算.

而现在遇到的问题是“非常值”、“不均匀”、“有变化”的情形，

来如来如何解解何决这些问题呢？以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题合理地归为一类特殊和式的极限.中心思想：把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替前页后页返回代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的一分为二时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积.yxO前页后页返回一分为四yxO前页后页返回一分为八yxO前页后页返回一分为

n可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形的面积.yxO前页后页返回过程呢？这可以分三步进行.1.分割：把曲边梯形A

分成n

个小曲边梯形a即在上找到个分点如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的前页后页返回2.近似:前页后页返回3.逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是S

总有差别.当分割越来越细时，和式就会越来越小.问题是：越细？下面依次讨论这两个问题.与曲边梯形的面积前页后页返回矩形，因此黎曼和来表示分割

T

越来越细,因为可能某些的长度不趋于0.就能保证分割越来越细.前页后页返回给定的能够找到对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和的极限.总结以上分析，下面给出定积分定义.前页后页返回定义1及任意并称J

为f

在[a,b]上的定积分,记作前页后页返回前页后页返回注1关于定积分定义，应注意以下几点：前页后页返回因此定积分既不是数列极限，也不是函数极限.注2中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,显然要求f

(x)在每个小区间[xi–1,xi]上变化不大,这相当要求f

(x)有某种程度上的连续性.[a,b]上的一致连续性,可证f

(x)在[a,b]上可积下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.例1解前页后页返回存在.

为方便起见,令以后将知道f

(x)在[a,b]上连续时,利用f

(x)在则此时黎曼和的极限化为的极限.前页

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